Existence globale

5.4.2.1 Sans convexit´e

Ici, nous donnons un r´esultat d’existence globale sans hypoth`ese de convexit´e sur g mais en imposant sur g la condition d’Ambrosetti-Rabinowitz (5.1.5) :

Proposition 5.4.8 Supposons que f ∈ Lr(Ω) , r > N/p et g satisfait (5.1.1), (5.1.2) et la condition (5.1.5). Alors v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω) et elle est une solution variationnelle de (P_v,λb) .

Preuve. Soit λ_n% λ_b, et v_n = v_λn. D’apr`es la proposition 5.2.1, J_λn(v_n) = ¹ p Z Ω |∇v_n|^pdx − λ_n Z Ω f Φ(v_n)dx ≤ 0. Puisque v_n satisfait (5.2.15), alors nous obtenons

λn

Z

Ω

f (vnϕ(vn) − pΦ(vn))dx = pJλn(vn) ≤ 0.

Par l’hypoth`ese (5.1.5), pour ε = (k − p)/2 il existe B > 0 tel que tϕ(t) ≥ (k − ε)Φ(t) = (^k+p₂ )Φ(t) pour tout t > B. Par suite

Z Ω f vnϕ(vn)dx ≤ λnp Z Ω f Φ(vn))dx = p( Z {vn≤B} f Φ(v_n)dx + Z {vn>B} f Φ(v_n)dx) ≤ C + ^2p k + p Z {v_n>B} f v_nϕ(v_n))dx,

pour une certaine constante C > 0. D’o`u on conclut que f vnϕ(vn) est born´ee dans L¹(Ω), et donc

Z

Ω

|∇v_n|^pdx est born´ee ; alors il existe une sous-suite convergeant faiblement dans W₀^1,p(Ω), et n´ec´essairement vers v^∗. Par la proposition 5.4.6, v^∗ est une solution de (P_v,λb) dans D⁰(Ω), donc v^∗ est une solution variationnelle.

Remarque 5.4.9 Un cas particulier pour lequel la condition (5.1.5) est satisfaite est lorsque lim inf t→∞ t g⁰(t) g(t) ^{= m > 1.}

Cela r´esulte de la r`egle de l’Hˆopital, puisque (tϕ(t))<sup>0</sup>/Φ<sup>0</sup>(t) = 1 + (p − 1)tg<sup>0</sup>(t)/(1 + g(t))) pour tout t > 0. Par suite la proposition 5.4.8 am´eliore le r´esultat de [7],o`u en plus il est suppos´e que g(t) ≤ C(1 + tm), et ´etend encore celle de [5].

5.4.2.2 Avec convexit´e

Ici nous supposons que g satisfaisant (5.1.1) et (5.1.2) et convexe au voisinage de ∞. Notons que dans ce cas λ_b = λ^∗ = λ_r < ∞ d’apr`es le th´eor`eme 4.3.3 et la remarque 5.4.2. Comme cons´equence de la proposition 5.2.10, nous montrons que la fonction extr´emale est une solution de (P_v,λ∗) :

Th´eor`eme 5.4.10 Supposons (5.1.1) et (5.1.2) avec g est convexe au voisinage de ∞, et f ∈ Lr(Ω) avec r > N/p. Alors la fonction extr´emale v^∗ est une solution renormalis´ee de (P_v,λ∗).

Preuve. Soit λn % λ^∗, et vn= v_λn. Alors Jλn(vn) ≤ 0 d’apr`es proposition 5.2.1. Par la proposition 5.2.10, (f g(v_n)p−1) est born´ee dans L1(Ω), et (vp−1

n ) est born´ee dans Lσ(Ω), pour tout σ ∈ [1, N/(N − p)) . Alors v_n converge vers v^∗ presque partout dans Ω, voir la remarque 2.2.13.

Par le th´eor`eme de convergence monotone de Beppo-Levi ,f g(v^∗)p−1∈ L1(Ω), et (f g(v_n)p−1) converge vers f g(v)p−1 fortement dans L1(Ω); donc

λ_nf (x)(1 + g(v_n))^p−1 → λ^∗f (x)(1 + g(v))^p−1 fortement dans L¹(Ω). D’apr`es le remarque 2.2.19, v est une solution renormalis´ee de (P_v,λ∗).

5.4.3 R´egularit´e

Dans cette section nous supposons que g est convexe au voisinage de ∞ et nous cherchons d’autres informations sur la r´egularit´e de v^∗ en utilisant la semi-stabilit´e de la solution minimale born´ee de (P_v,λ), donn´ee par [6, proposition 2.2]. Nous ´etendons les r´esultats de [18] pour p = 2 et de [22] pour p > 2 avec f ≡ 1. Ici nous utilisons la fonction h d´efinie par (5.2.9), introduite par [18].

Proposition 5.4.11 Supposons (5.1.1) et (5.1.2) avec g convexe sur [a, ∞) pour un a > 0 et f ∈ Lr(Ω) , r > N/p. Soit h d´efinie par (5.2.9).

(i) Alors

(ii) Si N < N₀ = pp⁰/(1 + 1/(p − 1)r), alors v^∗ ∈ L∞(Ω). En particulier si N = p alors v^∗ ∈ L∞(Ω).

Si N > N₀, alors v^∗p−1 ∈ Lk(Ω) pour tout k < ¯σ, o`u 1/¯σ = 1 − pp⁰/N + 1/r(p − 1). Si N = N₀, alors v^∗ ∈ Lk(Ω) pour tout k ≥ 1.

(iii) Si N < N₁ = p(1 + p⁰)/(1 + p⁰/r) alors v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω).

Si N > N1, |∇v^∗|^p−1∈ Lτ(Ω) pour tout τ < ¯τ o`u 1/¯τ = 1 + 1/(p − 1)r − (p⁰+ 1)/N. Si N = N₁, |∇v^∗| ∈ Ls(Ω) pour tout s < p.

