2.4 Formulation harmonique
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmonique
( Z xi 0 σxi(τ)dτ).ei i=1,...,n
on retrouve bien le formalisme énoncé. Vu les régularités des fonctions σµ en pré-sence, la fonction f respecte bien les conditions (2.5). Pour les PML cylindriques, le changement de variable complexe est donné par
e ρ=ρ+ 1 p Z ρ ρ0 σ(τ)dτ.
Pour les PML convexes, le domaine D est donc confondu avec Ω0. En posant φ(x) =x et f(x) =∂ih(d(x, ∂Ω)) avec h une fonction croissante convexe asympto-tiquement linéaire, les hypothèses (2.5) sont encore respectées.
Remarque fondamentale : les ensemblesΩαne sont pas nécessairement convexes mais ϕ(Ωα) l'est. On retrouve donc la notion de convexité, mais à un diéomor-phisme de R3 près. Cependant plus Ω0 sera proche de D plus le jacobien de la transformation Dϕ Dx sera grand...
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmo-nique
Le domaine de la famille d'opérateurs (K(p,x) +A)p∈D0 est holomorphe et son domaine est indépendant de la fréquence ω. Résoudre une Equation aux Dérivées Partielles revenant à inverser un opérateur, il semble naturel de regarder plus en détail les familles holomorphes d'opérateurs à domaines dont le domaine est indé-pendant de z. Un de ces types de famille est appelé opérateur de type A. Le but est de démontrer l'existence et l'unicité de solutions pour les Equations de Maxwell en harmonique. La majeure partie des résultats énoncés dans ce chapitres sont tirés du livre de T. Kato [18].
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmonique 53 Résultats principaux sur les opérateurs de type A
Soit (X,||.||) un espace de Banach et (T,D(T)) un opérateur non borné. Nous noterons aussi k T k la norme de l'opérateur T (lorsqu'elle existe). Si le do-maine de l'opérateur T est fermé, l'opérateur est borné à savoir T ∈ B(D(T),X)
(théorème du graphe fermé). Il est alors possible de dénir la norme de T par
k T k= sup
u∈D(T)\0
k T uk kuk . Dénition 2.5
On appelle résolvante de l'opérateur (T,D(T)) l'opérateur R(z,T) = (T − z)−1. Lorsque la résolvante existe, on dit que z appartient à l'ensemble résolvant de T. L'ensemble résolvant de T est notéP(T). L'ensembleΣ(T) = C∩P(T)c est appelé spectre de T.
Remarque : pour toutz appartenant àP(T)l'opérateurR(z,T)admetXpour domaine etD(T)pour image. Le théorème du graphe fermé nous assure alors que :
∀z ∈P(T), R(z,T)∈B(X,D(T)).
Donc P(T) est un ouvert de C et la résolvante (en tant que fonction de z) ne peut s'étendre en une fonction analytique au voisinage de la frontière de P(T).
L'alternative de Fredholm analytique donne un critère d'inversion d'une famille holomorphe d'opérateurs. Soit (X,k . k) un espace de Banach. Considèrons une famille d'opérateurs dépendant de manière holomorphe d'un paramètre. Soit D0 le domaine d'holomorphie de l'opérateur.
Soit X,Y deux espaces de Banach. On note C(X,Y) des opérateurs fermés de
X dans Y.
Rappelons la dénition de l'holomorphie pour des opérateurs bornés. On dit qu'une famille d'opérateurs T(x) est holomorphe sur D0 un domaine de C(on dira aussi holomorphe-bornée) si elle est diérentiable en norme pour toutxappartenant à D0. Lorsque T(x)∈C(X,Y) on a la dénition suivante :
Dénition 2.6
Une famille d'opérateurs T(x) ∈ C(X,Y) dénie au voisinage de x = 0 est ho-lomorphe en x = 0 (au sens généralisé) s'il existe un troisième espace de Ba-nach Z et deux familles d'opérateurs U(x) ∈ B(X,Y) et V(x) ∈ B(Z,Y) qui sont holomorphes-bornées enx= 0 telles que U(x)envoie injectivement Z dans D(T(x))
et T(x)U(x) =V(x).
T(x) est holomorphe (au sens généralisé) sur un domaine D0 de C si T(x) est holomorphe pour tout x appartenant à D0.
Théorème 2.14 (Alternative de Fredholm analytique)
Soit T(z)∈C(X) une famille holomorphe d'opérateurs compacts pour tout z appar-tenant à D0. On a alors l'alternative suivante :
(I − T(z))−1 n'existe pour aucun z appartenant à D0,
(I − T(z))−1 existe pour toutz appartenant à D0\S oùS est un sous ensemble discret et localement ni éventuelement vide de D0.
