Existence et unicit´ e de la solution exacte

Afin d’´etablir l’existence et l’unicit´e de la solution locale du probl`eme (1.7), on a besoin d’hypoth`eses suppl´ementaires. Soit W une boule ouverte dans V.

H₆ Il existe γ ∈ (0, 1] tel que pour i = 1 ou 2 

a_i(t; y; u, v) − a_i(s; z; u, v). |t − s|^γ+ ky − zk
kukkvk, ∀y, z, u, v ∈ V, t, s ∈ [0, T ]. (1.39) H₇ f est une fonction born´ee sur [0, T ] × V dans V⁰ :

kf (t, v)kV0 . 1, ∀ t ∈ [0, T ], ∀ v ∈ V.

H8 Pour tout v ∈ W, la fonction t → f (t, v) est continue de [0, T ] dans V⁰. Donnons maintenant quelques cons´equences de ces hypoth`eses.

Lemme 1.2.1. Sous les hypoth`eses H1, H2 et H6, la fonction (t, v) → A1(t, v)⁻¹ est continˆument lipschitzienne sur [0, T ] × V pour la norme de L(V⁰, V ) uniform´ement en t et en v, i.e.,

kA₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹kL(V0,V ) . |t − t0|γ+ kv − v₀k, ∀t, t₀ ∈ [0, T ], v, v₀ ∈ V. (1.40)

Preuve : Soient v, v₀ ∈ V et soient t, t₀ ∈ [0, T ] fix´es arbitrairement. Alors par d´efinition, on a kA₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹kL(V0,V ) = sup h∈V0,h6=0 kA1(t, v)⁻¹h − A1(t0, v0)⁻¹hk khk_V0 .

Maintenant pour un h ∈ V⁰, h 6= 0, si on pose φ₁ = A₁(t, v)⁻¹h, et φ₂ = A₁(t₀, v₀)⁻¹h, alors ( a₁(t; v; φ₁, ψ) = hh, ψi_V0,V, ∀ψ ∈ V, a₁(t₀; v; φ₂, ψ) = hh, ψi_V0,V, ∀ψ ∈ V, ce qui donne a₁(t; v; φ₁− φ₂, ψ) = a₁(t₀; v₀; φ₂, ψ) − a₁(t; v; φ₂, ψ), ∀ψ ∈ V. En choisissant ψ = φ₁− φ₂, et en utilisant les hypoth`eses H₂ et H₆, on obtient

kφ₁− φ₂k . (|t − t0|γ+ kv − v₀k)kφ₂k = (|t − t₀|γ+ kv − v₀k)kA₁(t₀, v₀)⁻¹hk . (|t − t0|γ+ kv − v₀k)khk_V0,

Corollaire 1.2.2. Sous les hypoth`eses H₁, H₂ et H₆, la fonction (t, v) → A(t, v) est continˆument lipschitzienne sur [0, T ] × V pour la norme L(V ) uniform´ement en t, v, i.e.,

kA(t, v) − A(t₀, v₀)kL(V ) . |t − t0|γ+ kv − v₀k, ∀t, t₀ ∈ [0, T ], ∀v, v₀ ∈ V. (1.41) Et alors

kA(t, v)v − A(t, v₀)v₀k . (1 + kv0k)kv − v₀k, ∀t ∈ [0, T ], ∀v, v₀ ∈ V. (1.42) Preuve : Par d´efinition et pour t, t₀ ∈ [0, T ], v, v₀ ∈ V fix´es, on a

kA(t, v) − A(t0, v0)kL(V ) ≤ kA1(t, v)⁻¹(A2(t, v) − A2(t0, v0))kL(V )

+ k(A₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹)A₂(t₀, v₀)kL(V )

≤ k(A₁(t, v)⁻¹k_L(V0,V )kkA₂(t, v) − A₂(t₀, v₀)k_L(V,V0)

+ kA₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹kL(V0,V )kA₂(t₀, v₀)kL(V,V0).