(iv) Si lim inf

t→∞ h(t)/t > 0, alors v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω). En particulier cette condition est satisfaite si lim inf

t→∞ (g⁰(t) − g(t)/t) > 0.

Preuve. (i) Soit λ_n% λ∗, et v_n = v_λn. D’apr`es [7, Proposition 2.2], v_nest semi-stable. Consid´erons ψ = g(v_n) dans (5.2.3) avec λ = λ_n et v = v_n, nous obtenons

Z Ω |∇v_n|^pg⁰²(v_n)dx ≥ λ_n Z Ω f (1 + g(v_n))^p−2g⁰(v_n)g²(v_n)dx. On consid`ere la fonction S(t) =

Z t 0

g⁰²(s)ds, pour tout t ≥ 0. Prenons S(v_n), comme fonction test dans (P_v,λn), nous trouvons

Z Ω |∇vn|^pg⁰²(vn)dx = λn Z Ω f (1 + g(vn))^p−1S(vn)dx Par suite Z Ω f (1 + g(v_n))^p−2((1 + g(v_n))S(v_n) − g⁰(v_n)g²(v_n))dx ≥ 0. Mais (1 + g(t))S(t) − g⁰(t)g²(t) = S(t) − g(t)(g⁰(t)g(t) − S(t)) = S(t) − g(t)h(t). Donc Z Ω f (1 + g(v_n))^p−2(S(v_n) − g(v_n)h(v_n))dx ≥ 0, c’est `a dire Z Ω f (1 + g(v_n))^p−2g(v_n)h(v_n)dx ≤ Z Ω f (1 + g(v_n))^p−2S(v_n)dx Or, par (5.2.11) et (5.2.13) du lemme 5.2.9 nous avons lim

t→∞h(t)/g⁰(t) = ∞, et par (5.1.2) on a lim t→∞g(t) = ∞, donc S(t) g(t)h(t) ⁼ g⁰(t)g(t) + h(t) g(t)h(t) ⁼ g⁰(t) h(t) − ¹ g(t) → 0 si t → ∞,

donc il existe A > 0 assez grand tel que S(t) ≤ (g(t)h(t))/2 pour tout t ≥ A. Alors il existe C = C(A) > 0 tel que

Z

Ω

f (1 + g(v_n))^p−2g(v_n)h(v_n))dx ≤ C. Puisque lim

t→∞g(t) = ∞, donc il existe B > 0 tel que 1 + g(t) ≤ 2g(t) pour t ≥ B, par cons´equent

(f (1 + g(v_n))^p−1h(v_n)) est born´ee dans L¹(Ω), (5.4.3) d’o`u nous d´eduisons (5.4.2). Alors, en utilisant (5.2.13) du lemme 5.2.9 nous obtenons

f g(v^∗)^p−1j(v^∗) ∈ L¹(Ω), d’o`u, par (5.2.11) nous d´eduisons

f g(v^∗)^p−1g⁰(v^∗) ∈ L¹(Ω).

Par convexit´e de g sur [a, ∞), pour tout t ≥ a nous avons g(a) ≥ g(t) + (a − t)g⁰(t) ≥ g(t) − tg⁰(t), car g croissante. Donc ^g(t)_t ≤ g0(t) + ^g(a)_t ≤ g0(t) +^g(a)_a pour tout t ≥ a. Par cons´equent

f g(v^∗)^p/v^∗ ∈ L¹(Ω).

En particulier nous retrouvons de nouveau que (f (1 + g(v^∗))p−1)∈ L1(Ω), qui a ´et´e obtenu dans le th´eor`eme 5.4.10.

(ii) − (iii) La r´egularit´e de v^∗ d´ecoule de l’estimation f (g(v^∗))p/v^∗ ∈ L1(Ω). Nous utilisons un argument de bootstrap en plusieurs ´etapes :

Etape d’initiation. Prenons σ tel que r⁰ < σ < N/(N − p), nous avons v^∗p−1 ∈ Lσ(Ω). D´efinissons θ par ^p_θ = p − 1 +¹_r + _σ¹, nous avons θ ∈ (1, p⁰) , et

1 − ^θ p0 = 1 − ^{p − 1} p/θ ⁼ (p/θ) − (p − 1) p/θ ⁼ θ p⁽ 1 r ⁺ 1 σ^{) =} θ p⁽ r + σ rσ ^), donc p⁰/(p⁰− θ) = ^p_θ(_r+σ^rσ ). Par l’in´egalit´e de H¨older

Z Ω (f g(v^∗)^p−1)^θdx = Z Ω (^f 1/pg(v^∗) v∗1/p )^(p−1)θ(f^θ/pv^∗θ/p0)dx ≤ Z Ω f g(v^∗)p v∗ dx θ/p0 Z Ω (f^θ/pv^∗θ/p0)^p0/(p0−θ)dx 1−θ/p0 = Z Ω f g(v^∗)p v∗ dx θ/p⁰_Z Ω f^rσ/(r+σ)v^{∗(p−1)rσ/(r+σ)}dx 1−θ/p⁰ ≤ Z Ω f g(v^∗)p v∗ dx θ/p0 Z Ω f^rdx θ/p_Z Ω v^∗σ(p−1)dx θ/pσ

Alors f g(v^∗)p−1∈ Lθ(Ω) avec θ > 1.

Si p = N, alors par le lemme 2.3.3, v^∗ ∈ L∞(Ω). Dans la suite nous supposons p < N. Choisissons σ suffisamment proche de r⁰ :

1 σ ^> 1 r0 − ^{p(N − p)} N ^, nous obtenons 1 θ ^{= 1 +} 1 p⁽ 1 σ − ¹ r0) > ^p N^. Par le lemme 2.3.3, puisque θ < N/p, nous avons

v^∗p−1∈ Lσ1(Ω) avec σ₁ = N θ/(N − p θ). Pour σ suffisamment proche de r⁰ :

p − 1 σ ^>

1

r0 − ^{p(N − p)} N ^, nous trouvons que σ₁ > σ.

