-6
O X
•z0= 1 bb
bb bb
•b z1
z2 •"""""""
Représentation des racines cubiques de1
Les racines quatrièmes de 1 = ei0 sont z0 = 1, z1 = ei⇡2 = i, z2 = ei⇡ = 1, z3 = ei3⇡2 = i. Leur représentation est la suivante.
-6
O X
Y
•z0= 1
@@
@@
•@z1
z2•@
@@
@@•z3
Représentation des racines quatrièmes de1
Les racines quatrièmes de 1 =ei⇡ sontz0=ei⇡4, z1=ei3⇡4 , z2=ei5⇡4, z3=ei7⇡4 . Leur représentation est la suivante.
-6
O X
Y
• z0
z1 •
z2 • • z3
Représentation des racines quatrièmes de 1
3.4 Quelques exemples fondamentaux de développements en série de puissances
Pour tout complexez, on a
expz = ez =
+1
X
m=0
zm
m! = 1 +z+z2 2! +z3
3! +z4 4! +. . . cosz =
+1X
m=0
( 1)m
(2m)!z2m= 1 z2 2! +z4
4!
z6 6! +. . . sinz =
+1
X
m=0
( 1)m
(2m+ 1)!z2m+1=z z3 3! +z5
5!
z7 7! +. . . et pour tout réelx > 1, on a
ln(x+ 1) =
+1
X
m=1
( 1)m 1
m xm=x x2 2 +x3
3 x4
4 +. . . .
3.5 Annexe
3.5.1 Approximations polynomiales
Remarques
1) SiP(x) =aNxN+. . .+anxn+. . .+a1x+a0 est un polynôme de degré strictement supérieur ànet vérifie
x!xlim0,x6=x0
f(x) P(x x0) (x x0)n = 0 alors le polynômeP1(x) =anxn+. . .+a1x+a0 vérifie
x!xlim0,x6=x0
f(x) P1(x x0) (x x0)n = 0.
En effet, on a
x!xlim0,x6=x0
P(x x0) P1(x x0) (x x0)n =
XN j=n+1
x!xlim0,x6=x0
aj(x x0)j n= 0.
2) Sif est continu enx0 alors
x!xlim0
(f(x) f(x0)) = lim
x!x0,x6=x0
(f(x) f(x0)) = 0.
Il s’ensuit quef admet la constante f(x0)comme approximation à l’ordre0 enx0. 3) Pour une fonctionf et un pointx0 du domaine de définition def, la propriété limx!x0,x6=x0
f(x) P(x x0)
(x x0)n = 0n’implique pas nécessairement la continuité de f au pointx0. Il suffit en effet de considérer la fonction nulle pour tout x 6= 0 et qui vaut 1 en x= 0. Cette fonction admet le polynôme0comme approximation à l’ordren(pour tout n2N) enx0= 0mais n’est pas continue en 0.
4) Sif est continu enx0 alors, pour tout polynômeP, on a
x!xlim0,x6=x0
(f(x) P(x x0)) = lim
x!x0
(f(x) P(x x0)) (=f(x0) P(0)).
La restriction faite dans la définition (x6=x0 pourn= 0) peut donc être omise. Dans ce cas, on appelle donc approximation à l’ordrendef enx0 un polynômeP de degré inférieur ou égal à ntel que
x!xlim0,x6=x0
f(x) P(x x0) (x x0)n = lim
x!x0
f(x) P(x x0) (x x0)n = 0.
Propriétés
Propriété 3.5.1 Soitf une fonction définie sur]a, b[et soit x02]a, b[.
1) Si f a une approximation à l’ordren en x0, alorsf a une approximation à tout ordre inférieur à nen x0.
2) Si f admet une approximation à l’ordre nen x0, cette approximation est unique.
3) Si f est continu en x0 et admet une approximation à l’ordre 1 alors f est dérivable en x0 et l’approximation à l’ordre 1 est
f(x0) + (x x0)Df(x0).
4) Si f est continu enx0 et admet une approximation à l’ordre 2 en x0,f n’est pas nécessairement deux fois dérivable enx0.
Preuve. 1) En effet, siP est un polynôme de degré inférieur ou égal àntel que
x!xlim0,x6=x0
f(x) P(x x0) (x x0)n = 0
alors, pour toutk2{0, . . . , n 1}, on a
On conclut alors en utilisant la première remarque ci-dessus.
2) SoitP(x) =a0+a1x+. . .+anxn un polynôme de degré inférieur ou égal àntel que Le coefficienta0est donc unique.
Recherche du coefficient a1. Vu1) on a Le coefficienta1est donc unique.
On continue de cette manière jusqu’au coefficientan.
3) SoitP(x) =ax+btel queP(x x0)soit l’approximation def à l’ordre1enx0. Vu ce qui précède, la constantebetf(x0)sont des approximations à l’ordre0 enx0. On a donc nécessairement
b=f(x0). existe et est finie.
4) La fonction
f(x) =
⇢ x3sin(1/x) six6= 0 0 six= 0
est définie surRet est continue surR. Cette fonction est dérivable surRmais n’est pas deux fois dérivable surR. On a en effet
Df(x) =
⇢ 3x2sin(1/x) xcos(1/x) six6= 0 0 six= 0
et cette fonction n’est pas dérivable en 0car la limite
xlim!0
3x2sin(1/x) xcos(1/x) x
n’existe pas.
Cependant, la fonctionf admet une approximation à l’ordre 2enx0= 0 car
xlim!0
f(x) 0 x2 = lim
x!0xsin(1/x) = 0.
