On effectue des simulations numériques pour faire la preuve de concept de la construction de l’indicateur ηgo.
Pour cela, on se restreint au cas A ≡ Skw. On choisit kw = 20. Les cas tests sont les
cercle de rayon R = 0.9, le carré de côté a = 1 et un triangle équilatéral de côté e = 2 afin de présenter un cas non-symétrique. L’observable Q est le champ lointain (voir 7.1.5). Le paramètre de raffinement estθDörfler = 0.5. Pour chaque cas, on compare l’erreur goal-oriented en
raffinement uniforme avec l’erreur goal-oriented lorsqu’on utilise un algorithme de raffinement auto-adaptatif.
7.3.1
Cas du cercle
R = 0.9
Le cercle de rayon R = 0.9 est éclairé par une onde plane se propageant le long de l’axe −ex. On observe le champ lointain pour la direction θfar–field = 180◦ i.e. derrière l’objet.
La valeur de référence du champ lointain pour le calcul de l’erreur exacteeexacte est calculée
analytiquement. Les résultats de convergence sont présentés sur la Figure 7.1. On com-
mente tout d’abord ce qui se passe pour l’indicateur : que ce soit en raffinement uniforme ou auto-adaptatif, l’indicateurηQ converge au moins au taux maximum de convergenceO(Nelem−3 ). Cela correspond à l’estimation a priori puisque les solutions du problème primal et dual sont régulières et convergent chacune, en raffinement uniforme au taux optimumO(Nelem−3/2).
Néanmoins, ηQ est beaucoup trop optimiste en ce qui concerne la valeur exacte de l’erreur puisqu’on se rend compte que celle-ci ne converge qu’en O(Nelem−2 ). Ce taux correspond au taux de convergence de l’erreur géométrique ! L’indicateur ηQ converge trop vite et l’erreur géométrique prédomine. Ainsi, et ce dès que la géométrie admet une sous-partie courbe, l’erreur eexacte ne converge pas plus vite que l’erreur géométrique. Les seules issues possibles sont alors
— prendre en compte l’erreur géométrique dans le calcul de l’indicateurηQ, — ou bien utiliser un maillage iso–paramétrique. . .
7.3.2
Cas du carre
a = 1
De la même manière que pour le cercle, le carré est éclairé par une onde plane se propageant le long de l’axe−expourkw = 20, θd= 0.753. On calcule le champ lointain pourθfar–field = 180◦.
3. On prend un paramètre plus élevé que précédemment afin de générer moins d’itérations pour arriver à un nombre d’éléments donnés. Il s’agit purement d’un artifice pour la représentation des données afin de mieux
101 102 103 104 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 Pente 3 Pente 2 Nelem V aleur de l’indicateur
Cercle de rayon R = 0.9, kw= 20, c.l. Dirichlet, far–field–oriented
ηQ uni
eexacte uni
ηQada eexacte ada
Figure 7.1 – Convergence far–field–oriented pour le cercle de rayon R = 0.9 pour kw = 20,
θd= 0.5, guidage par ηQ.
La solution de référence est calculée à partir d’un maillage très raffiné. Les résultats de convergence sont présentés sur la Figure 7.2. Il apparaît immédiatement que le raffinement
uniforme est sous-optimal ce qui est une conséquence logique de la sous-optimalité vis-à-vis de l’erreur sur le problème primal (et dual). Le taux de convergence est alors en O(Nelem−1.37)≈ O(Nelem−2/3N
−2/3
elem ) i.e. le taux minimal possible déduit de l’estimation a priori.
On constate que l’algorithme auto-adaptatif guidé parηQpermet de retrouver le taux maxi- mum en O(Nelem−3 ) ce qui implique qu’il trouve un optimum prenant en compte à la fois le problème primal et le problème dual.
Remarque 7.3.1. On constate rapidement que ηexacte arrête brutalement de converger. Cela
est dû à l’approximation qui est utilisée pour le calcul de la référence.
7.3.3
Cas du triangle équilatéral
e = 2
La source est la même que précédemment. On choisit encore θd = 0.75. La technique pour
le calcul de la référence est la même que pour le calcul de la référence pour le carré.