D´efinissons θ₁ par 1 θ₁ ^{= 1 +} 1 p⁽ 1 σ₁ − ¹ r0).

Alors θ₁ > θ et nous montrons que f g(v^∗)p−1∈ Lθ1(Ω), comme pour θ. Dans la suite nous discutons la position de θ₁ par rapport `a N/p et nous pouruivons par un argument de bootstrap.

Bootstrap 1. Nous distinguons les trois cas suivants : Cas 1 : Si θ₁ < N/p alors v^∗p−1 ∈ Lσ2(Ω) avec _σ¹

2 = _θ¹

1 − _N^p, d’apr`es le lemme (2.3.3). Nous avons σ₂ > σ₁ > σ > r⁰. D´efinissons θ₁ par _θ¹

2 = 1 + ¹_p(_σ¹ 2 − 1

r0). Alors θ₂ > θ₁ et f g(v^∗)p−1∈ Lθ2(Ω), comme dans l’´etape d’initiation.

Cas 2 : Si θ₁ = N/p alors v^∗p−1∈ Ls(Ω) pour tout s ≥ 1. Prenons k : ^p_k = p − 1 + ¹_r +¹_s, avec s assez grand ; par exemple 1

s < 1

r0 − ^{p(N −p)}_N . Alors k > N/p et f g(v^∗)p−1 ∈ Lk(Ω) , comme dans l’´etape d’initiation. Alors v^∗p−1∈ L∞(Ω).

Cas 3 : Si θ₁ > N/p alors v^∗p−1∈ L∞(Ω).

Et ainsi de suite, nous pouvons d´efinir deux suites strictement croissantes (σν) et (θν), par 1 σ_ν ⁼ 1 θ_ν−1 − ^p N ^{= 1 +} 1 p⁽ 1 σ_ν−1 − ¹ r0) − ^p N^{, (5.4.4)} 1 θν = 1 + ¹ p⁽ 1 σν − ¹ r0) = 1 +¹ p⁽ 1 θν−1 − ^p N − ¹ r0), (5.4.5)

tant que θ_ν−1 < N/p, telles que v^∗p−1∈ Lσν(Ω) et f g(v^∗)p−1 ∈ Lθν(Ω). Ainsi nous obtenons une suite (θ_ν−1) strictement croissante major´ee par N/p, alors (θ_ν−1) converge vers une limite l_θ ≤ N/p. En passant `a la limite dans la relation it´erative (5.4.5) nous obtenons

1 l_θ ^{= 1 +} 1 p⁽ 1 l_θ − ^p N − ¹ r0), donc 1 l_θ ^{= 1 +} 1 (p − 1)r − ^p 0 N^. Donc 1 l_θ ≥ p/N ⇔ 1 + ¹ (p − 1)r ≥ ^{p + p} 0 N ⁼ pp⁰ N ⇔ N ≥ N₀. D’o`u on conclut

• Si N < N₀ alors l’argument it´eratif s’arrˆete apr`es un nombre fini d’´etapes ¯ν avec θν¯ ≥ N/p. Alors v∗p−1 ∈ L∞(Ω).

• Si N ≥ N₀ alors (θ_ν) converge vers l_θ et (σ_ν) converge vers une limite l_σ obtenue en passant `a la limite dans (5.4.4) :

1 l_σ ⁼ 1 l_θ − ^p N ^{= 1 +} 1 (p − 1)r − ^{p + p} 0 N ^.

Puisque v^∗p−1 ∈ Lσν(Ω) pour tout ν alors v^∗p−1 ∈ Lk(Ω) pour tout k < ¯σ, o`u ¯σ = l_σ. Dans le cas N = N₀ on a l_σ = ∞. Donc la preuve de (ii) est achev´ee.

Bootstrap 2. Dans le cas 1 du bootstarp 1 si θ₁ ≥ ^{N p}

N p − N + p ^{alors v}

∗ ∈ W₀^1,p(Ω) ; si θ₁ < ^{N p}

N p − N + p ^{< N/p alors nous obtenons par le lemme 2.3.3 : (|∇v}

∗|^p−1) ∈ Lτ1(Ω) avec 1/τ1 = 1/θ1 − 1/N, et ainsi de suite on peut d´efinir une suite strictement croissante (τ_ν) par

1/τ_ν = 1/θ_ν− 1/N, (5.4.6) tant que θ_ν < ^{N p}

N p − N + p ^{, avec (|∇v}

∗|^p−1) ∈ Lτ1(Ω). La suite (θ_ν) converge vers une limite l_θ ≤ ^{N p} N p − N + p ^et 1 lθ = 1 + _(p−1)r¹ − ^p_N⁰. Donc 1 l_θ ≥ ^{N p − N + p} N p ^{= 1 −} 1 p⁺ 1 N ⇔ ¹ (p − 1)r ⁺ 1 p ≥ ^{1 + p} 0 N ⇔ N ≥ N1. D’o`u on conclut

• Si N < N₁ alors l’argument it´eratif s’arrˆete apr`es un nombre fini d’´etapes ¯ν avec θ_ν¯ ≥ ^{N p}

N p − N + p^{. Alors v}

• Si N < N₁ alors la suite (τ_ν) converge vers une limite l_τ obtenue en passant `a la limite dans (5.4.6) : 1 lτ = ¹ lθ − ¹ N ^{= 1 +} 1 (p − 1)r −^{1 + p} 0 N ^.

Alors (|∇v^∗|^p−1) ∈ Lτ(Ω) pour tout τ < ¯τ = l_τ = (1 + _(p−1)r¹ − ^(p0_N⁺¹⁾)⁻¹. Pour N = N₁ on a ¯τ = ∞. Donc la preuve de (iii) est achev´ee.