La proposition suivante permet de faire le lien entre le caractère holomorphe d'une famille d'opérateurs et son inverse.
Proposition 2.15
Soit T(z)une famille holomorphe d'opérateurs. On suppose que T(z0)est inversible pour z0 xé dans D0. Alors, pour z dans un voisinage de z0, l'opérateur T(z) est inversible d'inverse holomorphe sur ce même voisinage.
Démonstration : Un calcul montre que pour tout z appartenant à D0, on a
T(z) = T(z0){1− T(z0)−1(T(z0)− T(z))}. Par continuité deT(z)par rapport à z, il existe r >0tel que pour tout z ∈B(z0, r), on ait :k T(z)− T(z0)k< 1
k T(z0)k.
Dans ce cas, la série de Neumann de1− T(z0)−1(T(z0)− T(z))est convergente pour tout z ∈B(z0, r). Ainsi l'opérateurT(z) est inversible pour toutz ∈B(z0, r).
Pour montrer que cet inverse est holomorphe, on calcule la quantité
1
h{T(z+h))−1− T(z)−1}= 1
h{T(z+h))−1(T(z+h)− T(z))T(z)−1}. En passant à la limite quand h→0, on obtient : ∂T(z)−1
∂z =T(z)−1∂T(z)
∂z T(z)−1.
Dans cette sectionD0représente le domaine d'holomorphie mais il peut être rem-placé par tout autre domaine contenu strictement dans le domaine d'holomorphie. Nous utiliserons plutôt une autre version de l'alternative de Fredholm analytique liée au caractère compact de la résolvante et non plus à la compacité de l'opérateur. Théorème 2.16
Soit T(z) ∈ C(X) une famille holomorphe d'opérateurs pour z ∈ D0. On suppose que la résolvante deT(z)est compacte pour toutz. On a alors l'alternative suivante :
T(z)−1 n'existe pour aucun z appartenant à D0,
T(z)−1 existe pour tout z appartenant à D0\S où S est un sous ensemble discret et localement ni éventuelement vide de D0.
L'opérateur à inverser pour résoudre les équations de Maxwell harmoniques est un opérateur non borné perturbé par un opérateur de multiplication holomorphe et borné. De plus le domaine de l'opérateur perturbé est indépendant de la fréquence. Nous allons donc nous intéresser à une classe d'opérateurs holomorphes dont le domaine ne dépend pas de z : les opérateurs de type A.
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmonique 55
SM la sphère unité deM et les dénitions d'écart suivantes : δ(M, N) = sup
u∈SM
dist(u, N) δ(M, N) = max(δ(M, N), δ(N, M)). Soient T,S ∈ C(X,Y). Leurs graphes G(T), G(S) sont des variétés linéaires fermées de l'espace produit X×Y. On dénit l'écart entreT et S par
δ(T,S) = δ(G(T), G(S)) δ(T,S) = δ(G(T), G(S)). Dénition 2.7
Soit (Tn) une suite d'élément de C(X,Y). On dit que Tn converge vers T (au sens généralisé) si δ(Tn,T)−→0.
Le théorème suivant permet de faire le lien entre la convergence en norme des opérateurs bornés et la convergence généralisée.
Théorème 2.17
Soient T,Tn∈C(X,Y). Si T ∈B(X,Y), Tn converge vers T au sens généralisé si et seulement si Tn ∈B(X,Y) pour des n assez grands et k Tn− T k−→0.
Ce théorème montre que la convergence en norme implique la convergence géné-ralisée.
Théorème 2.18
Soient Tn,T ∈ C(X). On suppose que Tn −→ T au sens généralisé. Si tous les Tn
admettent une résolvante compacte et si T admet un ensemble résolvant non vide alors T a une résolvante compacte.
Ce résultat sera utile par la suite pour démontrer un résultat fort concernant les opérateurs de type A.
Dénition 2.8
Soit D0 un domaine de C. On dit qu'une famille holomorphe d'opérateurs T(z) ∈
C(X,Y) est de type (A) lorsque :
D(T(z)) = D, le domaine de T(z) ne dépend pas de z. ∀z ∈D0, ∀u∈ D, z ∈D0 −→ T(z)u∈Y est holomorphe. Proposition 2.19
Une famille holomorphe de type A est aussi holomorphe au sens généralisé de la dénition 2.6.
