p.810 #27 à 32 ( p.810 #25 à 30 )
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
sous la contrainte h(x, y) = k
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
sous la contrainte h(x, y) = k
g(x, y) = h(x, y) k si on pose
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
sous la contrainte h(x, y) = k
g(x, y) = h(x, y) k si on pose
la contrainte devient
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
g(x, y) = 0
sous la contrainte h(x, y) = k
g(x, y) = h(x, y) k si on pose
la contrainte devient
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
g(x, y) = 0
sous la contrainte h(x, y) = k
g(x, y) = h(x, y) k si on pose
la contrainte devient
On cherche le max ou le min d’une fonction
f (x, y)
g(x, y) = 0
sous la contrainte h(x, y) = k
g(x, y) = h(x, y) k si on pose
la contrainte devient
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
Pour faire cela, nous allons regarder les courbes de
niveau.
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
Pour faire cela, nous allons regarder les courbes de
niveau.
On peut voir g(x, y) = 0
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
Pour faire cela, nous allons regarder les courbes de
niveau.
On peut voir g(x, y) = 0
z = g(x, y)
comme une courbe de niveau de
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
Pour faire cela, nous allons regarder les courbes de
niveau.
On peut voir g(x, y) = 0
z = g(x, y)
comme une courbe de niveau de
On cherche donc la hauteur maximale ou minimale de la courbe sur la fonction.
Pour faire cela, nous allons regarder les courbes de
niveau.
On peut voir g(x, y) = 0
z = g(x, y)
comme une courbe de niveau de
On pourra donc regarder les gradients
rf et rg
rf k rg
rf k rg () rf = rg
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
On cherche donc les points (a, b)
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
On cherche donc les points (a, b) tels que
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
On cherche donc les points (a, b)
rf (a, b) = rg(a, b) tels que
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
On cherche donc les points (a, b)
rf (a, b) = rg(a, b) tels que
et
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
g(x, y) = 0
On cherche donc les points (a, b)
rf (a, b) = rg(a, b) tels que
et
Donc pour trouver les extrémums d’une fonction f (x, y) = z g(x, y) = 0
soumis à une contrainte
g(x, y) = 0
On cherche donc les points (a, b)
rf (a, b) = rg(a, b)
le multiplicateur de Lagrange tels que
et
Le lagrangien
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) Le lagrangien
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) Le lagrangien
rL = ~0
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) Le lagrangien
rL = ~0 rL =
✓ @L
@x , @L
@y , @L
@
◆
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) Le lagrangien
rL = ~0 rL =
✓ @L
@x , @L
@y , @L
@
◆
= (0, 0, 0)
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y)
@L
@x = @f
@x + @g
@x = 0 Le lagrangien
rL = ~0 rL =
✓ @L
@x , @L
@y , @L
@
◆
= (0, 0, 0)
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y)
L(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y)
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16
L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16) rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y)
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y) = 0
= 0
= 0
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y) = 0 =) x = 0 ou 1 + y = 0
= 0
= 0
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y) = 0 =) x = 0 ou 1 + y = 0
= 0
= 0
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y) = 0 =) x = 0 ou 1 + y = 0
= 0
= 0
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbe x2y = 16f (x, y) = x2 + y2 g(x, y) = x2y 16 L(x, y, ) = x2 + y2 + (x2y 16)
@L
@x = 2x + 2xy
@L
@y = 2y + x2
@L
@ = x2y 16
= 2x(1 + y) = 0 =) x = 0 ou 1 + y = 0
= 0
= 0
rL = ~0
Exemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeExemple
Trouver la plus petite distance entre l’origine et la courbeFaites les exercices suivants
p. 818 # 1, 3 à 6 ( p. 819 # 1, 3 à 6 )
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
Les valeurs extrêmes se produiront lorsqu’une surfaces de niveau de
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
Les valeurs extrêmes se produiront lorsqu’une surfaces de niveau de f (x, y, z) sera tangente à la surface de niveau g(x, y, z) = 0
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
Les valeurs extrêmes se produiront lorsqu’une surfaces de niveau de f (x, y, z) sera tangente à la surface de niveau g(x, y, z) = 0
et donc leurs plans tangents seront confondus.
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
Les valeurs extrêmes se produiront lorsqu’une surfaces de niveau de f (x, y, z) sera tangente à la surface de niveau g(x, y, z) = 0
et donc leurs plans tangents seront confondus.
Donc leurs vecteurs normal seront parallèles.
On peut faire la même chose pour des fonctions à trois variables f (x, y, z) avec la contrainte g(x, y, z) = 0
Mais l’interprétation géométrique est un peu plus compliquer à visualiser.
g(x, y, z) = 0 est une surface de niveau
Les valeurs extrêmes se produiront lorsqu’une surfaces de niveau de f (x, y, z) sera tangente à la surface de niveau g(x, y, z) = 0
et donc leurs plans tangents seront confondus.
Donc leurs vecteurs normal seront parallèles.
rf (x, y, z) = rg(x, y, z)
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1sur la sphère
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L
@x = 1 + 2 x
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L
@x = 1 + 2 x
@L
@y = 1 + 2 y
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L
@x = 1 + 2 x
@L
@y = 1 + 2 y
@L
@z = 1 + 2 z
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L
@x = 1 + 2 x
@L
@y = 1 + 2 y
@L
@z = 1 + 2 z
@L
@ = x2 + y2 + z2 1
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L
Exemple
Trouver les valeurs extrêmes de f (x, y, z) = x + y z x2 + y2 + z2 = 1L(x, y, z, ) = x + y z + (x2 + y2 + z2 1) sur la sphère
@L