Dans la première partie de cette thèse, nous travaillerons avec des solutions de la théorie des cordes construites à partir de théories bidimensionnelles réalisant l’algèbre superconforme N = 2. Nous allons maintenant introduire les différentes théories conformes que nous utiliserons.
Bosons et fermions libres
L’exemple canonique d’une théorie réalisant l’algèbre superconforme N = 2 est le système libre composé d’un boson complexe X et d’un fermion complexe ψ. L’algèbre superconforme N = 2 est réalisée avec une charge centrale égale à 3. Les générateurs de cette algèbre sont :
J=−ψ ¯ψ T =−∂ X∂ ¯X −12(ψ∂ ¯ψ + ¯ψ∂ ψ) (2.25) G+= i√
2 ¯ψ∂ X G−= i√
2.4. EXEMPLES DE THÉORIES CONFORMES 29
Cette théorie conforme permet de définir la théorie des supercordes dans l’espace-temps de Minkowski. Chaque paire (X,ψ) correspond à deux dimensions de cet espace-temps.
Modèles de Wess-Zumino-Novikov-Witten
Considérons un groupe de Lie G. On peut construire une théorie conforme dont l’espace-cible est la variété du groupe G. Ces théories sont appelées modèles de Wess-Zumino-Novikov-Witten. L’action s’écrit :
SW ZW = k 16π
Z
d2xTr[−∂µg−1∂µg] + kΓ (2.27) où le champ g envoie la feuille d’univers dans le groupe G, et Γ est le terme de Wess-Zumino :
Γ =−i24πk
Z
B
d3yεαβ γTr(g−1∂αgg−1∂βgg−1∂γg) (2.28) La variété tridimensionnelle B a pour bord la feuille d’univers. On peut montrer que l’intégrale de chemin pour cette théorie est bien définie si le paramètre k est un entier. La théorie possède un groupe de symétrie GL× GR qui agit par multiplication à gauche et à droite sur le champ g. Les courants associés aux symétries gauche et droite sont respectivement :
J(z) =−k∂ gg−1 et J(¯z) = kg¯ −1¯∂g. (2.29) L’opérateur J(z) (respectivement ¯J(¯z)) est invariant sous l’action du groupe de symétrie GR (res-pectivement GL), et génère la symétrie GL (respectivement GR). Les équations du mouvement impliquent que cet opérateur est holomorphe (respectivement anti-holomorphe). On peut dévelop-per les courants sur une base ta de l’algèbre de Lie du groupe G : J = Jata, ¯J= ¯Jata. Les indices de groupe a sont contractés à l’aide de la métrique de Kiling κab.
Les identités de Ward pour la symétrie GLpermettent de calculer les OPEs entre composantes du courant gauche J : Ja(z)Jb(w)∼ kκ ab (z− w)2+ i f ab c Jc(w) z− w. (2.30)
Les composantes du courant droit ¯J(¯z) satisfont la même algèbre, en termes des coordonnées anti-holomorphes. Ces OPE impliquent que les modes des courants génèrent une algèbre de Lie affine : [Jna, Jmb] = knκabδn+m,0+ i fabcJn+mc (2.31) L’algèbre de Virasoro, qui implique l’invariance conforme, suit de la réalisation de l’algèbre de Lie affine [14]. Le tenseur énergie impulsion peut s’écrire en termes des courants :
T = 1
k+ ˇh : JaJa:, T¯ = 1
k+ ˇh : ¯JaJ¯a: (2.32) où ˇh est le nombre dual de Coxeter de l’algèbre de Lie :
fabcfdbc= 2ˇhκad. (2.33)
Dans la définition (2.32), le produit d’opérateurs JaJaest régularisé ainsi : : JaJa: (z) = 1 2πi I dw 1 w− zJ a(w)Ja(z) (2.34)
30 CHAPITRE 2. CORDES QUANTIQUES EN ESPACES-TEMPS COURBES
L’OPE (2.30) implique pour le tenseur énergie-impulsion :
T(z)T (w) = k dim G
2(k + ˇh)(z − w)4+ 2T (w)
(z− w)2+∂ T (w)
z− w (2.35)
L’équation précédente donne la charge centrale de la théorie conforme :
c=k dim G
k+ ˇh (2.36)
On peut rendre ces modèles supersymétriques en ajoutant autant de fermions réels libres que l’algèbre de lie du groupe G a de dimensions. Cette opération s’accompagne d’un changement du niveau k en k − ˇh.