Démonstration : soit z ∈ D0. On peut supposer sans perte de généralité que z = 0. Comme T = T(0) est un opérateur fermé, D = D(T) est un espace de Banach pour la norme k u kD=k u k + k Tu k. On notera cet espace Z. Soit U l'injection de Z dans X qui est bornée car k u k≤k u kD. Pour tout z l'opérateur
T(z)peut être vu comme un opérateur deZdansY que l'on va noterV(z). Comme
T(z) est fermé et que ku k≤ku kD l'opérateur V(z) est fermé. Dans la mesure où
V(z) est dénie sur Z, le théorème du graphe fermé implique que V(z) appartient à B(Z,Y). Comme V(z)u= T(z)u et que T(z)u est holomorphe pour tout u ∈Z
il vient que V(z) est holomorphe-borné. Pour conclure on remarque que U envoie injectivement Z dans D et T(z)U = V(z) ce qui prouve que T(z) est holomorphe
au sens généralisé.
Le résultat principal de cette section permet de ramener l'étude de la résolvante d'une famille d'opérateurs de type A à l'étude de la résolvante de l'opérateur T(z0)
pour un z0 xé dans D0 : Théorème 2.20
Soit T(z) ∈ C(X) une famille holomorphe d'opérateurs de type A sur un domaine
D0 de C. On suppose que l'ensemble résolvant deT(z)est non vide ∀z ∈D0 et qu'il existe un point z0 de D0 tel que la résolvante de T(z0) est compacte. Alors, pour tout z appartenant à D0, la résolvante de T(z) est compacte.
Remarque : ce théorème est plus fort que (2.16). C'est son équivalent pour les opérateurs de type A. La preuve de ce théorème utilise les résultats ci dessous. Proposition 2.21
Soit T(z) une famille holomorphe de type A. Alors pour tout ε > 0, il existe δ >0
tel que pour tout |z1−z2|< δ, on ait k T(z1)− T(z2)k≤ε(kuk+k T(z)uk). Théorème 2.22
Soit T et A deux opérateurs non bornés de X dans X vériant les hypothèses sui-vantes :T est fermé, D(T)⊂ D(A)et il existe deux constantes positives aetb telles que k Auk≤akuk+bk Tuk.
Soit R(x,T) = (T −x)−1. On suppose qu'il existe un point z appartenant à l'ensemble résolvant de T tel que ak R(x,T)k+b k T R(x,T)k<1.
Alors S =T +A est fermé et
k R(x,S)k≤k R(x,T)k(1−a k R(x,T)k −b k T R(x,T)k)−1.
En particulier, si T admet une résolvante compacte, S admet elle aussi une résolvante compacte.
Démonstration Supposons que l'on dispose d'une famille d'opérateurs de type A dont la résolvante est compacte en un point de D0. Alors le théorème (2.20) entraîne que la résolvante de T(z) est compacte pour tout z appartenant à D0. Par conséquent, par l'alternative de Fredholm analytique, l'opérateur T(z) est soit singulier surD0 soit inversible surD0 hormis un sous ensemble discret et localement ni éventuelement vide de D0.
Corollaire 2.23
Soit les opérateurs K borné et A maximal monotone. Si pour tout z appartenant au domaine, il existe un λ assez grand tel que l'opérateur I+K soit borné coercif et monotone, alors I+K+A est inversible.
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmonique 57 Etude des Equations de Maxwell en présence d'éléments PML
Les équations de Maxwell harmoniques dans les milieux PML peuvent s'écrire sous la forme :
(K(p,x) +A(x))u(x) =f(x) (2.21)
avec K : (p,x) ∈ D0 ×Ω −→ Hom(C6) une fonction holomorphe en p ∈ D0 et appartenant à L∞(Ω) en x et A=
0 −∇×
∇× 0
. On suppose de plus que D0 est un domaine de C contenant un segment du type [iωmin, iωmax], que f ∈ L2(Ω) et que A est l'opérateur de Maxwell dont le domaineD(A)est indépendant de p∈C. Résoudre cette équation revient à inverser l'opérateur(K(p, .) +A)de domaine
D(A) au point p = iω. Par hypothèses, l'opérateur (K(p, .) +A,D(A)) est holo-morphe enp∈D0 et admet un domaine indépendant dep(et donc de la fréquence) : c'est donc un opérateur de type A.
Théorème 2.24 (Rellich)
L'injection de H1(Ω) dans L2(Ω) est compacte .