(iv) Si lim inf

t→∞ h(t)/t > 0, alors Z

Ω

f (1 + g(v_n))^p−1v_ndx est born´ee dans L1(Ω), en utilisant (5.4.3). En multipliant (P_v,λn) par v_n nous obtenons

Z Ω |∇v_n|^pdx = λ_n Z Ω f (1 + g(v_n))^p−1v_ndx ≤ C, donc v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω). Cela est vrai en particulier quand lim inf

t→∞ j(t)/t > 0, d’apr`es (5.2.13) du lemme 5.2.9.

Remarque 5.4.12 Si p ≥ 2, alors v^∗ est semi-stable. En effet v_n= v_λn satisfait (5.2.3) pour tout ψ ∈ D(Ω). Et (|∇v_n|^p−1) converge fortement dans L1(Ω) vers |∇v^∗|^p−1, donc on peut passer `a la limite en utilisant le th´eor`eme de la convergence domin´ee de Lebesgue et le lemme de Fatou.

Remarque 5.4.13 Si p = 2, Ω strictement convexe, et f = 1, alors v^∗ ∈ W₀^1,2(Ω), pour toute fonction g satisfaisant (5.1.1) et (5.1.2), d’apr`es [19] . La preuve utilise le fait que Jλ∗(v<sup>∗</sup>) ≤ 0 et l’identit´e de Pohozaev ; le point cl´e est que v<sup>∗</sup> est r´eguli`ere au voisinage du bord , d’apr`es les r´esultats de [20].

Dans le cas g´en´eral p > 1 avec f ≡ 1, si on peut montrer que v^∗ est r´eguli`ere au voisinage du bord, alors v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω). En effet, un r´esultat de [15] ´etend l’identit´e de Pohozaev au p-Laplacien. Pour f quelconque on ne peut pas obtenir le r´esultat par cette m´ethode , mˆeme pour p = 2.

Remarque 5.4.14 Dans le cas exponentiel 1 + g(v) = e^v, avec f ≡ 1, il a ´et´e montr´e que v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω), et v^∗ ∈ L∞(Ω) quand N < N₂ = 4p/(p − 1) + p, voir [11] et [12]. Dans le cas de puissance, (1 + g(v))p−1 = (1 + v)m on a les mˆeme conclusions; si N ≥ N₂, et m < m_c, o`u

m_c = (p − 1)N − 2p(p − 1)(N − 1) + 2 − p N − p − 2 − 2p(N − 1)/(p − 1)

alors on a encore v^∗ ∈ L∞(Ω), voir [10]. Les mˆeme conclusions ont ´et´e montr´ees quand la fonction g se comporte comme une exponentielle ou une puissance, voir [24], [7], [21], et [9]. A notre connaissance, pour g g´en´eral on ne sait pas si v^∗ est born´ee pour N entre N₀ = pp⁰ et N₂, `a l’exception du cas radial , voir [8].

Maintenant nous donnons deux cas pour lesquelles la solution extr´emale est born´ee quand g a une croissance lente :

Proposition 5.4.15 Supposons que g satisfait (5.1.1), (5.1.2 et (5.1.3) pour un certain Q ∈ (p − 1, Q₁) , et g est convexe au voisinage de ∞, et f ∈ Lr(Ω) avec Qr⁰ < Q₁.

Alors v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω) ∩ L^∞(Ω) et elle est une solution variationnelle (Pv,λ∗).

Preuve. Comme dans la proposition 4.3.10, la conclusion r´esulte du th´eor`eme 5.4.10 et (i) de la proposition 2.3.4.

Comme cons´equence de la proposition 5.3.1 nous obtenons que la solution extr´emale est born´ee sous la condition (5.1.3) et f ∈ L^r(Ω) avec (Q + 1)r⁰ < p^∗, ce qui ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme 5.1.2 :

Proposition 5.4.16 Supposons (5.1.1), (5.1.2) et (5.1.3), g convexe au voisinage de ∞, et f ∈ Lr(Ω) avec (Q + 1)r⁰ < p^∗. Alors la solution extr´emale v^∗ ∈ W₀^1,p(Ω) ∩ L^∞(Ω) et elle est une solution variationnelle (P_v,λ∗).

Preuve. Consid´erons λ_n % λ∗, la suite de solutions minimales v_n = v_λn satisfait Jλn(vn) ≤ 0 par la propositions 5.2.1. D’apr`es la proposition 5.3.1, (vn) est born´ee dans W<sub>0</sub><sup>1,p</sup>(Ω), et converge vers v<sup>∗</sup> presque partout dans Ω, donc v<sup>∗</sup> ∈ W<sub>0</sub><sup>1,p</sup>(Ω) et elle est une solution variationnelle de (P<sub>v,λ</sub>∗). Alors v ∈ L<sup>∞</sup>(Ω) d’apr`es (iii) de la proposition 2.3.4 . Remarque 5.4.17 Dans le cas p = N, les hypoth`eses de croissance ne sont pas n´ecessaires dans les propositions 5.4.15 et 5.4.16 : pour tout g satisfaisant (5.1.1), convexe au voisi-nage de ∞, et f ∈ L<sup>r</sup>(Ω) , r > 1, nous avons v<sup>∗</sup> ∈ W<sub>0</sub><sup>1,N</sup>(Ω) ∩ L<sup>∞</sup>(Ω), par la proposition 5.4.11. Cependant, nous avons besoin de l’hypoth`ese (5.1.3) pour un Q > N − 1 pour obtenir le r´esultat de multiplicit´e du th´eor`eme 5.1.1.

