Existence et unicit´ e de la solution - Analyse mathématique d’un problem de contact avec frott

     2 P `=1 B`5ϕ`_{(t) , ∇φ}` W`− 2 P `=1 E`_{ε u}`_{(t) , ∇φ}` W` = (q (t) , φ)_W, ∀φ ∈ W, t ∈ [0, T ] , (2.34) u`(0) = u`₀. (2.35)

2.3 Existence et unicit´e de la solution

Notre intêret principal dans cette section est d’obtenir un résultat d’existence et d’unicité pour le problème variationnel PV. Par exemple regarde [15].

Théorème 2.3.1 Sous les hypothèses (2.12)-(2.20), le problème PV admet une solution unique {u, σ, ϕ, D} ayant la régularité suivante :

u ∈ W2,p(0, T ; V ) , (2.36)

ϕ ∈ W1,p(0, T ; W ) , (2.37)

Un ”quadruple” des fonctions (u, σ, ϕ, D) qui satisfont (2.1)-(2.2) et (2.33) − (2.35) est appelé solution faible du problème P V . Nous concluons par Théorème 2.3.1 que, sous les hypothèses (2.12)-(2.20), il existe une unique solution faible du Problème P V . Pour préciser la régularité de la solution faible, notons que les relations constitutives (2.1)et(2.2), les hypothèses (2.12)-(2.15) et la régularité (2.36)et(2.37) montrent que σ ∈ W1,p_{(0, T ; H), D ∈ W}1,p_{(0, T ; W) ; de plus, en utilisant (u, σ, ϕ, D)}

qui satisfont (2.1), (2.2), (2.33)et(2.34) il s’ensuit que (2.27) et (2.31) sont vérifiées pour tout v ∈ V , φ ∈ W et t ∈ [0, T ]. Nous prenons v = ˙u(t) ± z où z ∈ Cc(Ω)d dans

2.3. Existence et unicit´e de la solution

obtenir

Divσ`(t) = −f₀`(t) , divD`(t) = q₀`(t)

pour tout t ∈ [0, T ]. Il s’ensuit maintenant des r´egularit´es (2.18) et (2.19) que Divσ ∈ W1,p_{(0, T ; L}2_(Ω)d_{) et divD ∈ W}1,p_{(0, T ; L}2_{(Ω)) ce qui montre que}

σ ∈ W1,p(0, T ; H) , (2.38)

D ∈ W1,p(0, T ; W) . (2.39)

Nous concluons que la solution faible (u, σ, φ, D) du problème de contact piézoélectrique P V possède la régularité (2.36)-(2.39).

Preuve. La démonstration du théorème 2.3.1 sera faite en plusieurs étapes, elle est basée sur les résultats des inéquations variationnelles, les opérateurs monotones et les arguments du point fixe.

Nous supposons dans la suite de cette section que(2.12)-(2.20) sont vériéfis,C désigne une constante positive qui dépend de Ω`_{, Γ}`

1, Γ3, pν, pτ, et L dont la valeur peut chan-

ger d’un endroit `a un autre.

Dans la première étape nous considérons le problème auxiliaire suivant pour le champ de déplacement, dans lequel η ∈ C (0, T ; H) est donné.

Probl`eme PVu

η .Trouver le champ des d´eplacements uη = u1η, u2η : [0, T ] → V

tels que :          2 P `=1 A`_{ε ˙u}` η(t) , ε v` − ε( ˙u`η(t)) H`+ 2 P `=1 G`_{ε u}` η(t) , ε v` − ε( ˙u`η(t)) H` + η (t) , ε v`_{− ε( ˙u}` η(t)) H+ J (uη(t) , v) − J (uη(t), ˙uη(t)) ≥ (f (t) , v − ˙uη(t))V, ∀v ∈ V, t ∈ [0, T ]. (2.40) u`_η(0) = u`₀. (2.41)

Nous avons le r´esultat suivant d’existence et d’unicit´e.

Lemma 2.3.1 Il existe une unique solution uη ∈ C1(0, T ; V ) au probl`eme (2.40)-

(2.41).