Pour tout p appartenant à D0, K(p, .) +A admet D(A) pour domaine et est holomorphe en p par hypothèses sur la matrice K(p, .). C'est donc un opérateur de type A dont le domaine d'holomorphie est D0. De plus, l'opérateur (A,D(A))
est maximal monotone et admet un ensemble résolvant non vide. Comme K(p, .)
est L∞(Ω), l'opérateur(K(p, .) +A,D(A)) admet un ensemble résolvant non vide pour tout p appartenant à D0. Par le théorème (2.20), étudier la compacité de la résolvante de l'opérateur (K(p, .) +A,D(A))revient à l'étudier en un point de D0. Théorème 2.25 Soit Q= div 0 0 div
. Pour tout u dans D(A)∩(H(div,Ω)2), on a :
kuk(H1(Ω))6≤Ckuk(L2(Ω))6 +kAuk(L2(Ω))6 +kQuk(L2(Ω))6 . Dénition 2.9
On notera P0 : L2(Ω)3 −→ H(div0,Ω) et P⊥ : L2(Ω)3 −→ (grad(H10(Ω))2) les projections associées à la décomposition de Hodge et, pour g ∈ L2(Ω)3, g0 = P0g, g⊥ =P⊥g.
L'espace H(div0,Ω)2 est stable par application de l'opérateur A. Lemme 2.26
L'opérateurP⊥K(p, .)P⊥ est inversible sur (grad(H1
0(Ω)))2 pour tout pappartenant à D0 hormis un sous-ensemble ni (eventuellement vide) de D0, noté S. De plus, son inverse est holomorphe sur D0\S .
Démonstration : soit h ∈ H−1(Ω)2. Inverser P⊥K(p)P⊥ sur (grad(H1 0(Ω)))2
revient à trouver ω dans H1
0(Ω)2 tel que ∀v ∈H1 0(Ω)2 on ait Z Ω K(p, .)∇ω,∇v dx=< h, v >H−1(Ω)2×H1 0(Ω)2, (2.22)
avec ∇ω= ∇ω1 ∇ω2 . Soient a(ω, v) = Z Ω K(p, .)∇ω,∇v dx, et L(v) =< h, v >H−1(Ω)2×H1 0(Ω)2. Les applications a(., .) et L(.) sont respectivement bilinéaire et linéaire. De plus, une inégalité de Cauchy-Schwartz montre que a(., .) est continue sur H1
0(Ω)2×H1 0(Ω)2
et queL(.)est continue surH01(Ω)2. On remarque de plus que le problème précédent revient en fait à trouver ω dans H01(Ω)2 tel que ∀v ∈H01(Ω)2,
a(ω, v) = L(v). (2.23) En utilisant le théorème de Lax-Milgram en p =p0, on obtient que cette équa-tion est bien posée. En utilisant la coercivité de K(p0, .) ainsi que la continuité de L(.) surH1
0(Ω)2, on obtient que la solution vérieβ kω kH1
0(Ω)2≤k hkH−1(Ω)2, avec β une constante strictement positive.
De cette dernière inégalité, on déduit que la résolvante deP⊥K(p0, .)P⊥est com-pacte car l'injectionH01(Ω)dansH−1(Ω)est compacte. Alors, par le théorème (2.20), la résolvante de P⊥K(p, .)P⊥ est compacte pour tout p dans D0. Par conséquent, cet opérateur est soit singulier sur D0 soit inversible pour tout p appartenant àD0
hormis un sous-ensemble discret localement ni et eventuellement vide de D0 noté
S . Pour lever cette alternative, on remarque que le problème (2.23) est bien posé pour p=p0.
Montrons maintenant que l'opérateur(P⊥K(p, .)P⊥)−1est holomorphe surD0\S. En appliquant le théorème du graphe fermé au fermé grad(H1
0(Ω))2 de L2(Ω)6, on obtient que (P⊥K(p, .)P⊥)−1 ∈ L((grad(H01(Ω)))2). Comme P⊥K(p, .)P⊥ est holo-morphe surD0,(P⊥K(p, .)P⊥)−1est holomorphe surD0\S.
Théorème 2.27 ([18])
On suppose qu'il existe p0 ∈D0 tel que K(p0, .) soit coercif. Alors l'équation (2.21) est bien posée pour toute fréquence réelle hormis pour un ensemble discret localement ni et eventuellement vide de R.
Démonstration : en projetant l'équation (2.22) selon la décomposition de Hodge le problème est désormais de trouver u=u0+u⊥ ∈ D(A) tels que
(
P0K(p, .)u+Au0 =f0, P⊥K(p, .)u=f⊥.
Commeu=P0u+P⊥u, l'équation précédente devient :
(
P0K(p, .)P0u+P0K(p, .)P⊥u+Au=f0, P⊥K(p, .)P⊥u+P⊥K(p, .)P0u=f⊥.