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Chapitre 6

´

Etude du probl`eme (P

_v,λ

) avec

donn´ees mesures quelconques

Sommaire

6.1 Introduction . . . 135 6.2 Preuves . . . 136

6.1 Introduction

Dans ce chapitre nous donnons des r´esultats d’existence et de non-existence de solu-tions renormalis´ees pour le probl`emes (P_v,λ) avec mesure µ ∈ M⁺_b(Ω), µ 6= 0 :

(

−∆_pv = λf (1 + g(v))p−1+ µ dans Ω,

v = 0 sur ∂Ω ^(6.1.1)

En fait, le r´esultat d’existence du th´eor`eme 2.11 est une cons´equence du th´eor`eme suivant qui traite l’existence du probl`eme plus g´en´eral :

(

−∆_pU = λh(x, U ) + µ dans Ω,

U = 0 sur ∂Ω, ^(6.1.2)

o`u µ ∈ M<sub>b</sub>(Ω) est arbitraire, sans hypoth`ese de signe ; et h une fonction de Carath´eodory de Ω × R `a valeurs r´eels ayant une croissance lente polynomiale de la forme

|h(x, U )| ≤ f (x)(K + |U |^Q), (6.1.3) avec Q > 0 et λ, K > 0, et f ∈ L^r(Ω) avec Qr⁰ < Q₁, o`u Q₁ est donn´e par (4.1.5).

Th´eor`eme 6.1.1 Soit µ ∈ M_b(Ω), et h satisfaisant (6.1.3) avec avec Q > 0 et λ, K > 0, et f ∈ Lr(Ω) avec Qr⁰ < Q₁. Alors il existe une solution renormalis´ee de (6.1.2) dans l’un des cas suivants :

Q = p − 1 et λ < λ₁(f ); (6.1.4) 0 < Q < p − 1; (6.1.5) (

Q > p − 1 et

λ kf k_Lr(Ω)(λK kf k_Lr(Ω)+ |µ| (Ω))(Q/(p−1))−1|Ω|^1/r0−Q/Q1 ≤ C ^(6.1.6) pour une certaine constante C = C(N, p, Q) pour p < N, et C = C(N, Q, KN(Ω)) pour p = N.

Ce th´eor`eme am´eliore un r´esultat annonc´e dans [6, th´eor`eme 1.1] pour Q > 1, avec une preuve incompl`ete. Notre r´esultat traite le cas g´en´eral Q > 0, et donne les meilleurs informations dans le cas Q = p − 1.

Par la proposition suivante nous obtenons des r´esultats de non-existence de solutions renormalis´ees du probl`eme (6.1.1) :

Proposition 6.1.2 Soit µ_s ∈ M+

s(Ω) et f ∈ L¹(Ω) une fonction positive.

(i) Pour tout λ > λ₁(f ), ou λ = λ₁(f ) et f ∈ LN/p(Ω), p < N, il n’y a pas de solution positive v de

(

−∆_pv = λf (1 + v)^p−1+ µ_s dans Ω,

(ii) Soit g d´efinie sur [0, ∞) et lim inf

t→∞ g(τ )/τ > 0. Si λ > λ_r, il n’y a pas de solutions v de

(

−∆_pv = λf (1 + g(v))p−1+ µ_s dans Ω,

v = 0 sur ∂Ω.

Dans la d´emonstration de la proposition pr´ec´edente nous utilisons le r´esultat suivant de Ponce [7], qui est une cons´equence directe du principe de maximum quand p = 2, mais n’est pas simple pour p 6= 2, puisqu’on ne connait pas un principe de comparaison pour les mesures :

Lemme 6.1.3 Soit h une fonction Carath´eodory de Ω × [0, ∞) dans [0, ∞) . Soit µ_s ∈ M+

s(Ω) et u une solution renormalis´ee positive de (

−∆_pU = h(x, U ) + µ_s dans Ω,

U = 0 sur ∂Ω. ^(6.1.8)

Supposons que sup

t∈[0,u(x)]

h(x, t) = F (x) ∈ L¹(Ω). Alors il existe une solution renormalis´ee positive V de

(

−∆_pV = h(x, V ) dans Ω,

V = 0 sur ∂Ω. ^(6.1.9)

6.2 Preuves

La d´emonstration du [6, th´eor`eme 1.1] est incompl`ete : l’approximation de la mesure n’est pas pr´ecis´ee. Ici nous donnons une preuve d´etaill´ee, valable pour tout p ≤ N , o`u nous pr´ecisons l’approximation de la mesure.

Preuve du th´eor`eme 6.1.1. La d´emonstration est partag´ee en plusieurs ´etapes : Etape 1 : Construction d’une approximation convenable de µ. Nous suivons une preuve de [3], voir encore [5] .Soit

µ = µ₁− µ₂+ µ⁺_s − µ⁻_s, avec µ₁ = µ⁺₀, µ₂ = µ⁻₀ ∈ M+ 0(Ω) et µ+ s, µ⁻_s ∈ M+ s(Ω), donc µ₁(Ω) + µ₂(Ω) + µ⁺_s(Ω) + µ⁻_s(Ω) ≤ 2 |µ(Ω)| . Par le r´esultat de [4], pour i = 1, 2, µ_i se d´ecompose de la fa¸con suivante

µi = ϕiγi, avec γi ∈ M_b⁺(Ω) ∩ W^−1,p0(Ω) et ϕi ∈ L¹(Ω, γi).

Soit (K_n)_n≥1 une suite croissante de compactes de Ω, telle que ∪^+∞_n=1K_n = Ω et soit ν1,i = T1(ϕiχK1)γi et νn,i= Tn(ϕiχKn)γi− Tn−1(ϕiχKn−1)γi.

En utilisant une suite r´egularisante, il existe une fonction positive φ_n,i ∈ D(Ω) telle que kφ_n,i− ν_n,ik_W−1,p0(Ω) ≤ 2⁻ⁿµ_i(Ω),

pour tout n ≥ 1, voir [3]. Alors h_n,i =Pn

1φ_k,i ∈ D(Ω) et (h_n,i) converge fortement dans L1(Ω) vers une fonction h_i, et kh_n,ik_L1(Ω) ≤ µ_i(Ω). On d´efinit la suite de fonctions

G_n,i=

n

X

1

(ν_k,i− φ_k,i) ∈ W^−1,p0(Ω) ∩ M_b(Ω).