Modèles quotients
Il est possible de construire d’autres théories conformes à partir des modèles de Wess-Zumino-Novikov-Witten, en jaugeant une partie du groupe de symétrie de ces modèles. Considérons un groupe de Lie G, et H un sous-groupe de G. Le jaugeage de la symétrie vectorielle : g → h−1gh conduit à une théorie sans anomalie. On peut quantifier la théorie jaugée en utilisant une procédure BRST. Le tenseur énergie-impulsion de cette théorie s’écrit :
T(z) = TG/H(z) + T′(z) (2.37)
La seconde partie commute avec la première, et est BRST-exacte. La première partie peut s’écrire en termes des courants du modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten. C’est le tenseur énergie-impulsion GKO [15] : TG/H(z) = 1 k+ ˇhG : JaJa: − 1 k+ ˇhH : JAJA: (2.38)
où l’indice A désigne uniquement les dimensions de l’algèbre de Lie du groupe H. Les modes de ce tenseur énergie-impulsion réalisent l’algèbre de Virasoro avec une charge centrale égale à :
c=k dim G
k+ ˇhG −k dim H
k+ ˇhH (2.39)
Cette construction se généralise aux modèles de Wess-Zumino-Novikov-Witten supersymé-triques. En fait, dans certains de ces modèles quotients, l’algèbre superconforme N = 1 est au-tomatiquement étendue à l’algèbre superconforme N = 2. C’est la cas quand le quotient géomé-trique associé est un espace symégéomé-trique hermitien [16].
Un exemple d’une telle théorie est le superquotient SU(2)k/U(1). On obtient une théorie qui réalise l’algèbre superconforme N = 2 avec charge centrale c = 3 − 6/k. Il existe des représen-tations unitaires de l’algèbre superconforme N = 2 précisément pour ces valeurs de la charge centrale. Cette famille de modèles quotients correspond donc aux modèles minimaux réalisant l’algèbre superconforme N = 2 avec charge centrale inférieure à trois.
2.4. EXEMPLES DE THÉORIES CONFORMES 31
Le dilaton linéaire
Le dilaton linéaire est un premier exemple de théorie conforme non-triviale avec un espace cible non-compact. Ce modèle résulte du couplage d’un boson libre à la courbure de la feuille d’univers. L’action s’écrit :
S= 1 4πα′ Z d2ξ √ggi j∂iX∂jX+ Q 4π Z d2ξ √gR(2)X (2.40)
Le tenseur énergie-impulsion de cette théorie est :
T=−∂ X∂ X + Q∂2X (2.41)
La charge centrale de cette théorie conforme est égale à :
c= 1 + 6Q2 (2.42)
Comme pour le boson libre, on peut supersymétriser cette théorie en complexifiant le boson X, et en ajoutant un fermion complexe libre. La théorie obtenue réalise l’algèbre superconforme N = 2.
En comparant l’action (2.40) avec l’action de Polyakov (2.4), on constate que le couplage à la courbure de la feuille d’univers s’interprète dans l’espace-temps comme un profile linéaire pour le dilaton. En conséquence, il existe une région de l’espace-temps où la constante de couplage de la théorie des cordes explose. La définition perturbative de la théorie des cordes perd alors son sens dans cette région.
Le cigare
Cette théorie conforme est le quotient du modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten supersy-métrique sur le groupe Sl(2,R) par un sous-groupe U(1). Ce modèle réalise l’algèbre supercon-forme N = 2. Il doit son nom à la géométrie de l’espace-temps :
ds2= kα′dr2+ tanh2rdθ2
Φ = Φ0− log(coshr) (2.43)
où r est une coordonnée radiale positive, et θ est une coordonnée angulaire. Le comportement asymptotique des champs montre que ce modèle correspond à une résolution géométrique de la singularité de fort couplage du dilaton linéaire. Le niveau k du modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten est relié à la charge Q du dilaton linéaire par la relation : k = 1/Q2.