De plus, si u1 et u2 sont deux solutions du probl`eme (2.40)-(2.41) correspondantes

aux donn´ees η1, η2 ∈ C(0, T ; H) alors il existe une constante c > 0 telle que

Preuve. Nous allons appliquer le Théorème 1.2.4 dans le cas de l’espace de Hilbert X = V muni du produit scalaire (·, ·)V et de la norme associée k · kV

définies par (1.32) et (1.33) dans le première chapitre. Nous utilisons le Théorème de représentation de Riesz-Fréchet pour définir les opérateurs A : V −→ V, B : V −→ V et la fonction fη : [0, T ] −→ V par les égalités

(Au, v)V = (Aε(u), ε(v))H, (2.43)

(Bu, v) = (Gε(u), ε(v))H, (2.44)

fη(t), v) = (f (t), v)V − (η(t), ε(v))H, (2.45)

pour tout u, v ∈ V et t ∈ [0, T ]. Il s’ensuit des hypothèses (2.12) et (2.13) que les opérateurs A et B satisfont les conditions (1.38) et (1.42) , respectivement. Nous utilisons (1.34) pour voir que la fonctionnelle J définie dans (2.24) satisfait la condition (1.39) (a). Moyennant (2.16) - (2.17) et (1.34) encore une fois nous obtenons

J (u1, v2) − J (u1, v1) + J (u2, v1) − J (u2, v2) 6 0,

qui montre que la fonctionnelle J v´erifie la condition (1.39)(b) sur X = V .

De plus, en utilisant (2.18) il est facile de voir que f d´efini par (2.21) satisfait f ∈ W1,p_{(0, T ; V ) et, prenant en consid´}_{eration que η ∈ C([0, T ]; H), nous concluons}

de (2.45) que fη ∈ C([0, T ]; V ). Finalement, notons que (2.20) montre que la condi-

tion (1.44) est satisfaite aussi.

En utilisant maintenant (2.43)–(2.45) nous remarquons que le Lemme 2.3.1 est une conséquence directe du Théorème 1.2.4 1), 2) ; ce qui achève la preuve.

Ensuite, nous utilisons (2.45) pour voir que si η ∈ W1,p_{(0, T ; H) alors f}

η ∈ W1,p(0, T ; V ) ;

donc, en utilisant le Théorème 1.2.4 3), nous notons que le Lemme 2.3.1 peut être complété le résultat de régularité suivant.

η ∈ W1,p(0, T ; H) =⇒ uη ∈ W2,p(0, T ; V ). (2.46)

Dans l’´etape suivante nous utilisons la solution uη ∈ C1([0, T ], V ) obtenue dans le

Lemme 2.3.1 pour construire le probl`eme variationnel suivant.

Probl`eme PVϕ_η. Trouver le potentiel ´electrique ϕη =: [0, T ] → W tels que :

(BOϕη(t), Oφ)W − (Eε(uη(t)), Oφ)W = (q(t), φ)W ∀φ ∈ W, t ∈ [0, T ]. (2.47)

2.3. Existence et unicit´e de la solution

Lemma 2.3.2 Il existe une unique solution ϕη ∈ W1,p(0, T ; W ) qui satisfait (2.47).

De plus, si ϕη1 et ϕη2 sont deux solutions de (2.47) correspondants `a η1, η2 ∈ C([0, T ]; H)

alors il existe c > 0 tel que

k ϕη1(t) − ϕη2(t) kW≤ c k uη1 − uη2 kV ∀t ∈ [0, T ]. (2.48)

Démonstration. Soit t ∈ [0, T ]. Nous utilisons le Théorème de représentation de Riesz pour définir l’opérateur Aη(t) : W −→ W par

(Aη(t)ϕ, ξ)W = (B 5 ϕ, 5ξ)W − (Eε(uη(t)), Oξ)W (2.49)

Pour tout ϕ, ξ ∈ W . Soient ϕ1, ϕ2 ∈ W ; nous utilisons les hypoth`eses (2.14) et (2.20)

pour trouver

(Aη(t)ϕ1− Aη(t)ϕ2, ϕ1− ϕ2)W ≥ mB k ϕ1− ϕ2 k2W (2.50)

D’un autre cˆot´e, en utilisant de nouveau (2.14), (2.15) et (2.20) nous avons (Aη(t)ϕ1− Aη(t)ϕ2, ξ)W ≤ cE k ϕ1− ϕ2 kWk ξ kW ∀ξ ∈ W, (2.51)

ce qui implique que

k Aη(t)ϕ1− Aη(t)ϕ2 kW≤ cE k ϕ1− ϕ2 kW . (2.52)

Les inégalités (2.50) et (2.52) montrent que l’opérateur Aη(t) est fortement mo-

notone et de Lipschitz sur W ; donc, en utilisant le th´eor`eme de Lax-Milgram sur les ´

egalités variationnelles, il s’ensuit qu’il existe un unique élément ϕη(t) ∈ W tel que

Aη(t)ϕη(t) = q(t). (2.53)

Nous combinons maintenant (2.49) et (2.53) pour d´eduire que ϕη(t) ∈ W est l’unique

solution de l’´equation variationelle (2.47).