Puisque l’hypoth`ese H<sub>6</sub> pour i = 2 est ´equivalente `a

kA₂(t, v) − A₂(t₀, v₀)kL(V0,V ) . |t − t0|γ+ kv − v₀k,

on conclut (1.41) par (1.40) et les hypoth`eses H₁ et H₂. Par l’in´egalit´e triangulaire et (1.41), on a

kA(t, v)v − A(t, v₀)v₀k ≤ kA(t, v)(v − v₀)k + kA(t, v)v₀− A(t, v₀)v₀k . kv − v0k + kv − v₀kkv₀k,

d’o`u (1.42).

Corollaire 1.2.3. Sous les hypoth`eses H1,H2 et H5-H8, la fonction g(t, u) = A1(t, u)⁻¹f (t, u) satisfait les propri´et´es suivantes

1. g est born´ee sur [0, T ] × V i.e.

kg(t, v)k . 1, ∀u, v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ],

2. g est V -continˆument lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable uniform´ement en t i.e.

kg(t, u) − g(t, v)k . ku − vk, ∀u, v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ]. (1.43) 3. Pour tout v ∈ W, la fonction t → g(t, v) est continue de [0, T ] dans V.

1. Cons´equence directe des hypoth`eses H₂ et H₇.

2. Soient v, v₀ ∈ V et t, t₀ ∈ [0, T ], alors par l’hypoth`ese H₂, on peut ´ecrire kg(t, v) −g(t₀, v₀)k

≤ kA₁(t, v)⁻¹(f (t, v) − f (t₀, v₀)) k + k A₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹
f (t0, v₀)k . kf (t, v) − f (t0, v₀)k_V0+ kA₁(t, v)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹k_L(V0,V )kf (t₀, v)k_V0.

Donc grˆace `a l’hypoth`ese H₇ et (1.40), on obtient

kg(t, v) − g(t₀, v₀)k ≤ kf (t, v) − f (t₀, v₀)k_V0 + |t − t₀|γ+ kv − v₀k. (1.44)

En particulier, si t₀ = t, cette estimation et la propri´et´e de lipschitzianit´e de f induisent (1.43).

3. Si v₀ = v ∈ W dans l’estimation (1.44), on trouve

kg(t, v) − g(t0, v)k ≤ kf (t, v) − f (t0, v)kV0+ |t − t0|^γ,

et la continuit´e de g d´ecoule de l’hypoth`ese H₈.

Nous sommes maintenant en mesure de d´emontrer notre r´esultat d’existence.

Th´eor`eme 1.2.4. On fixe une boule ouverte W de V et on suppose que u<sub>0</sub> ∈ W. Sous les hypoth`eses H₁, H₂ et H₅-H₈, il existe T⁰ ∈ (0, T ] tel que le probl`eme (1.4) (et alors (1.1) et (1.5)) admet une unique solution

u ∈ C([0, T⁰]; W ) ∩ C¹([0, T⁰]; V ).

Preuve : On applique le Th´eor`eme 6 de [43] avec l’espace de Hilbert X = Y = V et la boule fix´ee W. Les hypoth`eses (A1), (A2) et (A4) de ce Th´eor`eme sont trivialement satisfaites car les op´erateurs A(t, v) sont born´es dans V, l’hypoth`ese (A3) est satisfaite grˆace au Corollaire 1.2.2, tandis que l’hypoth`ese (f1) est satisfaite grˆace au Corollaire

1.2.3.

1.2.2 Semi-discr´etisation explicite en temps

On consid`ere un entier N > 0 et on pose ∆t = <sup>T</sup><sub>N</sub><sup>0</sup> le pas uniforme de discr´etisation en temps, o`u T⁰ est le temps d’existence de u. Pour tout 0 ≤ n ≤ N, on note U_n l’approxi-mation de u(tn), tn = n∆t. Comme dans le cas d’un probl`eme semi-lin´eaire, on utilisera ici les deux sch´emas d’Euler explicite et de Runge-Kutta qui consistent `a : partant de U₀ = u₀, chercher U_n+1 tel que

pour le sch´ema d’Euler, et (

U_n+1^∗ = U_n+ ∆tF (t_n, U_n),

U_n+1= U_n+ ^∆t₂ F (t_n, U_n) + F (t_n+1, U_n+1^∗ ), n = 0, ..., N, ^(1.46) pour celui de Runge-Kutta.