La théorie de Liouville N = 2
Une deuxième façon de résoudre le problème de fort couplage du dilaton linéaire consiste à allumer un potentiel qui écrante la région où le couplage diverge. Cette opération conduit à la théorie de Liouville N = 2. L’action de cette théorie s’écrit :
S= 1 4πα′ Z d2z " ∂ r ¯∂ r + ∂ θ ¯∂ θ−r 2 k α′ 4 R(2)r+ ψ+¯∂ψ−+ ¯ψ+∂ ¯ψ− +ikµ|ψ+|2e− √2 k(r+iθ )+ ik ¯µ|ψ−|2e− √2 k(r−iθ)i (2.44) Les auteurs de [17] ont montré que la théorie de Liouville N = 2 est T-duale au cigare.
Chapitre 3
Solutions exactes de la théorie des
cordes
Dans ce chapitre, nous allons présenter deux familles de solutions de la théorie des cordes. La première famille est composée des modèles de Gepner. Ces modèles décrivent des vides semi-réalistes, dans lesquels la théorie des cordes est compactifiée. La deuxième famille décrit des espaces-temps très différents, qui contiennent des dimensions non-compactes courbées. La construc-tion de ces soluconstruc-tions en termes de théories conformes généralise celle des modèles de Gep-ner. C’est pourquoi les modèles de la deuxième famille sont appelés “modèles de Gepner non-compacts". Ces sont des vides intéressants pour étudier certaines propriétés de la théorie des cordes en espace-temps courbe et non-compact. Ce chapitre a pour objectif de mettre en perspective les résultats obtenus lors de ma première collaboration avec Sujay Ashok et Jan Troost [18].
3.1 Modèles de Gepner
Les modèles de Gepner ont été introduits et étudiés dans la deuxième moitié des années 1980 [20] [21] [22] [23]. Pour une introduction, on pourra se reporter à [19]. Ces modèles décrivent des compactifications de la théorie des cordes sur certaines variétés Calabi-Yau.
Variétés Calabi-Yau et compactifications de la théorie des cordes
La théorie des supercordes vit dans un nombre de dimensions supérieur à celui que l’on ob-serve. Cette constatation nous conduit à considérer les compactifications possibles de la théorie des cordes. L’idée la plus simple est de décomposer l’espace-temps en une partie quadridimension-nelle (qui représente l’espace-temps que nous observons), et une partie compacte indépendante de faible volume qui est invisible à basse énergie. Si l’espace-temps se factorise de cette façon, alors chaque facteur doit vérifier séparément les équations d’Einstein. En outre, on demande que la supersymétrie soit préservée par la compactification. Les variétés compactes qui vérifient ces deux conditions sont appelées variétés Calabi-Yau. Elles sont définies comme étant les variétés compactes Kähleriennes dont le groupe d’holonomie est SU(3). Il a été conjecturé par Calabi, puis démontré par Yau, que ces variétés admettent une métrique dont le tenseur de Ricci s’annule. Cette métrique vérifie donc les équations d’Einstein.
34 CHAPITRE 3. SOLUTIONS EXACTES DE LA THÉORIE DES CORDES
Les modèles de Gepner décrivent une famille de variétés Calabi-Yau que nous allons mainte-nant introduire. Considérons l’espace projectif complexe pondéré W CP4
a1,a2,a3,a4,a5. Cet espace est défini comme l’espace C5modulo l’identification : (z1, z2, z3, z4, z5)∼ (λa1z1, λa2z2, λa3z3, λa4z4, λa5z5), λ∈ C. On peut prouver le théorème suivant (voir par exemple [24]). L’hypersurface de W CPa41,a2,a3,a4,a5
définie par l’équation :
z 1 a1 1 + z 1 a2 2 + z 1 a3 3 + z 1 a4 4 + z 1 a5 5 = 0 (3.1)
est une variété Calabi-Yaui si et seulement si les coefficients (a1, a2, a3, a4, a5) vérifient :
a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 1 (3.2)
Les compactifications de la théorie des cordes sur des variétés Calabi-Yau produisent une physique intéressante à basse énergie. On obtient une théorie de supergravité dans l’espace de Minkowski à quatre dimensions, qui inclut des interactions de jauge non-abéliennes, plusieurs gé-nérations de fermions, etc. Les caractéristiques précises de cette théorie se déduisent des invariants topologiques de la variété Calabi-Yau. Cependant, ces modèles phénoménologiques souffrent d’un défaut. Les variétés Calabi-Yau possèdent génériquement un nombre infini de métriques dont le tenseur de Ricci s’annule. La dimension de cet espace, appelé espace des modules, est donné par les nombres de Hodge du Calabi-Yau. Or les déformations de la métrique du Calabi-Yau qui préservent les équations d’Einstein donnent naissance à des scalaires de masse nulle dans l’espace-temps de Minkowski. De telles particules n’ont jamais été observées. On peut raffiner ces modèles en allumant des flux pour les champs de Ramond-Ramond, qui induisent une masse pour les mo-dules (pour un compte-rendu des travaux réalisés dans cette direction, voir par exemple [25]). Malgré cela, il est difficile de combiner tous les éléments nécessaires pour obtenir une phénomé-nologie, et en particulier une cosmologie, raisonnable.
