Dans les paragraphes qui suivent je présente deux exemples d’auto-oscillateurs, le pre- mier de van der Pol pour son antériorité historique et le deuxième de Kim, Tiberkevich et Slavin car il a été développé pour les oscillateurs spintroniques macrospin.
1.4.1 Oscillateur de van der Pol
L’oscillateur de van der Pol est probablement le modèle d’auto-oscillateur le plus connu. Il a été développé dans les années 20 [57] pour la société Philips. L’oscillateur de Van der Pol est un oscillateur harmonique à une dimension, x, (comme celui décrit par l’équation III.1 ci-avant) auquel on a ajouté un amortissement/anti-amortissement adaptatif : µ(1 − x2) ˙x.
Ce modèle repose donc sur l’équation suivante :
¨x − µ(1 − x2) ˙x + x = 0 (III.2)
Le terme d’amortissement effectif n’est nul que si x = ±1. Si |x| < 1 il se comporte comme un anti-amortissement et donne de l’énergie au système, si |x| > 1, il fait exactement l’inverse. Cela fait que le système tend toujours vers le cycle limite.
L’oscillateur de van der Pol est un excellent exemple de modèle d’auto-oscillateur. On peut remarquer que la non-linéarité a été placée sur l’(anti)-amortissement. Ce choix, tout à fait valide, n’est pas le seul, par exemple elle peut être mise sur le potentiel (terme en
x), l’inertie (terme en ¨x) ou une combinaison des trois.
- 2 - 1 0 1 2 - 2 - 1 0 1 2
Figure III.4 – Portrait de phase de l’oscillateur de van der Pol réalisé grâce à Mathematica�R. Cal-
cul réalisé avec µ = 0,5. La ligne rouge correspond à la résolution de l’équation différentielle pour les conditions initiales : x = 0 et ˙x = −0,2. Les flèches bleues représentent l’attraction du cycle limite.
1.4.2 Modèle KTS
Le modèle KTS a été développé par Kim, Tiberkevich et Slavin, ces dernières années, de façon à modéliser les oscillateurs macrospin [58]. Les auteurs mettent en avant qu’il a été construit de façon à être le plus générique possible, permettant de l’étendre à d’autres cas, par exemple à l’oscillateur de Van der Pol que nous venons de voir. Il repose sur l’équation :
III.1 Oscillateurs, auto-oscillateur et non-linéarité
dc
dt + iω(|c| 2) + Γ
+(|c|2)c − Γ−(|c|2)c = 0 (III.3)
Avec c qui représente l’amplitude complexe de l’oscillateur, |c|2 est donc proportionnelle à
la puissance de celui-ci. Les termes Γ+ et Γ− représentent respectivement l’amortissement
et l’anti-amortissement. Ils garantissent le retour du système à son cycle limite après une perturbation. Enfin, le terme en ω(|c|2) permet de modéliser le caractère non isochrone6
de l’oscillateur si nécessaire.
Il est possible d’exprimer les équations de l’oscillateur de van der Pol sous la forme de l’équationIII.3à condition d’accepter l’approximation consistant à ne garder que les termes résonants et de supprimer les terme non résonants7 [58]. Les différents termes prennent
alors la forme suivante :
ω(|c|2) = ω0, (III.4)
Γ+(|c|2) = 1/2µω0 (III.5)
Γ−(|c|2) = 1/4µω0|c|2 (III.6)
En effet, toute la subtilité de ce modèle est dans le choix des trois termes Γ+(|c|2),
Γ−(|c|2) et ω(|c|2) qui sont à définir en fonction du système décrit. Pour les oscillateurs
macrospin, ces termes sont obtenus à partir de l’équation de LLG [58]. Cependant, pour l’instant, ce modèle n’a pas été adapté au cas des oscillateurs à vortex.
Ces deux exemples sont des modélisations possibles pour un auto-oscillateur. Evidem- ment il y en a une infinité. Nous verrons dans le paragraphe 5.2, que pour modéliser notre système nous avons fait des choix différents.
6. Un système isochrone est un système dont la fréquence propre ne dépend pas de l’amplitude. Notre exemple de pendule à balancier est isochrone seulement dans l’approximation des petits angles : T ≈
T0(1 + θ2max/16) selon la formule de Borda.
7. En fait cela revient à considérer que certains termes sont trop « rapides » par rapport au temps caractéristique « lent » que l’on cherche à étudier (proche de la fréquence naturelle) . On considère alors que l’effet de ces termes a une moyenne nulle sur une période d’oscillation. Cette approximation exclut tous les comportements fortement non harmoniques.
CHAPITRE III. AUTO-OSCILLATEUR ET SYNCHRONISATION
2 Synchronisation
Figure III.5 – Dessin de Christian Huy- gens illustrant son expérience de synchronisa- tion avec deux horloges à balancier reposant sur un support commun).
La synchronisation est un phénomène que l’on retrouve dans de très nombreux systèmes naturels ou artificiels, tel que la synchronisa- tion mutuelle du clignotement des lucioles [59] ou encore du cœur humain par un pacemaker artificiel. Les premiers écrits sur ce phénomène remontent au XVIIème siècle. Le célèbre physi- cien Christian Huygens (1629-1695) est un ma- thématicien, un astronome et un physicien néer- landais plus connu pour ses contributions au dé- veloppement de l’optique ondulatoire. Il a aussi beaucoup travaillé sur l’amélioration de la préci- sion des horloges. Suite à un problème de santé il dut garder le lit pendant plusieurs jours. Peu après, il décrivit sa découverte dans une lettre adressée à son père :
« Ayant été obligé de garder la chambre pendant quelques jours, et même occupé à faire
des observations sur mes deux horloges de la nouvelle fabrique, j’en ai remarqué un effet admirable, et auquel personne n’aurait jamais pu penser. C’est que ces deux horloges étant suspendues l’une à côté de l’autre, à la distance d’un ou deux pieds, gardent entre elles une justesse si exacte, que les deux pendules battent toujours ensemble, sans jamais varier. Ce qu’ayant fort admiré quelque temps ; j’ai enfin trouvé que cela arrivait par une espèce de sympathie : en sorte que faisant battre les pendules par des coups entremêlés, j’ai trouvé que dans une demi-heure de temps, elles se remettaient toujours à la consonance, et la
gardaient par après constamment, aussi longtemps que je les laissais aller. »8
Huygens ne fait pas que décrire le phénomène, mais il l’analyse et le comprend de façon très précise. Dans la suite de ses écrits, il émet l’hypothèse que cette « sympathie » (que l’on appellerait aujourd’hui couplage) est causée par d’imperceptibles mouvements de la poutre en bois sur laquelle sont suspendues les deux horloges. A cette époque ce phénomène ne trouva pas de réelle application ; il fallut attendre le développement de l’électronique et des radiocommunications, pour que celui-ci soit étudié par les grands noms de la physique tel que Rayleigh (1842-1919), Appleton (1892-1965) ou van der Pol (1889-1959) aboutissant à la théorie moderne de la synchronisation que je vais introduire brièvement ici.