Lemme 1.2.5. On suppose que u₀ ∈ W. Sous les hypoth`eses H<sub>1</sub>, H<sub>2</sub> et H<sub>5</sub>-H<sub>7</sub>, la fonction F est localement lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable uniform´ement en t, i.e. pour tout t ∈ [0, T ]

kF (t, u) − F (t, v)k . ku − vk, ∀u ∈ W, ∀v ∈ V. Preuve : Par d´efinition de F, il est facile de voir que

kF (t, u) − F (t, v)k ≤ kg(t, u) − g(t, v)k + kA(t, v)v − A(t, u)uk.

Le r´esultat s’en suit grˆace au Corollaire 1.2.3, 2., `a l’in´egalit´e (1.42) et au fait que u ∈ W.

Comme la fonction F est seulement localement lipschitzienne, on a besoin d’une version l´eg`erement modifi´ee du Th´eor`eme 1.1.4.

Th´eor`eme 1.2.6. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 1.2.4, soit u la solution exacte du probl`eme (1.5). On suppose que φ est localement lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable uniform´ement par rapport `a t, i.e., il existe une constante positive L ind´ependante de t et ∆t telle que

kφ(t, u, ∆t) − φ(t, v, ∆t)k ≤ Lku − vk, ∀t ∈ [0, T ], u ∈ W, v ∈ V, (1.47) et on suppose qu’il existe p ∈ N tel que l’erreur locale v´erifie

kEl(tn+1)k . (∆t)^p+1, ∀n = 0, . . . , N − 1. Alors, l’erreur globale e_n = u(t_n) − U_n satisfait

ke_nk . (∆t)p, ∀n = 0, 1, . . . , N. Preuve : D’apr`es (1.10), on a

u(tn+1) = u(tn) + ∆tφ(tn, u(tn), ∆t) + El(tn+1), n = 0, . . . , N − 1.

Alors, par (1.9), l’hypoth`ese de lipschitzianit´e sur φ et le fait que u ∈ C([0, T⁰]; W ), on obtient

ke_n+1k ≤ ke_nk + ∆tkφ(t_n, u(t_n), ∆t) − φ(t_n, U_n, ∆t)k + kE_l(t_n+1)k

. (1 + L∆t)kenk + (∆t)p+1. (1.48)

Proposition 1.2.7. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 1.2.4, on suppose que la solution exacte u du probl`eme (1.1) a la r´egularit´e C2([0, T⁰]; V ). Si U_n est la solution approch´ee donn´ee par le sch´ema d’Euler explicite (1.45), alors l’erreur e_n= u(t_n) − U_n satisfait

ku(t_n) − U_nk . ∆t, ∀ 0 ≤ n ≤ N.

Preuve : Notons d’abord que le Lemme1.2.5assure que φ(t, u, ∆t) = F (t, u) satisfait (1.47).

D’autre part, et comme dans la preuve de la Proposition1.1.5, on obtient par un d´eveloppement de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre 1

E_l(t_n+1) =

tn+1

Z

tn

(t_n+1− τ )u⁰⁰(τ )dτ.

Par cons´equent, on en d´eduit de notre hypoth`ese sur u que kEl(tn+1)k . (∆t)<sup>2</sup>. On conclut grˆace au Th´eor`eme 1.2.6.

Pour voir sous quelles hypoth`eses on peut assurer la r´egularit´e C2([0, T⁰]; V ) pour la solution u, on montre d’abord le lemme suivant.