Construction des modèles de Gepner
Nous cherchons maintenant à décrire des compactifications de la théorie des cordes grâce à une théorie bidimensionnelle réalisant l’algèbre superconforme N = 2. La partie non-compacte de l’espace-temps sera l’espace-temps de Minkowski à quatre dimensions. Nous savons comment réaliser cet espace en termes de théorie conforme : il suffit d’introduire sur la feuille d’univers deux bosons et deux fermions complexes libres. Ce choix nous permet d’utiliser la procédure de quantification dans la jauge du cône de lumière de façon efficace.
Pour construire la théorie conforme associée à la partie compacte de l’espace-temps, nous al-lons utiliser les modèles minimaux N = 2 . Ces modèles décrivent un espace-temps compact, car ils sont obtenus en jaugeant un modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten sur un groupe compact. Rappelons que les modèles minimaux N = 2 sont paramétrés par un entier positif k, que l’on appelle le niveau du modèle. La charge centrale du modèle minimal N = 2 à niveau k est :
c=3(k − 2)
k (3.3)
La contribution de l’espace-temps de Minkowski à la charge centrale totale sur la feuille d’uni-vers est égale à six. Pour obtenir une solution exacte de la théorie des cordes, la théorie conforme décrivant la partie compacte de l’espace-temps doit donc avoir une charge centrale égale à neuf. Cette théorie conforme est un produit de modèles minimaux N = 2. Nous allons nous restreindre
3.1. MODÈLES DE GEPNER 35
au cas où le nombre de ces modèles minimaux est inférieur où égal à cinq. En fait, on peut suppo-ser que ce nombre est exactement égal à cinq, quitte à rajouter des facteurs triviaux (c’est-à-dire des modèles minimaux à niveau deux). Dans ce cas la charge centrale de la théorie conforme est critique si et seulement si les niveaux des cinq modèles minimaux satisfont :
1 k1+ 1 k2+ 1 k3+ 1 k4+ 1 k5 = 1 (3.4)
Cette équation rappelle bien sûr la condition de Calabi-Yau (3.2) pour une hypersurface dans un espace projectif complexe pondéré. Nous pouvons en fait rendre cette correspondance très précise. Pour cela, il nous faut introduire une autre description des modèles minimaux N = 2.
Modèles de Landau-Ginzburg N = 2
Considérons une théorie bidimensionnelle avec N = 2 supersymétries, qui décrit la dyna-mique d’un superchamp Φ. L’action de cette théorie s’écrit, dans une notation de superespace :
S= Z d2zd4θ K(Φ, ¯Φ) + Z d2zd2θW (Φ) + c.c. (3.5) Ces modèles sont connus sous le nom de “modèles de Landau-Ginzburg N = 2". La première partie de l’action contient les termes D, et la seconde partie les termes F. L’intérêt de cette distinc-tion est la suivante : on peut montrer que les termes F ne sont pas renormalisés. La théorie décrite par l’action précédente n’a aucune raison d’être invariante conforme. Cependant, elle évolue sous l’action du groupe de renormalisation vers une théorie conforme. Ce point fixe infra-rouge est déterminé par le superpotentiel W .
Il se trouve que le point fixe infra-rouge des modèles de Landau-Ginzburg N = 2 avec su-perpotentiel W = Φk est précisément le modèle minimal N = 2 à niveau k. On le démontre par exemple en calculant la charge centrale du point fixe infra-rouge du modèle de Landau-Ginzburg [12]. Une autre méthode consiste à montrer que les genres elliptiques de ces deux théo-ries sont identiques [26].