Nous prouvons maintenant que ϕη ∈ W1,p(0, T ; W ). A cette fin, consid´erons t1, t2 ∈

[0, T ] et, pour raison de simplicit´e, nous ´ecrivons ϕη(ti) = ϕi, uην(ti) = ui, q(ti) = qi,

pour i = 1, 2. Moyennant (2.47), (2.14), (2.15) et (2.20) nous dérivons l’inégalité mB k ϕ1− ϕ2 k2W≤ cE k u1− u2 kVk ϕ1− ϕ2 kW + k q1− q2 kWk ϕ1− ϕ2 kW, (2.54)

donc

k ϕ1− ϕ2 kW≤ c(k u1− u2 kV + k q1− q2 kW) (2.55)

où c est une constante positive. Notons aussi que les hypothèses (2.19) combinées avec la définition (2.22) impliquent que q ∈ W1,p_{(0, T ; W ). Donc, puisque u}

η ∈

Considérons maintenant l’opérateur Λ : C([0, T ]; H) −→ C([0, T ]; H) défini par Λη(t) = E∗_Oϕη(t) ∀η ∈ C([0, T ]; H), t ∈ [0, T ]. (2.56)

Dans la dernière étape, nous montrons que l’opérateur Λ possède un point fixe. Lemma 2.3.3 Il existe un unique élément η∗ ∈ W1,p_{(0, T ; H) tel que Λη}∗ _{= η}∗_.

D´emonstration. Soit η1, η2 ∈ C([0, T ]; H) et, pour simplicit´e, nous utilisons les

notations ui et ϕi pour les fonctions uηi et ϕηi obtenues dans les Lemmes 2.3.2 et

2.3.1, pour i = 1, 2. Soit t ∈ [0, T ], en utilisant (2.56) et (2.15) nous obtenons k Λη1(t) − Λη2(t) kH≤ c k ϕ1(t) − ϕ2(t) kW

et, gardant `a l’esprit (2.48), nous trouvons que

k Λη1(t) − Λη2(t) kH≤ c k u1(t) − u2(t) kv . (2.57)

D’un autre cˆot´e, puisque

ui(t) = u0+ Z t 0 ˙ui(s)ds nous obtenons k u1(t) − u2(t) kV≤ Z t 0 k ˙u1(s) − ˙u2(s) kV ds. (2.58)

Nous rempla¸cons cette in´egalit´e dans (2.42), pour obtenir k ˙u1(s) − ˙u2(s) kV≤ c(k η1(t) − η2(t) kH +

Z t

k ˙u1(s) − ˙u2(s) kV ds).

Il s’ensuit maintenant d’un argument de type Gronwall que Z t 0 k ˙u1(s) − ˙u2(s) kV ds ≤ c Z t 0 k η1(t) − η2(t) kH ds, (2.59)

Combinons maintenant les in´egalit´es (2.57)–(2.59) pour obtenir k Λη1(t) − Λη2(t) kH≤ c

Z t

k η1(t) − η2(t) kH ds.

Réitérant l’inégalité précédente n fois, nous déduisons k Λn_η 1(t) − Λnη2(t) kH≤ cn n! Z t 0 k η1(t) − η2(t) kH ds ∀η1, η2 ∈ C([0, T ]; H).

La dernière inégalité montre que pour n suffisamment grand, l’opérateur Λn _{est une}

contraction sur l’espace de Banach C([0, T ]; H) tel que Λη∗ = η∗ et donc il existe un unique élément η∗ ∈ C([0, T ]; H). La régularité η∗ _{∈ W}1,p_{(0, T ; H) d´}_{ecoule de}

2.3. Existence et unicit´e de la solution

la régularité ϕη∗ ∈ W1,p(0, T ; W ) obtenue dans le Lemme 2.3.2, combinée avec la

d´efinition (2.56) de l’op´erateur Λ.

Nous avons maintenant tous les ingrédients pour prouver le Théorème 2.3.1. Existence. Soit η∗ ∈ W1,p_{(0, T ; H) le point fixe de l’op´}_{erateur Λ, et soit u}

η∗,

ϕη∗ les solutions des probl`emes PVu

η et PVϕη respectivement pour η = η

∗_{. Il s’ensuit}

de (2.56) que E∗∇ϕη∗ = η∗ et donc (2.40), (2.41) et (2.47) impliquent que (u_η∗, ϕ_η∗)

est une solution du problème PV. La régularité (2.36) et (2.37) s’ensuit des Lemmes 2.3.2 et 2.3.3 combinés avec (2.46).