Lemme 1.2.8. Si la fonction A₁ : (t, v) 7−→ A₁(t, v) est diff´erentiable sur [0, T ] × V, alors la fonction B : (t, v) 7−→ A₁(t, v)⁻¹ l’est aussi. Plus pr´ecis´ement, si DA₁(t₀, v₀) ∈ L(R × V, L(V, V0)) est la diff´erentielle au sens de Fr´echet de la fonction A1 au point (t0, v0) ∈ [0, T ] × V, alors DB(t0, v0) ∈ L(R × V, L(V⁰, V )), la diff´erentielle au sens de Fr´echet de la fonction B au point (t₀, v₀), est donn´ee par

DB(t₀, v₀)(t, v) = −A₁(t₀, v₀)⁻¹DA₁(t₀, v₀)(t, v)A₁(t₀, v₀)⁻¹. Preuve : On a lim k(t,v)k→0 1 k(t, v)k A₁(t + t₀, v + v₀)⁻¹− A₁(t₀, v₀)⁻¹+ A₁(t₀, v₀)⁻¹DA₁(t₀, v₀)(t, v)A₁(t₀, v₀)⁻¹ = lim k(t,v)k→0 1 k(t, v)k n A1(t0, v0)⁻¹ A1(t0, v0) − A1(t + t0, v + v0)

+DA₁(t₀, v₀)(t, v)A₁(t₀, v₀)⁻¹A₁(t + t₀, v + v₀)
A₁(t + t₀, v + v₀)⁻¹ o ≤ lim k(t,v)k→0kA1(t0, v0)⁻¹k^kA1(t+t0,v+v0)−A1(t0,v0)−DA1(t0,v0)(t,v)k k(t,v)k kA1(t + t0, v + v0)⁻¹k + lim k(t,v)k→0 kDA₁(t0,v0)(t,v)k k(t,v)k (A₁(t₀, v₀)⁻¹− A₁(t + t₀, v + v₀)⁻¹).

Cette derni`ere limite est nulle par d´efinition de DA<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>, v<sub>0</sub>) et d’apr`es la continuit´e de la fonction (t, v) 7→ A₁(t, v) (voir Lemme 1.2.1).

On v´erifie de mˆeme que si ^∂A1

∂t (t₀, v₀) ∈ L(R, L(V, V⁰)) (resp. ^∂A1

∂v (t₀, v₀) ∈ L(V, L(V, V⁰))) est la diff´erentielle partielle de A₁ en (t₀, v₀) par rapport `a t (resp. par rapport `a v), alors

∂B ∂t ^{(t0, v0)t = −A1(t0, v0)} −1∂A1 ∂t ^{(t0, v0)t A1((t0, v0)} −1 . resp. ^∂B ∂v^{(t0, v0)v = −A1(t0, v0)} −1∂A₁ ∂v ^{(t0, v0)v A1(t0, v0)} −1 .

Remarque 1.2.9. Dans le cas semi-lin´eaire, l’hypoth`ese f ∈ C1([0, T⁰] × V ; V⁰) suffit pour assurer la r´egularit´e u ∈ C2([0, T⁰]; V ) (voir Lemme 1.1.2). Mais dans le cas quasi-lin´eaire, vu que

u_t= F (t, u) = g(t, u) − A(t, u)u = A₁(t, u)⁻¹(f (t, u) − A₂(t, u)u),

et compte tenu du lemme pr´ec´edent, on a besoin de supposer de plus que la fonction (t, v) → Ai(t, v), i = 1, 2, est diff´erentiable (au sens de Fr´echet) sur [0, T⁰] × V, et que

k^∂Ai

∂t (t, v)k_{L(R;L(V ;V}0))+ k^∂Ai

∂v(t, v)kL(V ;L(V ;V0)) . 1, ∀ t ∈ [0, T ], v ∈ V.