Correspondance entre modèles de Gepner et variétés Calabi-Yau
Voyons maintenant comment relier la théorie conforme critique obtenue par le produit de modèles minimaux N = 2 à une variété Calabi-Yau. L’argument suivant provient de [27] (une discussion plus approfondie se trouve dans [28]). Considérons le modèle de Landau-Ginzburg N = 2 avec superpotentiel W = Φk1
1 + ... + Φk5
5, et dont les termes D s’annulent. Cette théorie évolue sous l’action du groupe de renormalisation vers le produit des modèles minimaux N = 2 MMk1× ... × MMk5. L’intégrale de chemin pour le modèle de Landau-Ginzburg s’écrit :
Z
DΦieiRd2zd2θ (W (Φ1,...,Φ5))+c.c. (3.6) On redéfinit maintenant les champs de la façon suivante :
ξ1= Φk1
1, ξi= Φi/Φ
k1 ki
1 (3.7)
Le jacobien qui apparaît dans l’intégrale de chemin est étonnement simple quand la condition de criticalité (3.4) est satisfaite : det∂ Φi
∂ ξj
=k1
36 CHAPITRE 3. SOLUTIONS EXACTES DE LA THÉORIE DES CORDES
Z
DξieiRd2zd2θ (ξ1W(1,ξ2,...,ξ5))+c.c.=
Z
Dξi6=1δ (W (1, ξ2, ..., ξ5)). (3.8) La fonction delta dans l’intégrale de chemin implique que le modèle de Landau-Ginzburg est un modèle sigma vers la variété de Calabi-Yau définie par l’équation (3.1). Sous l’action du groupe de renormalisation, la géométrie de l’espace cible va changer (la métrique évolue vers une métrique Ricci-plate), mais pas sa topologie. Le produit des modèles minimaux N = 2 a donc pour espace cible une variété Calabi-Yau, définie comme une hypersurface dans un espace projectif complexe pondéré.
Il y a une subtilité importante dans la discussion précédente. Le changement de variables (3.7) n’est pas bijectif. Plus précisément, les variables ξisont invariantes si l’on agit sur les variables Φi ainsi :
Φi→ e2πiki Φi (3.9)
En toute rigueur, c’est donc l’orbifold du modèle Landau-Ginzburg par le groupe discret gé-néré par la transformation (3.9) qui décrit la variété Calabi-Yau. Il se trouve que cet orbifold est indispensable pour obtenir une solution stable de la théorie des cordes : il correspond précisément à la première étape de la projection GSO.
La construction de Gepner fournit une description microscopique exacte de la théorie des cordes compactifiée sur une variété Calabi-Yau. Cette description en termes de modèles minimaux N = 2 est très puissante, car ces modèles sont complètement résolus. On peut ainsi calculer n’importe quelle quantité physique dans l’espace-temps, comme le spectre d’excitations de la corde, ou les couplages de Yukawa. Cette construction a également aider à dévoiler une propriété surprenante des variétés Calabi-Yau : la symétrie miroir, que nous allons maintenant introduire. Cette découverte constitue un accomplissement notable de la théorie des cordes, et une avancée remarquable en mathématiques.
Symétrie miroir
Pour comprendre d’où vient l’idée de la symétrie miroir, revenons aux modules des variétés Calabi-Yau. Ceux-ci correspondent aux différentes déformations possibles de la métrique qui pré-servent la nullité du tenseur de Ricci. Pour une variété complexe Kählerienne, on peut classer les données géométriques en deux catégories : celles qui concernent la structure complexe de la variété, et celles qui concernent la forme de Kähler. De même, les modules peuvent être de deux types : les modules de la structure complexe, et les modules de Kähler. Ces deux familles de modules correspondent à des déformations très différentes de la géométrie. On peut caricaturer leur effet ainsi : les modules de Kähler changent la taille de la variété, alors que les modules de la structure complexe en changent la forme. Plus formellement, ces deux types de modules correspondent à des formes harmoniques de dimensions différentes.
Ces modules donnent naissance à des scalaires de masse nulle dans le spectre de la théorie des cordes. Or, nous savons que les excitations de masse nulle de la corde sont liées aux opérateurs chiraux et anti-chiraux de la théorie superconforme. Plus précisément, les deux types de modules proviennent de différentes combinaisons entre les champs holomorphes et anti-holomorphes : les modules de la structure complexe viennent de la combinaison d’éléments de l’anneau chiral ho-lomorphe avec des éléments de l’anneau chiral hoho-lomorphe (combinaison que l’on note (c,c)), ou de la combinaison d’éléments des deux anneaux anti-holomorphes ((a,a)). À l’inverse, les