2.4.3 Existence et unicité de la solution au problème harmonique 59 En utilisant le lemme (2.26), si l'on note A l'opérateur déni par la restrictione
de A à l'ensemble(H(div0,Ω))2 alors D(Ae) =D(A)∩(H(div0,Ω))2 et le problème précédent revient à inverser dans (H(div0,Ω))2 l'opérateur fermé
R(p) := P0K0(p, .)P0−P0K0(p, .)P⊥(P⊥K0(p, .)P⊥)−1P⊥K0(p, .)P0+P0K1(p, .)Ae
L'opérateur R(p) est holomorphe surD0\S=D1. En appliquant les théorèmes (2.25) et (2.20) à la famille d'opérateurs holomorphes de type AR(p)+A, il apparaite
que R(p) +A constitue une famille holomorphe d'opérateurs fermés à résolvantese
compactes pourp∈D1. Par conséquent, cet opérateur est soit singulier surD1 soit inversible pour tout p appartenant à D1 hormis un sous-ensemble discret et loca-lement ni (eventuelloca-lement vide) de D1. Pour lever cette alternative, on remarque queP⊥K(p0, .)P⊥ dénit une forme sesquilinéaire coercive dans(grad(H1
0(Ω)))2 car K(p0, .) et est coercif dans L2(Ω)6. Cela implique que P⊥K(p0, .)P⊥ est inversible. Les opérateurs A et K(p0, .) sont respectivement maximal monotone et monotone borné coercif dans L2(Ω)6, il suit que l'opérateur A+K(p0, .) est inversible. Enn l'opérateur R(p0) +A est inversible danse (H(div0,Ω))2. Donc R(p) +A est inver-e
sible pour tout pappartenant à D1 hormis un sous-ensemble discret localement ni et eventuellement vide de D1. Cela montre que l'opérateur K(p, .) +A est inver-sible dans L2(Ω)6 pour tout p appartenant à D1 hormis un sous-ensemble discret localement ni (eventuellement vide) deD1.
Etude de la coercivité de la matrice PML
D'après ce qui précéde, pour avoir l'existence et l'unicité de la solution, il faut donc vérier qu'il existe unp0 appartenant àC tel que K(p0,x)soit coercive. Si on exhibe un tel point, alors la résolvante est non vide et l'alternative est levée. Propriété 2.28
La matrice K(1,x) est symétrique dénie positive pour tout x dans R3. Démonstration : comme K(p,x) est dénie par la relation (2.20), on a
K(p,x)T =det(J(p,x))J(p,x)−1 J(p,x)T−1
T
=det(J(p,x))J(p,x)−1 J(p,x)T−1 =K(p,x).
Donc la matrice K(p,x)est symétrique pour toutp∈C, donc a fortiori K(1,x)
est symétrique. Soit X∈R3 tel que X6=0. Alors,
XTK(1,x)X =XT det(J(1,x))J(1,x)−1 J(1,x)T−1 X =det(J(1,x))XTJ(1,x)−1 J(1,x)T−1X =det(J(1,x))XTJ(1,x)−1 XTJ(1,x)−1T .
Posons A=XTJ(1,x)−1. Alors XTK(1,x)X=det(J(1,x))AAT.
Comme AAT est dénie positive pour toute matrice A, on en déduit que K(1,x)
est dénie positive si det(J(1,x))>0. Or J(1,x) = D(ex) D(ϕ(x)) D(ϕ(x)) D(x) . Soit F(x) = D(ϕ(x)) D(x) la matrice du jacobien de ϕ et F0(x) = D(x)e
D(ϕ(x)). Alors det(J(1,x)) = det(F(x)).det(I3 +F0(x)). La stricte positivité du déterminant sera garantie si les deux termes du produit sont strictement positifs. Comme ϕ est une fonction croissante qui représente le plon-gement dans une variété M de C3, on a det(F(x)) > 0. Reste donc à montrer que det(I3+F0(x)) > 0. Soit (i, j)∈ J1, nK, F0(x)ij = δij +f0(ϕ(x)). La fonction f est strictement croissante, ces termes sont donc strictement positifs. La matrice K(p0,x) de la formulation PML pour la valeur p0 = 1 est donc bien symétrique
dénie positive.
En exhibant une valeur de p qui appartient au domaine d'holomorphie telle que la matrice K(p,x) est coercive, on lève l'alternative de Fredholm et via le théorème (2.27), on garantit le caractère bien posé des équations de Maxwell écrites dans le milieu PML.