Unicité. L’unicité de la solution découle de l’unicité du point fixe de l’opérateur Λ, donné par le Lemme 2.3.3. En effet, soit (u, ϕ) solution du problème variationnel PV et soit

η = E∗∇ϕ, (2.60)

il s’ensuit de (2.40) combinée avec (2.56) que u est solution du problème PVu_η, et puisque par le Lemme 2.3.1 ce problème possède une solution unique notée uη, nous

avons

u = uη. (2.61)

De plus, ϕ satisfait l’égalité donc ϕ est solution du Problème PVϕ

η. Mais ce dernier

admet une solution unique par le Lemme 2.3.2, donc nous concluons que

ϕ = ϕη. (2.62)

Il résulte de (2.60), (2.62) et (2.56) que Λη = η donc η est un point fixe de l’opérateur Λ. D’après le Lemme 2.3.3 il s’ensuit que

η = η∗. (2.63)

Conclusion g´en´erale

Dans ce mémoire, on a étudié l’existence et l’unicité de la solution d’un problème

de contact avec compliance normale entre deux corps électro-viscoélastique en piézoélectricité. On a utilisé la formule de Green pour obtenir la formulation variationnelle de

ce problème. Comme la frontière des corps et donné de problème ont de bonne régularitée.Donc, la solution du problème électro-mécanique et du problème variationnelle est la même.

On amontré l’existence et l’unicité de la solution de problème précédent par l’utilisation des arguments suivants : équation variationnelle d’évolution, inéquation variationnelle d’évolution du type parabolique, équation différentielle et point fixe.

Bibliographie

[1] A. Ahmed Abdelaziz, Etude théorique de quelques problèmes dynamiques en contact avec endommagement, Thèse de Doctorat, Université de Sétif 1, (2015) [2] P. Bisenga, F. Lebon, F. Maceri, The unilateral frictional contact of a piezoelectric body with a rigid support, in Contact Mechanics, J.A.C. Martins and Manuel D.P. Monteiro Marques (Eds.), Kluwer, Dordrecht, (2002), 347–354. [3] M. Fremond, Adhérence des solides, J. Mécanique et application, 6(3) (1987),

323-335.

[4] T. Hadj ammar, Etude théorique et numérique d’un problème de contact sans frottement entre deux corps déformables, Mémoire de Magister, Univ. Ouargla., (2006).

[5] T. Hadj ammar, Etude Variationnelle et Numérique de Quelques Problèmes de Contact Entre Deux Corps Déformables, Thèse de Doctorat, Université de Sétif 1, (2015)

[6] T. Hadj ammar, B. Benabderrahmane and S. Drabla, Mixed finite element ap- proximation for a contact problem in electro-elasticity, Kuwait J. Sci., 42 (2015), 31-54.

[7] T. Hadj ammar and B. Benabderrahmane, Variational analysis of a contact problem with friction between two deformable bodies, Stud. Univ. Babe,s-Bolyai Math. 57 (2012), No. 3, 427-444.

[8] W. Han, M. Sofonea, Evolutionary Variational inequalities arising in viscoelastic contact problems, SIAM Journal of Numerical Analysis 38 (2000), 556–579. [9] W. Han, M. Sofonea, Quasistatic Contact Problems in Viscoelasticity and Visco-

plasticity, Studies in Advanced Mathematics 30, American Mathematical Society, Providence, RI - Intl. Press, Sommerville, MA, 2002.

[10] A. Klarbring, A. Mikelic and M. Shillor, Frictional contact problems with normal compliance, Int.J. Eng. Sci. 26(1988), 811-832.

BIBLIOGRAPHIE

[11] F. Maceri and P. Bisegna, The unilateral frictionless contact of a piezoelectric body with a rigid support, Math. Comp. Modelling, 28 (1998), 19–28.

[12] M. Sofonea, El H. Essoufi, A Piezoelectric contact problem with slip dependent coefficient of friction, Mathematical Modelling and Analysis 9 (2004), 229–242. [13] M. Sofonea, El H. Essoufi, Quasistatic frictional contact of a viscoelastic piezoe-

lectric body, Adv. Math. Sci. Appl. 14 (2004), 613–631.