Nous avons encore (G_n,i) converge fortement dans W^−1,p0(Ω) vers une certaine fonction G_i, et µ_i = h_i+ G_i, et kG_n,ik_M

b(Ω) ≤ 2µ_i(Ω). Pour la partie singuli`ere, par r´egularisation, il existe une suite de fonctions positives λ1

n et λ2

n∈ D(Ω) convergeant respectivement vers µ+

s, µ⁻_s pour la topologie ´etroite, avec kλ1

nk_L1(Ω) ≤ µ+

s(Ω), kλ2

nk_L1(Ω) ≤ µ−

s(Ω). Alors la suite d’approximations de µ define par

µ_n= h_n,1− h_n,2+ G_n,1− G_n,2+ λ¹_n− λ2 n

satisfait les conditions de stabilit´e du th´eor`eme 2.2.12, et de plus elle est born´ee par rapport `a |µ| (Ω) par une constante universelle :

|µn| (Ω) ≤ 4 |µ| (Ω).

Etape 2 : Le probl`eme d’approximation. Pour tout n ∈ N fix´e, nous cherchons une solution variationnelle de

−∆_pU_n= λT_n(h(x, U_n)) + µ_n, (6.2.1) en utilisant le th´eor`eme de point fixe de Schauder . `A chaque V ∈ W₀^1,p(Ω) nous associons la solution U = F_n(V ) ∈ W₀^1,p(Ω) de

−∆pU = λTn(h(x, V )) + µn,

o`u T_n est la fonction de troncature. En consid´erant U comme fonction test nous touvons k∇U k^p_Lp(Ω) ≤ λn kU k_L1(Ω)+ kµ_nk_W−1,p0(Ω)kU k_W1,p

0 (Ω), donc kU k_W1,p

0 (Ω) ≤ C_n ind´ependante de V.

Soit B_n = B(0, C_n) la boule de rayon C_n de W₀^1,p(Ω). Alors F_n est d´efinie, continue et compacte de B_n dans B_n, donc elle admet un point fixe U_n.

Par l’estimation (2.3.2) de la proposition 2.3.2, avec σ = Qr⁰/(p−1), et par l’hypoth`ese (6.1.3) nous avons ( Z Ω |U<sub>n</sub>|<sup>Qr0</sup>dx)<sup>(p−1)/Qr0</sup> ≤ C<sub>0</sub>|Ω|<sup>`</sup>  λ Z Ω |T_n(h(x, U_n))| dx + |µ_n(Ω)|  ≤ C₀|Ω|<sup>`</sup>  λ kf k<sub>L</sub>r(Ω)( Z Ω |U<sub>n</sub>|<sup>Qr0</sup>dx)<sup>1/r0</sup> + λK kf k<sub>L</sub>1(Ω)+ 4 |µ| (Ω)  , o`u ` = (p−1)/Qr<sup>0</sup>−(N −p)/N, et C<sub>0</sub> = C<sub>0</sub>(N, p, Q, r) pour p < N, et C<sub>0</sub> = C<sub>0</sub>(N, Q, r, K<sub>N</sub>(Ω)) pour p = N. Donc ( Z Ω |U<sub>n</sub>|<sup>Qr0</sup>dx)<sup>(p−1)/Qr0</sup> ≤ a + b( Z Ω |U<sub>n</sub>|<sup>Qr0</sup>dx)<sup>1/r0</sup> (6.2.2) o`u a = C0|Ω|^{`</sup>(λK kf k<sub>L</sub>1(Ω)+ 4 |µ| (Ω)), b = C0|Ω|<sup>`}λ kf k_Lr(Ω). (6.2.3) De mˆeme, nous avons l’estimation

( Z Ω |U |^Qr0dx)^(p−1)/Qr0 ≤ a + b( Z Ω |V |^Qr0dx)^1/r0 (6.2.4) Etape 4 : Passage `a la limite : Maintenant nous distingons les cas suivants :

Cas 1 : Q < p−1. Dans ce cas on a (p−1)/Qr⁰ > 1/r⁰ , donc l’estimation (6.2.2) implique qu’il existe une constante C > 0 ind´ependante de n telle que

Z Ω (|U_n|^Qr0)dx ≤ C, c’est `a dire a<sub>n</sub>= Z Ω |U<sub>n</sub>|<sup>Qr0</sup>dx est born´ee . (6.2.5) Donc, par l’hypoth`ese (6.1.3), la suite (h(x, U_n)) est born´ee dans L¹(Ω), donc (−∆_pU_n) est born´ee dans L1(Ω).

Alors, voir la remarque 2.2.13, (|U_n|^p−1) est born´ee dans Ls(Ω) pour tout s ∈ [1, N/(N − p)) (pour tout s ≥ 1 si p = N ) et il existe une sous-suite, not´ee encore U_n, qui converge presque partout dans Ω vers une certaine fonction mesurable U . Choisissons s > Qr⁰/(p − 1), et soit k₀ d´efinie par :

1 k₀ ⁼ 1 r ⁺ Q (p − 1)s^.

Alors il est facile de v´erifier que k₀ > 1 et (|h(x, U_n)|) est born´ee dans Lk0(Ω). Alors, par la convergence presque partout, le lemme de Fatou et le th´eor`eme de convergence de Vitali il r´esulte que

h(x, U_n) → h(x, U ) fortement dans L^k(Ω),

pour tout k < k₀. Par suite, en utilisant le th´eor`eme 2.2.12, nous pouvons conclure que U est une solution renormalis´ee du probl`eme (6.1.2).