Proposition 1.2.10. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 1.2.4, on suppose que la solution exacte u du probl`eme (1.1) a la r´egularit´e C3([0, T⁰]; V ). Si U_n est la solution approch´ee donn´ee par le sch´ema de Runge-Kutta (1.46), alors on a

ku(t_n) − U_nk . (∆t)2, ∀0 ≤ n ≤ N. Preuve : Grˆace au Lemme 1.2.5, on v´erifie facilement que

kφ(t, u, ∆t) − φ(t, v, ∆t)k . (1 + ∆t)ku − vk, ∀t ∈ [0, T ], u ∈ W, v ∈ V, ce qui implique que φ(t, u, ∆t) = ¹

2^{(F (t, u) + F (t + ∆t, u + ∆tF (t, u))) satisfait (1.47).} D’autre part, et comme dans la preuve de la Proposition1.1.6, on obtient par un d´ eveloppe-ment de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre 2

kE_l(t_n+1)k . (∆t)³. Le r´esultat d´ecoule du Th´eor`eme 1.2.6.

Remarque 1.2.11. Dans le cas semi-lin´eaire, l’hypoth`ese f ∈ C2([0, T<sup>0</sup>]×V ; V<sup>0</sup>) implique la r´egularit´e u ∈ C3([0, T<sup>0</sup>]; V ) d’apr`es le Lemme 1.1.2. Dans le cas quasi-lin´eaire, on a besoin de supposer de plus que la fonction (t, v) → A_i(t, v), i = 1, 2, est deux fois diff´erentiable (au sens de Fr´echet) sur [0, T⁰] × V avec

k^∂ 2A_i ∂t2 (t, v)k_{L(R,R;L(V ;V}0)) + k^∂ 2A_i ∂v2 (t, v)k_{L(V,V ;L(V ;V}0)) + k^∂ 2A_i ∂t∂v^{(t, v)kL(R,V ;L(V ;V0))}. 1, ∀ t ∈ [0, T ], v ∈ V.

1.2.3 Sch´ema totalement discr´etis´e

On suppose toujours qu’il existe un sous espace de dimension finie V_h de V, h > 0, et on consid`ere l’approximation discr`ete A_i,h(t, u_h) de A_i(t, u_h), i = 1, 2, d´efinie par

hA_i,h(t, u_h)v_h, w_hi_V0

h,Vh = a_i(t; u_h; v_h, w_h), ∀v_h, w_h ∈ V_h, ∀i = 1, 2, (1.49) o`u a_i(t; u_h; ·, ·), i = 1, 2 est la forme bilin´eaire d´efinie par (1.2).

Pour tout t ∈ [0, T ] et u ∈ V, on d´efinit l’op´erateur de projection P_h(t, u) associ´e `a la forme bilin´eaire a₁(t; u; ·, ·), i.e., pour chaque v ∈ V, P_h(t, u)v ∈ V_h est l’unique solution de

a₁(t; u; P_h(t, u)v, w_h) = a₁(t; u; v, w_h), ∀w_h ∈ V_h. Si on note par

k · kt,v =^pa1(t; v; ·, ·),

la norme associ´ee `a la forme bilin´eaire a1(t; u; ·, ·), on trouve grˆace `a la continuit´e et la coercivit´e uniformes de a₁(t; v; ·, ·) (hypoth`eses H₁ et H₂), que

√

αkuk ≤ kuk_t,v ≤^pM₁kuk, ∀t ∈ [0, T ], ∀u, v ∈ V. (1.50)

On consid`ere maintenant le probl`eme semi-discret (en espace) du probl`eme (1.51) (

A1,h(t, uh)uh,t+ A2,h(t, uh)uh = fh(t, uh), dans Vh, 0 < t ≤ T,

uh(0) = Ph(t0, u0)u0, dans Vh, ^(1.51)

o`u f_h(t, u_h) = I_h(f (t, u_h)) et I_h est l’op´erateur d´efini dans le cas semi-lin´eaire.

