3.2 Existence des solutions Mild
Cette section est consacrée à l’étude des résultats d’existence et d’unicité pour notre problème (3.1)-(3.2) en utilisant le principe de l’application contractante.
THÉORÈME3.2.1 Supposons que les hypotheses (H1)et (H2)sont satisfaites. Alors pour chaque fonction de contrôle u (.) ∈ V , le systeme de contrôle (3.1)-(3.2) a une solution mild unique sur C1−α(J, X) .
Preuve
Pour tout λ > 0, nous définissons l’opérateur Fλ : C1−α(J, X) → C1−α(J, X)par
(Fλx) (t) = tα−1Tα(t) x0+ Z t
0
(t − s)α−1Tα(t − s)Buλ(s, x) + f (s, x (s)) ds. Nous montrons que Fn
λ est un opérateur de contraction sur C1−α(J, X) .En fait pour tout x, y ∈ C1−α(J, X)et t ∈ J, nous avons
t1−αk(Fλx) (t) − (Fλy) (t)k ≤ t1−α Z t 0 (t − s)α−1 Tα(t − s) Buλ(s, x) − uλ(s, y) ds +t1−α Z t 0 (t − s)α−1kTα(t − s) [f (s, x (s)) − f (s, y (s))]k ds ≤ M ˆM kBk Γ (α) t 1−α Z t 0 (t − s)α−1kx (s) − y (s)k ds +N1M Γ (α)t 1−α Z t 0 (t − s)α−1kx (s) − y (s)k ds ≤ ˆM kBk + N1 M tα Γ (α + 1)kx − ykC 1−α. Ainsi, on obtient une constante réelle positive γ(λ) telle que
t1−αk(Fλx) (t) − (Fλy) (t)k ≤ γ(λ) kx − ykC
1−α. (3.3)
pour tout t ∈ J et tout x; y ∈ C1−α. Pour tout nombre naturel n, il résulte de l’itération successive de l’inégalité ci-dessus (3.3) que, en prenant la borne supérieure sur J,
kFλnx − FλnykC
1−α ≤ γ
n(λ)
n! kx − ykC
1−α. (3.4)
Pour tout λ > 0 fixé, pour n suffisamment grand ; γnn!(λ) < 1. Il résulte de (3.4) que Fn λ est une contraction, ainsi que le principe de contraction assure que l’opérateur Fλ a un unique point fixe xλ dans C1−α(J, X), qui est une solution mild de (3.1)–(3.2).
3.3 Résultats de contrôlabilité approchée 26
3.3 Résultats de contrôlabilité approchée
Dans cette section, nous nous intéressons aux résultats de contrôlabilité approchée des systèmes différentiels à évolution fractionnaire avec les dérivés fractionnaires de Riemann – Liouville.
THÉORÈME3.3.1 Supposons que les hypothèses (H1) − (H3)sont satisfaites, de plus si la fonction f est uniformément bornée et Tα(t) (t ≥ 0)est compact, alors le système (3.1)–(3.2) est approximativement contrôlable sur J.
Preuve.Soit xλun point fixe de Fλ. On peut avoir facilement que xλ(b) = x(b) − λ(λI + Ψb0)−1 b1−αTα(b)x0
+λ Z b
0
(λI + Ψbs)−1(b − s)α−1Tα(b − s)f (s, xλ(s))ds Il résulte de l’hypothèse sur f qu’il existe ˆD > 0tel que
kf (s, xλ(s))k ≤ ˆD,
pour tout s ∈ J. Alors, il se trouve une sous-suite notée par {f (s, xλ(s))}qui converge faiblement à certains {f (s)} dans X.
De l’équation précédente, nous avons kxλ(b) − x(b)k ≤ λ(λI + Ψb0)−1 b1−αTα(b)x0 + Z b 0 (b − s)α−1 λ(λI + Ψbs)−1 kTα(b − s)(f (s, xλ(s)) − f (s))k ds + Z b 0 (b − s)α−1 λ(λI + Ψbs)−1Tα(b − s)f (s) ds.
En utilisant l’hypothèse (H3), pour tout 0 ≤ s < b l’opérateur λ(λI + Ψb
s)−1 → 0
fortement quand λ → 0+et de plus kλ(λI + Ψb
s)−1k ≤ 1. Ainsi, par le théorème de convergence dominée de Lebesgue et la compacité de l’opérateur Tα implique que kxλ(b) − x(b)k → 0quand λ → 0+. Par conséquent, la contrôlabilité approchée de (3.1)-(3.2) a été prouvée.
3.4 Exemple 27
3.4 Exemple
Considérons le système de contrôle fractionnaire avec condition initiale et dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville
D 2 3 tx (t, z) = ∂ 2 ∂z2x (t, z) + µ (t, z) + ˆf (t, x (t, z)) , (3.5) x (t, 0) = x (t, 1) = 0, t ∈ J, (3.6) I01−α+ x(t, z)|t=0 = x0(z), z ∈ [0, 1] (3.7) Les fonctions x(t)(z) = x(t, z), f (t, x(t))(z) = ˆf (t, x(t, z)),l’opérateur linéaire borné B : V = L2([0, b]; U ) → L2([0, b]; X)est défini par Bu(t)(z) = µ(t, z), 0 ≤ z ≤ 1, u ∈ U. Soit X = U = L2([0, 1])et l’opérateur A : D(A) ⊂ X −→ X est défini par
Ax = x” où
D(A) = {x ∈ X : x, x8 sont absolument continues, x88∈ X, x(0) = x(1) = 0} Alors l’opérateur A peut étre écrit comme suit
Ax = − ∞ X
n=1
n2(x, xn)xn, x ∈ D(A)
où xn(z) =p2/πsin nz, (n = 1, 2, ...)est une base orthônormale sur X,il est bien connue que A est un opérateur infinitésimal d’un semi-groupe différentiable S(t) (t > 0) S(t)x = ∞ X n=1 e−n2t(x, xn)xn, x ∈ X, et ||S(t)|| ≤ e−1 < 1 = M.
3.4 Exemple 28
Par conséquent, avec les choix ci-dessus, le système (3.5)-(3.7) peut s’écrire comme une formulation abstraite de (3.1)-(3.2) et ainsi le Théorème 3.2.1. permet de garantir l’existence d’une solution mild de (3.5)-(3.7). D’autre part, il est facile de voir que le système de contrôle déterministe linéaire fractionnaire correspond à (3.5)-(3.7) est approximativement contrôlable sur J, ce qui signifie que toutes les conditions du Théorème 3.3.1. sont satisfaites. Ainsi, le système de contrôle fractionnaire (3.5)-(3.7) est approximativement contrôlable sur J.
Conclusion
Dans ce mémoire, nous avons présenté quelques conditions suffisantes et appropiées pour l’existance et l’unicité de solution mild et de résultats de contrôlabilité
approchée pour les problémes fractionnaires abstraite de Cauchy avec les dérivés fractionnaires de Riemann–Liouville dans un espace de Banach. Les résultats sont obtenus en basant sur le calcul fractionnaire, la théorié des semi-groupes et le théorème de point fixe (Principe de l’application contractante).
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