Cas 2 : Q = p − 1. Supposons que λ < λ₁(f ). Dans ce cas nous montrons encore (6.2.5), par contradiction. Supposons que (6.2.5) n’est pas vrai. Alors il existe une sous-suite, qu’on continue `a indicer par n, telle que a_n =

Z

Ω

|U_n|^(p−1)r0dx tend vers ∞. Posons wn= a^{−1/(p−1)r}n ⁰Un. Alors wn∈ W₀^1,p(Ω),

Z

Ω

w^(p−1)r_n ⁰dx = 1, et satisfait

−∆_pw_n = a^−1/r_n ⁰(−∆_pU_n) = η_n+ ϕ_n, (6.2.6) o`u η_n = a^−1/rn ⁰λT_n(h(x, U_n)) et ϕ_n= a^−1/rn ⁰µ_n. Il est facile de voir que (ϕ_n) converge vers 0 fortement dans L1(Ω), puisque µ_n(Ω) est born´ee. Et (η_n) est born´ee dans L1(Ω), puisque f ∈ L^r(Ω) et

|η_n| ≤ ψ_n = λf (Ca^−1/r_n ⁰ + |w_n|^p−1).

Alors, voir la remarque 2.2.13, (|wn|^p−1) est born´ee dans L^s(Ω) pour tout s ∈ [1, N/(N − p)) et il existe une sous-suite, not´ee encore w_n, qui converge presque partout dans Ω vers une certaine fonction mesurable w.

Alors, par le lemme de Fatou et le th´eor`eme de Vitali, (|w<sub>n</sub>|<sup>(p−1)s</sup>) converge fortement L1 (Ω) vers |w|<sup>(p−1)s</sup>, pour tout s ∈ [1, N/(N − p)). En particulier pour s = r<sup>0</sup>, car r<sup>0</sup> < N/(N − p). D’o`u w 6≡ 0.

Et (ψ_n) converge fortement dans L1(Ω) vers λf |w|^p−1, d’o`u (η<sub>n</sub>) converge fortement dans ∈ L1 (Ω) vers une certaine fonction η ∈ L<sup>1</sup> (Ω) avec |η| ≤ λf (x) |w|<sup>p−1</sup> presque partout dans Ω. Donc, par le th´eor`eme 2.2.12, w est une solution renormalis´ee du probl`eme

(

−∆_pw = η, dans Ω,

w = 0 sur ∂Ω. ^(6.2.7)

Par (i) de la proposition 2.3.4, nous obtenons w ∈ W₀^1,p(Ω), puisque r > N/p. Alors λ₁(f ) Z Ω |w|^pdx ≤ Z Ω |∇w|^pdx ≤ λ Z Ω f |w|^pdx,

donc λ1(f ) ≤ λ, ce qui contredit l’hypoth`ese. Alors nous pouvons conclure `a l’existence d’une solution renormalis´ee du probl`eme (6.1.2), comme dans le cas pr´ec´edent.

Cas 3 : Q > p − 1. Dans ce cas, (6.2.5) n’est pas n´ecessairement vrai pour cette suite U_n, mais nous construisons une suite particuli`ere (U_n) satisfaisant (6.2.5) : pous tout V ∈ W₀^1,p(Ω) et U = F_n(V ), nous avons l’estimation (6.2.4). Posons

x(V ) = ( Z

Ω

|V |^Qr0dx)^(p−1)/Qr0,

nous obtenons x(U ) ≤ a + bx(V )^Q/(p−1). Puisque Q > p − 1, alors la fonction d´efinie par P (y) = a + b y^Q/(p−1)− y

admet un minimum au point y₀ = ((p − 1)/bQ)(p−1)/(Q−p+1) et par un calcul simple on a P (y₀) = a − c(p, Q)b(1−p)/(Q−p+1), pour une certaine constante c(p, Q) > 0. Alors P (y) admet au moins une racine si P (y₀) ≤ 0, ce qui est ´equivalent `a a<sup>(Q−p+1)/(p−1)</sup>b ≤ C(p, Q), et un simple calcul conduit `a la condition suppos´ee dans (6.1.6). Soit y₁ = y(a, b, p, Q) la plus petite racine de P (y). Si x(V ) ≤ y alors x(U ) ≤ a + by^Q/(p−1)₁ = y₁. L’ensemble

An,y1 = n

V ∈ W₀^1,p(Ω), x(V ) ≤ y1 et kU k_W1,p

0 (Ω)≤ Cn

o

est un sous-ensemble convexe et ferm´e de W₀^1,p(Ω). Alors utilisons le th´eor`eme de Schau-der dans l’ensemble A_n,y1 nous trouvons une solution U_n ∈ W₀^1,p(Ω) de (6.2.1) telle que Z

Ω

|U_n|^Qr0dx est born´ee. Et nous concluons comme dans les cas pr´ec´edent.

Remarque 6.2.1 Dans le cas Q = p − 1, la condition (6.1.4) est optimale, d’apr`es le th´eor`eme 3.1.3. La preuve donn´ee pour Q > p − 1 est valable pour Q = p − 1, mais la condition (6.1.6) obtenue dans ce cas n’est pas optimale.

Remarque 6.2.2 L’hypoth`ese de croissance lente (6.1.3) est naturel pour obtenir un r´esultat d’existence. Par exemple, soit p = 2 < N et g(v) = vQ pour un Q > 0, et soit µ = δa la mesure de Dirac en un point a ∈ Ω. Si v est une solution, alors v(x) ≥ C |x − a|^2−N au voisinage de a; alors nous avons n´ecessairement |x − a|^{(2−N )Q}f ∈ L1(Ω); alors Q < N/(N − 2) si f ≡ 1.

Plus g´en´eralement s’il existe une solution de (6.1.1), alors f G (µ) ∈ L¹(Ω), o`u G (µ) = u est la solution de (2.2.2). Cette condition est toujours satisfaite si f ∈ Lr(Ω) pour un certain r > N/2.

Preuve du lemme 6.1.3. Soit ˆh(x, t) = h(x, max(0, min(t, u(x))). Alors 0 ≤ ˆh(x, t) ≤ F (x) presque partout dans Ω. Par le th´eor`eme de Schauder, pour tout n ∈ N il existe V_n ∈ W₀^1,p(Ω) ∩ L^∞(Ω) positive telle que

−∆pVn = Tn(ˆh(x, Vn)) in Ω.