Comme dans le cas continu, l’op´erateur A_1,h(t, u_h), t ∈ [0, T ], u_h ∈ V_h ´etant inversible, ce probl`eme est donc ´equivalent `a

(

u_h,t+ A_h(t, u_h)u_h = g_h(t, u_h), dans V_h, 0 < t ≤ T,

u_h(0) = P_h(t₀, u₀)u₀, dans V_h, ^(1.52)

o`u A<sub>h</sub>(t, u<sub>h</sub>) = A<sub>1,h</sub>(t, u<sub>h</sub>)<sup>−1</sup>A<sub>2,h</sub>(t, u<sub>h</sub>) et g<sub>h</sub>(t, u<sub>h</sub>) = A<sub>1,h</sub>(t, u<sub>h</sub>)<sup>−1</sup>f<sub>h</sub>(t, u<sub>h</sub>). Le Lemme suivant montre que l’op´erateur Ah(t, uh) est born´e (uniform´ement par rapport `a h) de Vh

dans lui mˆeme.

Lemme 1.2.12. Sous les hypoth`eses H₁ et H₂, on a pour chaque t ∈ [0, T ] et v_h ∈ V_h kA_h(t, v_h)kL(V_h) ≤ ^M2 α ^{. (1.53)} Preuve : Soient t ∈ [0, T ] et v_h ∈ V_h. On a kA_h(t, v_h)k_L(Vh) = sup wh∈Vh,wh6=0 kA_h(t, v_h)w_hk kwhk ^.

Pour un w_h ∈ V_h, w_h 6= 0 fix´e, on pose v0

h = A_1,h(t, v_h)⁻¹A_2,h(t, v_h)w_h, alors on a par (1.49)

a₁(t; v_h; v_h⁰, ϕ_h) = a₂(t; v_h; w_h, ϕ_h), ∀ϕ_h ∈ V_h.

En posant ϕ_h = v_h⁰ dans cette ´egalit´e et en utilisant les hypoth`eses H₁ et H₂, on trouve αkv_h⁰k2 ≤ a₂(t; v_h; w_h, v⁰_h) ≤ M₂kw_hkkv⁰_hk,

d’o`u (1.53).

Notons que le probl`eme (1.52) peut ˆetre ´ecrit de mani`ere ´equivalente comme une EDO dans V_h :

(

u_h,t = F_h(t, u_h), dans V_h, 0 < t ≤ T,

u_h(0) = P_h(t₀, u₀)u₀, dans V_h, ^(1.54)

o`u F_h(t, u_h) = g_h(t, u_h) − A_h(t, u_h)u_h. Par cons´equent, son approximation par un sch´ema d’Euler explicite ou par un sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 2, prend respectivement les formes ( U_0,h = P_h(t₀, u₀)u₀ U_n+1,h= U_n,h+ ∆tF_h(t_n, U_n,h), n = 0, . . . , N − 1, ^(1.55) ou      U_0,h = P_h(t₀, u₀)u₀ U_n+1,h^∗ = Un,h+ ∆tFh(tn, Un,h), Un+1,h= Un,h+ ^∆t₂ [Fh(tn, Un,h) + Fh(tn+1, U_n+1,h^∗ )], n = 0, . . . , N − 1. (1.56)

Remarque 1.2.13. Pour chaque uh ∈ Vh, il est facile de v´erifier, sous les hypoth`eses H1

et H₂, que

g_h(t, u_h) = P_h(t, u_h)g(t, u_h), ∀t ∈ [0, T ]. (1.57) En effet, comme A1,h(t, uh)gh(t, uh) = Ihf (t, uh), on obtient

a1(t; uh; gh(t, uh), vh) = hf (t, uh), vhiV0,V, ∀vh ∈ Vh.

D’une part, la d´efinition de Ph(t, uh) implique que

a₁(t; u_h; P_h(t, u_h)g(t, u_h), v_h) = a₁(t; u_h; g(t, u_h), v_h) = a₁(t; u_h; A⁻¹₁ (t, u_h)f (t, u_h), v_h). D’autre part, par la d´efinition de la forme bilin´eaire a₁(t; u_h; ·, ·), on trouve que

a₁(t; u_h; g_h(t, u_h), v_h) = a₁(t; u_h; P_h(t, u_h)g(t, u_h), v_h), ∀v_h ∈ V_h, d’o`u (1.57) par le lemme de Lax-Milgram.