3.5.2 Critères de convergence pour les séries
Proposition 3.5.2 (Critère de Cauchy) La série de terme général xm converge si et seulement si 8">0, il existeM 2N0 tel que
Xq m=p
xm ", 8q p M.
En particulier, si la série de terme général|xm| converge et siR >0est tel que |ym|R|xm|8m, alors la série de terme général ym est aussi une série convergente.
Preuve.Résultat qui se déduit du critère de Cauchy pour les suites car une série est une suite particulière.2
Proposition 3.5.3 1) Si la série de terme général|xm|converge et siR >0est tel que|ym|R|xm|8m, alors la série de terme général ym est aussi une série convergente.
2) Critère des séries alternées. Sirm(m2N0)est une suite de réels qui décroît vers0, alors la série de terme général ( 1)mrmest une série convergente. De plus, pour tout p2N0, on a
X+1 m=p
( 1)mrm rp.
Preuve. 1) Il s’agit d’une application du critère de Cauchy car on a Xq
m=p
ym Xq m=p
|ym|R Xq m=p
|xm|.
2) Ce résultat peut être démontré en utilisant le critère de Cauchy. En effet, pour tous p, q 2 N0, pq, on a
Xq m=p
( 1)mrm
= ( 1)p (rp rp+1+rp+2 rp+3+. . .+ ( 1)q prq)
= ( 1)p
⇢ (rp rp+1) + (rp+2 rp+3) + (rp+4 rp+5) +. . .+ (rq 1 rq) siq pest impair (rp rp+1) + (rp+2 rp+3) + (rp+4 rp+5) +. . .+rq siq pest pair
donc q
X
m=p
( 1)mrm =
⇢ (rp rp+1) + (rp+2 rp+3) + (rp+4 rp+5) +. . .+ (rq 1 rq) siq pest impair (rp rp+1) + (rp+2 rp+3) + (rp+4 rp+5) +. . .+rq siq pest pair
car la suiterm(m2N0)est décroissante. En regroupant encore les termes d’une autre manière, on a Xq
m=p
( 1)mrm =
⇢ rp+ (rp+2 rp+1) + (rp+4 rp+3) +. . .+ (rq rq 1) siq pest pair rp+ (rp+2 rp+1) + (rp+4 rp+3) +. . . rq siq pest impair donc cette expression est égale àrp auquel on ajoute des termes tous négatifs. Il s’ensuit que
Xq m=p
( 1)mrm rp. On peut alors conclure car la suiterm (m2N0)converge vers0.2
3.5.3 Critères pratiques de convergence des séries
Définition 3.5.4 La série de terme généralxm, c’est-à-dire la série P+1
m=1xm est dite
— absolument convergentesi la série
+1
X
m=1
|xm| converge.
— semi-convergentesi
+1
X
m=1
xm converge mais
+1
X
m=1
|xm| ne converge pas.
Vu ce qui précède, une série absolument convergente est convergente mais la réciproque est fausse.
On démontre les résultats suivants, appelés critères pratiques de convergence, à l’aide des séries de référence (série géométrique et série de Riemann).
Proposition 3.5.5 (Critères pratiques de convergence) SoitP+1
m=1xm une série.
1) Critère de la racine.
— Si limm!+1 mp
|xm| = ✓ 2 [0,1[ alors la série P+1
m=1xm est absolument convergente (donc est convergente).
— Si on a limm!+1 mp
|xm|=✓ >1 oulimm!+1 mp
|xm|= +1 oulimm!+1 mp
|xm|= 1+ alors la sérieP+1
m=1xm diverge (car son terme général ne tend pas vers0).
2) Critère du quotient.Supposonsxm6= 0 pour toutm.
— Si limm!+1|xm+1|
|xm| = ✓ 2 [0,1[ alors la série P+1
m=1xm est absolument convergente (donc est convergente).
— Si on a limm!+1|xm+1|
|xm| =✓ >1 ou limm!+1|xm+1|
|xm| = +1ou limm!+1|xm+1|
|xm| = 1+ alors la série diverge (car son terme général ne tend pas vers0).
3) Critère de Riemann.
— S’il existe↵>1tel quelimm!+1m↵|xm|existe et est finie alors la sérieP+1
m=1xmest absolument convergente (donc convergente).
— Silimm!+1m|xm|existe et vaut soit+1, soit un réel strictement positif, alors la sérieP+1 m=1|xm| diverge (mais la sérieP+1
m=1xmpeut converger).
3.5.4 Une approximation de e
Propriété 3.5.6 Pour tousx2RetM 2N0 vérifiantM 2(|x| 1), les sommes partielles de la série définissantexp(x)sont telles que
exp(x) XM m=0
xm
m! 2 |x|M+1 (M+ 1)!.
En particulier pourx= 1on trouve XM m=0
1
m! exp(1) XM m=0
1
m! + 2
(M + 1)!
d’où l’estimationexp(1) = 2.718 (M = 6) ; plus précisémentexp(1) = 2.71828182. . .. Preuve.Pour toutM 2Net tout réelx, on a
exp(x) XM m=0
xm m! =
+1X
m=M+1
xm m!
= xM+1 (M+ 1)! 1 +
+1
X
m=1
xm
(m+M+ 1). . .(M+ 2)
! .
Dès lors, siM + 2 2|x|,
+1
X
m=1
xm
(m+M+ 1). . .(M+ 2) =
+1
X
m=1
x
m+M + 1. . . x M + 2
+1
X
m=1
1 2m = 1.
2