Les résultats de convergence sont présentés sur la Figure 7.3. Comme pour le carré, la
convergence uniforme est sous-optimale et l’erreur exacte est mal restituée parηQ. Au contraire, l’utilisation du raffinement auto-adaptatif permet de retrouver le taux maximal de convergence en O(Nelem−3 ). De plus, on a une très bonne adéquation entre eexacte et ηQ. Lorsqu’on raffine
trop le maillage, on atteint les limites du calcul de la référence et la valeur de eexacte augment
subitement.
mettre en valeur le taux en O(Nelem−3 ) avant que la qualité de l’approximation de la valeur de référence ne devienne insuffisante.
101 102 103 104 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 Pente 3 Nelem V aleur de l’indicateur
Carr´e de cˆot´e a = 1, kw= 20, c.l. Dirichlet, far–field–oriented
ηQuni eexacte uni
ηQ ada eexacteada
Figure 7.2 – Convergence far–field–oriented pour le carré de côté a = 1 pour kw = 20,
θd = 0.75, guidage par ηQ,θfar–field= 180◦.
101 102 103 104 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 Pente 3 Nelem V aleur de l’indicateur
Triangle ´equilat´eral de cˆot´e e = 2, kw= 20, c.l. Dirichlet, far–field–oriented
ηQuni eexacte uni
ηQ ada eexacteada
Figure 7.3 – Convergence far–field–oriented pour le triangle équilatéral de côté e = 2 pour kw = 20, θd = 0.75, guidage par ηQ,θfar–field= 180◦.
7.3.4
Comparaison des maillages générés
On conclut cette sous-partie sur le goal–oriented numérique en comparant les maillages obtenus lorsque l’algorithme de raffinement est guidé par ηrh (donc un indicateur classique
sur la solution) ou bien lorsqu’il est guidé par ηQ. Il n’y a aucune raison a priori pour que les
raffinements se trouvent au même endroit puisque l’indicateur goal-oriented prend en compte les propriétés de l’observable. On présente sur la Figure 7.4les maillages obtenus après quelques
itérations de l’algorithme itératif sur le cercle lorsqueNelem ≈ 200. Les paramètres de simulation
sont inchangés. En ce qui concerne le marquage par ηrh, on constate que l’indicateur marque
−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, cercle R = 1,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηrh
−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, cercle R = 1,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηQ
Figure 7.4 – Comparaison des maillages obtenus par marquage avec ηrh etηQ, cercle R = 1.
préférentiellement le côté recevant l’onde incidente. Cela correspond à des zones où la valeur de la solution de l’équation intégrale est élevée. Autrement dit, c’est une zone où il y a beaucoup de signal.
Le maillage généré par un marquage avecηQ est différent : les raffinements se concentrent sur le haut et le bas de la sphère. On peut l’analyser de cette manière : l’observable est une grandeur spatial et non plus surfacique. Le phénomène important pour l’évaluation du champ lointain est le phénomène qui a lieu à la transition avant–arrière de la sphère, là où a lieu la diffraction.
On présente sur la Figure7.5le maillage pour le carré lorsqueNelem ≈ 200. On sait que la
solution présente des singularités aux coins ce qui se traduit logiquement par un sur–raffinement à ces endroits là. Il est donc très important aux coins correspondant à la face frontale du carré. Dès lors qu’on s’intéresse au champ lointain derrière le carré, la zone importante devient les faces en haut et en bas du carré ce qui se traduit par un raffinement important et relativement homogène avec une légère concentration aux coins.
Similairement, on présente les maillages obtenus pour le triangle pour Nelem ≈ 200 sur la
Figure 7.6. Dans le cas d’une estimation sur les courants, c’est la face présentée à l’onde
incidente, et les coins, qui sont raffinés alors que les parties se trouvant dans la zone d’ombre ne le sont que peu. Lorsqu’on est ans le cadre d’une estimation sur Q, on constate que les coins, y compris celui dans la zone d’ombre, sont raffinés mais que les faces le sont peu.
−0.5 −0.25 0 0.25 0.5 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, carr´e a = 1,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηrh
−0.5 −0.25 0 0.25 0.5 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, carr´e a = 1,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηQ
Figure 7.5 – Comparaison des maillages obtenus par marquage avec ηrh etηQ, carré a = 1.
−1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, triangle e = 2,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηrh
−1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 x y
Maillage obtenu apr`es raffinements successifs, triangle e = 2,≈ 200 ´el´ements, indicateur ηQ
Figure 7.6 – Comparaison des maillages obtenus par marquage avec ηrh etηQ, trianglee = 2.
Les indicateurs sur le problème primal et goal–oriented ont bien des comportements diffé- rents en ce sens qu’ils ne génèrent pas la même suite d’espaces d’approximation.