Proposition 1.2.14. Sous les hypoth`eses H₁-H₈, on suppose que f ∈ C([0, T ]×V ; ˜D_s−1). Alors pour tout t ∈ [0, T ] et (v, v_h) ∈ D_s× V_h, on a

kF_h(t, v_h) − F (t, v)k . (1 + kvk)kv − vhk + hq(s)(kvk_Ds + kf (t, v)k_D˜_s−1). (1.58)

Preuve : Fixons t ∈ [0, T ] et (v, v_h) ∈ D_s× V_h. Par l’in´egalit´e triangulaire on a kF_h(t, v_h) − F (t, v)k ≤ kg_h(t, v_h) − g(t, v)k + kA(t, v)v − A_h(t, v_h)v_hk.

On estime d’abord le premier terme du membre de droite de cette in´egalit´e. L’identit´e (1.57) donne

kg_h(t, v_h) − g(t, v)k ≤ kg_h(t, v_h) − P_h(t, v_h)g(t, v)k + k(P_h(t, v_h) − I)g(t, v)k = kP_h(t, v_h)(g(t, v_h) − g(t, v))k + k(P_h(t, v_h) − I)g(t, v)k. D’une part, en utilisant (1.50), on obtient

kP_h(t, v_h)(g(t, v_h) − g(t, v))k ≤ √¹ αkP_h(t, v_h)(g(t, v_h) − g(t, v))k_t,vh ≤ √¹ αkg(t, v_h) − g(t, v)k_t,vh ≤ r M₁ α kg(t, v_h) − g(t, v)k . r M₁ α kv − vhk, o`u la derni`ere in´egalit´e est due au Corollaire 1.2.3, 2.

D’autre part, on obtient en utilisant toujours la double in´egalit´e (1.50) k(P_h(t, v_h) − I)g(t, v)k ≤ √¹ αk(P_h(t, v_h) − I)g(t, v)k_t,vh ≤ √¹ αk(Q_h− I)g(t, v)k_t,vh ≤ r M₁ α k(Q_h− I)g(t, v)k. Grˆace `a l’hypoth`ese (1.25), on trouve

k(P_h(t, v_h) − I)g(t, v)k . h^q(s)kg(t, v)k_Ds . h^q(s)kf (t, v)k_D˜_s−1.

Pour le deuxi`eme terme, on a

kA(t, v)v − A_h(t, v_h)v_hk ≤ kA(t, v)v − A(t, v_h)vk + kA(t, v_h)v − P_h(t, v_h)A(t, v_h)vk +kP_h(t, v_h)A(t, v_h)v − A_h(t, v_h)v_hk.

Or, d’apr`es le Corollaire 1.2.2 kA(t, v)v − A(t, v<sub>h</sub>)vk . kv − vhkkvk. On a aussi grˆace `a (1.50) k(I − P_h(t, v_h))A(t, v_h)vk ≤ r M1 α k(I − Q_h)A(t, v_h)vk,

comme A(t, v_h)v ∈ D_s du fait que v ∈ D_s, on en d´eduit de l’hypoth`ese (1.25) que k(I − P_h(t, v_h))A(t, v_h)vk . h^q(s)kA(t, v_h)vk_Ds . h^q(s)kvk_Ds.

Reste `a estimer le dernier terme. Pour cela, on pose w = A(t, v_h)v et w_h = A_h(t, v_h)v_h, donc par d´efinition de a1 et a2, on a

a₁(t; v_h; w, ψ) = a₂(t; v_h; v, ψ), ∀ψ ∈ V, et

a₁(t; v_h; w_h, ψ_h) = a₂(t; v_h; v_h, ψ_h), ∀ψ_h ∈ V_h, et par d´efinition de P_h(t, v_h), on a

