Faites les exercices suivants

p.858 # 33 et 34

Pour trouver la masse d’une plaque occupant une région R

Pour trouver la masse d’une plaque occupant une région R

M =

ZZ

R

dm

Pour trouver la masse d’une plaque occupant une région R

M =

ZZ

R

dm

Mais si la masse est répartie selon une fonction de densité

Pour trouver la masse d’une plaque occupant une région R

M =

ZZ

R

dm

Mais si la masse est répartie selon une fonction de densité

⇢(x, y) = lim

A!0

m A

Pour trouver la masse d’une plaque occupant une région R

M =

ZZ

R

dm

Mais si la masse est répartie selon une fonction de densité

⇢(x, y) = lim

A!0

m A

M =

ZZ

R

⇢(x, y)dA

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité est donnée par

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité est donnée par

⇢(x, y) = 1

1 + x² + y²

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité est donnée par

⇢(x, y) = 1

1 + x² + y²

M =

Z _2⇡

0

Z ₂

0

r

1 + r² drd✓

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité est donnée par

⇢(x, y) = 1

1 + x² + y²

M =

Z _2⇡

0

Z ₂

0

r

1 + r² drd✓ u = 1 + r²

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité est donnée par

⇢(x, y) = 1

1 + x² + y²

M =

Z _2⇡

0

Z ₂

0

r

1 + r² drd✓ u = 1 + r² du = 2rdr

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité

Exemple

Trouver la masse d’un disque de rayon 2 dont la densité

En algèbre linéaire, on a vu comment trouver le barycentre d’un ensemble de points.

En algèbre linéaire, on a vu comment trouver le barycentre d’un ensemble de points.

# »

OB = 1 n

Xn

k=1

# » OP _k

En algèbre linéaire, on a vu comment trouver le barycentre d’un ensemble de points.

# »

OB = 1 n

Xn

k=1

# » OP _k

Mais qu’arrive-t-il si le nombre de points est infini?

1 nm

Xn

i=1

Xm

j=1

(x_i, y_j)

1

1

1

1

1

1

1

1

En jumelant cette idée et celle de la masse, on peut trouver le centre de masse.

En jumelant cette idée et celle de la masse, on peut trouver le centre de masse.

¯

x =

ZZ

R

x⇢(x, y) dxdy ZZ

R

⇢(x, y) dxdy

En jumelant cette idée et celle de la masse, on peut trouver le centre de masse.

¯

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

M

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

=

Z ^⇡₃

0

Z 3

0

2r² rdrd✓

M

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2 x = r cos ✓

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2 x = r cos ✓

¯ x

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2

¯

x = 18p 3 5⇡

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2

¯

x = 18p 3 5⇡

y = r sin ✓

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

M 2

¯

x = 18p 3

¯ 5⇡

y

y = r sin ✓

= 2r²

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²) = 27⇡

Exemple

Une plaque à une forme d’un secteur circulaire de rayon 3 et d’angle d’ouverture .^⇡

3

Trouver son centre de masse si sa densité en chaque point est 2 fois le carré de sa distance au centre.

⇢(x, y) = 2(x² + y²)

Faites les exercices suivants

p.866 # 3 à 10 p.867 # 3 à 10

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

Aire d’une surface

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~s(y) = (a, y, f (a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~s(y) = (a, y, f (a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~s(y) = (a, y, f (a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~s(y) = (a, y, f (a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b))

~s(y) = (a, y, f (a, y)) Aire = k~u ^ ~vk

~

u = ~r(a + x) ~r(a)

~

u = ~r(a + x) ~r(a) = ~r(a + x) ~r(a)

x x

~

u = ~r(a + x) ~r(a) = ~r(a + x) ~r(a)

x x

~v = ~s(b + y) ~s(b)

~

u = ~r(a + x) ~r(a) = ~r(a + x) ~r(a)

x x

~v = ~s(b + y) ~s(b) = ~s(b + y) ~s(b)

y y

~

u = ~r(a + x) ~r(a) = ~r(a + x) ~r(a)

x x

~v = ~s(b + y) ~s(b) = ~s(b + y) ~s(b)

y y

k~u ^ ~vk

~

u = ~r(a + x) ~r(a) = ~r(a + x) ~r(a)

x x

~v = ~s(b + y) ~s(b) = ~s(b + y) ~s(b)

y y

=

✓~r(a + x) ~r(a)

x x

◆

^

✓~s(b + y) ~s(b)

y y

◆ k~u ^ ~vk

~

~

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r ⁰(x) =

✓

1, 0, @f

@x

◆

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r ⁰(x) =

✓

1, 0, @f

@x

◆

~s ⁰(y) =

✓

0, 1, @f

@y

◆

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r ⁰(x) =

✓

1, 0, @f

@x

◆

~s ⁰(y) =

✓

0, 1, @f

@y

◆

~r ⁰(x) ^ ~s ⁰(y)

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

~r(x) = (x, b, f (x, b)) ~s(y) = (a, y, f(a, y))

Donc la somme de Riemann

nlim!1

Donc la somme de Riemann

nlim!1

Donc la somme de Riemann

nous donnes

Aire =

Donc la somme de Riemann

nous donnes

Exemple

Calculer l’aire du plan ^{f (x, y) = 2x 3y + 7}

Exemple

Calculer l’aire du plan ^{f (x, y) = 2x 3y + 7} dans le rectangle

Exemple

Calculer l’aire du plan 1  x  3

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2 f_y = 3

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2 f_y = 3

Z 3

1

Z 2

0

p1 + 2² + 3²dydx

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2 f_y = 3

Z 3

1

Z 2

0

p1 + 2² + 3²dydx =

Z 3

1

2p

14dx

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2 f_y = 3

Exemple

Calculer l’aire du plan

1  x  3 0  y  2

f (x, y) = 2x 3y + 7 dans le rectangle

f_x = 2 f_y = 3

Exemple

Calculer l’aire d’une sphère

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

pR² x² y²

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

pR² x² y² f_y = y

pR² x² y²

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

pR² x² y² f_y = y

pR² x² y² q1 + f_x² + f_y²

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

pR² x² y² f_y = y

pR² x² y²

=

s

1 + x²

R² x² y² + y²

R² x² y² q1 + f_x² + f_y²

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

f_x = x

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

pR² x² y² q1 + f_x² + f_y²

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Exemple

f (x, y) = p

R² x² y² Calculer l’aire d’une sphère

= R

Faites les exercices suivants

p.871 # 1, 2, 3, 5 et 6 p.871 # 1, 2, 3, 5 et 6

Dans le document Au dernier cours, nous avons vu (Page 41-173)