Par la remarque 2.2.19, il existe une sous-suite not´ee V_nqui converge presque partout vers une solution renormalis´ee positive V de l’´equation

(

−∆_pV = ˆh(x, V ) dans Ω, V = 0 sur ∂Ω,

Il reste `a montrer que V ≤ u. Pour m > 0 fix´e, et n ∈ N on consid`ere la fonction ω = T_m((V_n− u)+). Soit c_n= kV_nk_L∞(Ω), nous avons

V_n− T_cn(u) =      V_n− u ≥ 0 sur {u ≤ V_n} , V_n− u ≤ 0 sur {V_n < u ≤ c_n} , V_n− c_n≤ 0 sur {u > c_n} ,

Par suite

(V_n− T_cn(u))⁺ = (

V_n− u si u ≤ V_n, 0 si u > V_n,

qui ´egale `a (Vn− u)+. Donc ω = Tm((Vn− Tcn(u))⁺) ∈ W₀^1,p(Ω) ∩ L^∞(Ω). En remarquant que ω+∞ = 0 sur {u > c_n} et µ−

s = 0, donc par la d´efinition 2.2.4 Z Ω |∇u|^p−2∇u.∇ωdx = Z Ω ωh(x, u)dx + Z Ω ω⁺dµ⁺_s = Z Ω ωh(x, u)dx D’aute part, ω est encore admissible dans l’´equation satisfaite par Vn; donc

Z Ω |∇V_n|^p−2∇V_n.∇ωdx = Z Ω T_n(ˆh(x, V_n))ωdx; alors Z Ω |∇Vn|^p−2∇Vn− |∇u|^p−2∇u
.∇ Tm((Vn− u)⁺)
dx = Z Ω (T_n(ˆh(x, V_n) − h(x, u))T_m((V_n− u)+)dx ≤ Z Ω (ˆh(x, V_n) − h(x, u))T_m((V_n− u)⁺)dx = Z {u≤Vn} (ˆh(x, V_n) − h(x, u))T_m((V_n− u)+)dx + Z {u>Vn} (ˆh(x, V_n) − h(x, u))T_m((V_n− u)+)dx = 0, car • Sur {u ≤ V_n} on a ˆh(x, V_n) = h(x, u). • Sur {u > Vn} on a Tm((Vn− u)+) = 0.

Par le lemme de Fatou et le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue, faisons tendre n vers ∞ pour m fix´e, puisque les troncatures convergent fortement dans W₀^1,p(Ω), nous obtenons

Z

Ω

|∇V |^p−2∇V − |∇U |^p−2∇U
.∇ T_m((V − U )⁺)
dx ≤ 0. Alors T_m((V − U )+) = 0 pour tout m > 0, donc V ≤ U presque partout dans Ω.

Preuve de la proposition 6.1.2. Le lemme 6.1.3 dit que s’il existe une solution du probl`eme avec mesure alors il existe une solution du probl`eme sans mesure. D’o`u nous obtenons (i) d’apr`es le th´eor`eme 3.4.1 et (ii) par le fait λ<sub>r</sub> < ∞, d’apr`es la remarque 5.4.2.

Remarque 6.2.3 Une application de changement de variable de type Cole-Hopf pour un r´esultat de non-existence (dans un cadre parabolique, la singularit´e porte sur les donn´ees initiales) peut ˆetre trouv´ee dans la proposition 3.1 de [1], voir aussi [2].

Bibliographie

[1] Ben-Artzi, M. and Souplet, Ph. and Weissler, F. B., The local theory for viscous Hamilton-Jacobi equations in Lebesgue spaces, J. Math. Pures Appl. (9) 81 : 343– 378, 2002.

[2] Ben-Artzi, M. and Souplet, Ph. and Weissler, F. B., Sur la existence et la non-unicit´e des solutions du probl`eme de Cauchy pour une ´equation parabolique semi-lin´eaire, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I Math., 329, 371–376, 1999.

[3] Boccardo L., Gallou¨et T., and Orsina L., Existence and uniqueness of entropy solu-tions for nonlinear elliptic equasolu-tions with measure data, Ann. Inst. H. Poincar´e Anal. Non Lin´eaire, 13(5) :539–551, 1996.

[4] Dal Maso G., On the integral representation of certain local functionals, Ricerche Mat., 32(1) :85–113, 1983.

[5] Droniou J., Porretta A., and Prignet A., Parabolic capacity and soft measures for nonlinear equations, Potential Anal., 19(2) :99–161, 2003.

[6] Grenon N., Existence results for semilinear elliptic equations with small measure data, Ann. Inst. H. Poincar´e Anal. Non Lin´eaire, 19(1) :1–11, 2002.

[7] Ponce A., Communication personnelle.

Chapitre 7

Applications au probl`eme (P

_u,λ

) sans

et avec donn´ees mesures

Sommaire

7.1 Applications et r´esultats . . . 147 7.1.1 Probl`eme (P<sub>u,λ</sub>) sans donn´ee mesure . . . 147 7.1.2 Probl`eme (P_u,λ) avec mesure . . . 150 7.2 Signification de (7.1.1) en terme de β et remarques . . . 151 7.3 Extensions et applications . . . 153 7.4 Un r´esultat d’existence pour des op´erateurs plus g´en´eraux . 158

Dans ce chapitre nous d´eduisons des r´esultats d’existence ou de non-existence, de r´egularit´e et de multiplicit´e pour le probl`eme (P<sub>u,λ</sub>) `a partir des r´esultats que nous avons obtenus sur le probl`eme (P<sub>v,λ</sub>) en utilisant le th´eor`eme 2.1.

7.1 Applications et r´esultats

Le cas β = p − 1 et g(v) = v a ´et´e ´etudi´e dans la section 3.4 du chapitre 3 par le th´eor`eme 3.1.3. Pour une fonction quelconque β satisfaisant (3.1.1), nous associons la fonction g = T (β) d´efinie par (3.2.1). Nous avons ´etabli quelques r´esultats pour le

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