a1(t; vh; Ph(t, vh)w, ψh) = a1(t; vh; w, ψh), ∀ψh ∈ Vh. Par cons´equent

a₁(t; v_h; P_h(t, v_h)w − w_h, ψ_h) = a₂(t; v_h; v − v_h, ψ_h), ∀ψ_h ∈ V_h. (1.59) En choisissant dans (1.59), ψ_h = P_h(t, v_h)w − w_h, on obtient grˆace aux hypoth`eses H₁ et H₂

kPh(t, vh)w − whk . kv − vhk. Alors

kP_h(t, v_h)A(t, v_v)v − A_h(t, v_h)v_hk . hq(s)kvk_Ds + kv − v_hk(1 + kvk_Ds). Ce qui prouve que (1.58) a lieu.

Remarque 1.2.15. On v´erifie facilement que le Lemme1.1.11reste vrai (sous les mˆemes hypoth`eses) dans le cas quasi-lin´eaire. Il suffit d’utiliser le fait que les op´erateurs A₁(t, u)⁻¹ :

˜

D_s−1 → D_s et A₂(t, u) : D_s → ˜D_s−1 sont born´es uniform´ement par rapport `a t et u (hypoth`ese H₃).

Lemme 1.2.16. Supposons que les hypoth`eses du Lemme 1.1.12 sont satisfaites en plus des hypoth`eses H₆-H₈. Soit U_n(resp. U_n,h) la solution approch´ee donn´ee par (1.16) (resp. (1.56)). Alors l’erreur e_n,h= U_n− U_n,h est major´ee comme suit

ke_n,hk . hq(s). (1.60)

Preuve : Par l’in´egalit´e triangulaire, on a ke_n+1,hk ≤ ke_n,hk + ^∆t

2 kF_h(t_n, U_n,h) − F (t_n, U_n)k +^∆t

2 kF_h t_n+1, U_n,h+ ∆tF_h(t_n, U_n,h)
− F t_n+1, U_n+ ∆tF (t_n, U_n)
k. La suite de la preuve est comme dans le cas semi-lin´eaire (Lemme1.1.12), en utilisant la Proposition 1.2.14au lieu de la Proposition 1.1.10pour majorer les deux derniers termes du membre de droite de cette in´egalit´e.

Remarque 1.2.17. Sous les mˆemes hypoth`eses du Lemme 1.2.16, si le sch´ema d’Euler (1.55) est utilis´e pour approcher la solution du probl`eme (1.1), alors l’estimation d’erreur (1.60) reste valide.

Corollaire 1.2.18. Sous les Hypoth`eses H<sub>1</sub>-H<sub>8</sub>, on suppose que u<sub>0</sub> ∈ W ∩ D<sub>s</sub>, f ∈ C([0, T ]×V ; ˜D<sub>s−1</sub>), que f est (V, ˜D<sub>s−1</sub>)-continˆument lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable uniform´ement en t, et que la solution exacte u du probl`eme (1.1) appartient `a Cp+1([0, T⁰]; V ), p = 1 ou 2. Soit U_n,h sa solution approch´ee donn´ee par (1.55) pour p = 1 (resp. (1.56) pour p = 2). Alors on a l’estimation d’erreur globale

ku(t_n) − U_n,hk . (∆t)p + h^q(s), ∀1 ≤ n ≤ N. Preuve : Cons´equence directe :

• de la Proposition 1.2.7 et de la Remarque 1.2.17 pour le sch´ema d’Euler, • de la Proposition 1.2.10et du Lemme 1.2.16 pour le sch´ema de Runge-Kutta.

implicite en temps d’un probl`eme

singuli`erement perturb´e

R´esum´e

Nous consid´erons un probl`eme de Sobolev singuli`erement perturb´e dans un es-pace de Hilbert V. Pour approcher ce probl`eme, nous proposons deux sch´emas num´eriques implicites et nous prouvons des estimations d’erreur.

Sommaire

2.1 Le probl`eme homog`ene . . . 38

Dans le document Étude théorique et numérique des équations non-linéaires de Sobolev (Page 37-49)