[14] M. Sofonea, A. Matei, Variational inequalities with applications, A study of anti- plane frictional contact problems, Springer, New York (`a paraˆıtre).

[15] L. Zhor, Analyse de Quelques Problèmes de Contact avec Frottement et Adhésion, Thèse de Doctorat, Université de Sétif 1, (2008).

Résumé :

Cette mémoire contient une Etude théorique d’un problème de contact avec frottement entre deux corps piézoélectricité. Cette étude se compose en deux chapitres, Le premier chapitre considère la formulation mathéma- tique de problème de contact et rappel d’analyse. Le deuxième chapitre est divisé en trois sections. Dans la première section considère la forme mathématique cet problème noté par P, par l’utilisation de la forme de

Green on obtient aussi une forme variationnelle PV dans le deuxième sec-

tion. Enfin, dans la troisième section, nous étudions l’existence et l’unicité d’une solution faible du problème.

Mots-Clés :

piézoélectricité, compliance normale, inéquation d’évolution, point fixe, existence, unicité.

Abstract :

This memory contains a study theoretically with friction contact enter two piezoelectricity body. This study consists of two chapters, The first chapter considers the mathematical formulation of contact problem and return analysis. The second chapter is divided into three sections. The first section considers the mathematical form this problem noted by P, by using the form of Green is also obtained a variational form PV in the second section. Finally, in the third section, we study the existence and uniqueness of a weak solution of the problem.

Key-words :

piezoelectricity, normal compliance, evolutionary inequality, fixed point, existence, uniqueness. : صﺧﻠﻣ ﺔﻧو ﻣ ةر ذﻣﻟا .ﺔ طﻐﺿﻟا ﺔ ﺋﺎرﻬﻛﻟا نادﯾﻣ ﻲﻓ نﯾﻣﺳﺟ ﺔ رﺣﻟ ﺔرظﻧﻟا ﺔﺳاردﻟا وﻫ ةر ذﻣﻟا ﻩذﻫ فدﻫ ﻲﻓ ﺎﻣأ ,ةر ذﻣﻟا ﻩذﻫ ﻲﻓ ﺔﻣزﻼﻟا ﺔ ﺿﺎرﻟا ﻞﺋﺎﺳﻣﻟا ضﻌ ﻰﻟإ لوﻷا ﻞﺻﻔﻟا ﻲﻓ ﺎﻧﻗرطﺗ ,نﯾﻠﺻﻓ نﻣ زﻣرﯾ و ﺔﺳاردﻟا ﻩذﻬﻟ ﻲﺿﺎرﻟا ﻞ ﺷﻟا ﻪ ﻓ رﺑﺗﻌﻧ لوﻷا ءزﺟﻟا .ءازﺟأ ثﻼﺛ نﻣ نو ﻣ ﻲﻧﺎﺛﻟا ﻞﺻﻔﻟا زﻣرﯾ و P ﺔﻟﺄﺳﻣﻠﻟ ﻠﺗﺧﻣ ﻞ ﺷ ﻰﻠﻋ ﻞﺻﺣﻧ ﻲﻧﺎﺛﻟا ءزﺟﻟا ﻲﻓ نرﻗ ﻞ ﺷ لﺎﻣﻌﺗﺳﺈﺑ مﺛ .P زﻣرﻟﺎ ﻪﻟ ﺔﻟﺄﺳﻣﻠﻟ ﻒﯾﻌﺿﻟا ﻞﺣﻟا ﺔ ﻧادﺣو و دوﺟو ﺔﺳاردﺑ ﺎﻧﻣﻗ رﯾﺧﻷا و ثﻟﺎﺛﻟا ءزﺟﻟا ﻲﻓ و .PV زﻣرﻟﺎ ﻪﻟ .ﺔﺣورطﻣﻟا : ﺔ ﺣﺎﺗﻔﻣﻟا تﺎﻣﻠﻛﻟا .ﺔ ﻧادﺣوﻟا ,دوﺟوﻟا ,ﺔﺗﺑﺎﺛﻟا ﺔطﻘﻧﻟا ,ﺔﻧﯾﺎ ﺗﻣ روطﺗ ,ﺔ ﺳﺎ ﻘﻟا لﺎﺛﺗﻣﻹا ,ﺔ طﻐﺿﻟا ﺔ ﺋﺎرﻬﻛﻟا

Dans le document Analyse mathématique d’un problem de contact avec frottement entre deux corps électro-viscoélastiques. (Page 39-48)