Exemples d’applications

2.2.2.1 Probl`eme de planification de r´eunions : MSP

Les r´eunions sont un moyen important dans la communication humaine. Le probl`eme de planification de r´eunions (MSP Meeting Scheduling Problem) [MK40, MK03] est un processus de prise de d´ecision, il a ´etait abord´e intensivement par les chercheurs scien- tifiques de plusieurs disciplines [SR99, HQS01, DXN01, KKM97, GKH00]. Ce probl`eme consiste `a d´eterminer o`u ? et quand ? un groupe de personnes pourront se r´eunir, tout en tenant compte de diff´erents calendriers des participants. Le probl`eme de planification de r´eunion (MSP) pourra ˆetre d´ecrit comme un probl`eme de satisfaction de contraintes centralis´e (CSP). Toutefois, l’un de ses plus int´eressantes caract´eristiques est le fait qu’il s’agit d’un probl`eme naturellement distribu´e. Officieusement, un ensemble d’agents sou- haitent se rencontrer. Ils recherchent un RDV possible qui satisfait les contraintes priv´ees de chacun des agents, et en outre, satisfait les contraintes de temps d’arriver entre les diff´erentes r´eunions du mˆeme agent.

La d´efinition g´en´erale de la famille MSP est comme suit : ≻ Un groupe S de m agents

≻ Une s´erie T de n r´eunions

≻ La dur´ee de chaque r´eunion mi est dureei

≻ Chaque r´eunion mi est associ´ee `a un ensemble si des agents de S, qui vont y parti-

ciper

≻ En cons´equence, chaque agent a une s´erie de r´eunions qu’il doit y assister ≻ Chaque r´eunion est associ´ee `a un emplacement Lk

≻ Les horaires pr´evus pour les r´eunions doivent permettre aux agents participant de ce d´eplacer entre les r´eunions.

Le tableau ci-dessous pr´esente un exemple de MSP, y compris le temps de d´eplacement par unit´es (e.i. les heures) entre les diff´erents lieux de r´eunion.

2.2. Probl`eme de Satisfaction de Contrainte Distribu´e 41

Meetings Locaux Participants m1 L1 A1, A3

m2 L2 A2, A3, A4

m3 L3 A1, A4

m4 L4 A1, A2

Tab._{2.1 – Exemple simple de MSP}

Intuitivement ce probl`eme d´ecrit ci-dessus peut ˆetre formul´e sous forme d’un CSP centralis´e de la mani`ere suivante :

≻ Un ensemble de variables X = {m1, m2, ..., mn}

≻ Un domaine D des valeurs (time-slots : tous les horaires hebdomadaires)

≻ Un ensemble de contraintes C (Arrival-Constraint), pour chaque paire de r´eunions mi, mj il existe une contrainte temps-arriv´ee, pour un agent qui participe aux deux

r´eunions. Les r´eunions sont ´equivalentes `a des contraintes qui suppriment des valeurs de domaines de certaines r´eunions.

Arrival-Constraint : ´Etant donner deux cr´eneaux de temps ti, tj, un conflit surgit

si nous avons la condition suivante :

|ti− tj| − dureei< T emps(Emplacement(mi), Emplacement(mj))

Hypoth`eses de simplification :

≻ Tous les agents ont la mˆeme taille du calendrier hebdomadaire - M horaires ≻ Toutes les r´eunions ont la mˆeme dur´ee (1-slot)

≻ Chaque agent assiste le mˆeme nombre de s´eances

La densit´e du r´eseau CAP d´epend du nombre de r´eunions (m), le nombre d’agents (n) et le nombre de s´eances par agent (k). La duret´e d’une contrainte d´epend de la dur´ee des r´eunions et les lieux des deux r´eunions. La densit´e et la duret´e peuvent ˆetre calcul´ees de la mani`ere suivante :

p1 : le rapport entre le nombre total des arcs et le nombre maximal possible des arcs d’un r´eseau de contraintes.

p1 = (nombre d′arcs dans le reseau)/(m ∗ (m − 1)/2)

p2 : le rapport entre le nombre total de cr´eneaux horaires `a ´eliminer et le nombre total de tuples (D × D). Par cons´equent, p2 est d´efini comme suit :

p2 = (D ∗ (2 ∗ s + 1) − s2_{)/(D ∗ D)}

O`u s est le temps de d´eplacement entre les lieux des r´eunions.

Toutefois, cette ´el´egante formulation d´ecrite plus haut, d´evoile compl`etement l’intimit´e (confidentialit´e) des agents (participants). D’o`u, la n´ecessit´e d’un formalisme qui respecte les caract´eristiques vitales du probl`eme, `a savoir, la confidentialit´e et l’autonomie des agents.

Le probl`eme SMP est un probl`eme naturellement distribut´e, fond´e sur la n´egociation mutuelle des agents. Par cons´equent, les agents sont associ´es aux participants et non pas aux r´eunions, et les r´eunions repr´esentes les variables qui doivent ˆetre affect´ees `a des time- slots (intervalles de temps), ces variables sont dupliqu´ees au sein de tous les agents qui participent de la mˆeme r´eunion.

42 Chapitre 2. Probl`emes de Satisfaction de Contraintes Distribu´es

Fig._{2.2 – Distances inter-villes}

Par cons´equence, le probl`eme de planification de r´eunions peut ˆetre repr´esent´e comme un DisCSP de la mani`ere suivante :

≻ Les agents sont repr´esent´es par le groupe S

≻ Chaque agent dans S contient un ensemble de variables xij, repr´esentant chacune

une r´eunion mj auquel cet agent doit y assister

≻ Chaque agent comprend un ensemble de contraintes internes (arrival constraints) entre chaque paire de ses variables locales xij, xik

≻ Pour chaque paire d’agents si, sj qui participe au mˆeme r´eunion mk il existe une

contrainte inter-agent d’´egalit´e entre le couple de variables xik, xjk, correspondant

`

a la r´eunion mk

La figure2.3 donne une repr´esentation graphique de ce que nous avons pr´esent´e plus haut.

Il est tr`es important de noter que la r´esolution des instances al´eatoires des probl`emes de planification des r´eunion (SMP), constituera un probl`eme de benchmarck pour l’exp´erimentation des algorithmes que nous avons propos´es. Pour ce faire un g´en´erateur al´eatoires des ins- tances format XML `a ´etait d´evelopper.

2.2.2.2 Probl`eme de capteurs mobiles distribu´e : SensorDisCSP

Les r´eseaux de capteurs mobiles [FBKG02b] sont n´es dans un contexte de globalisation technologique. Ils sont constitu´es d’un ensemble d’unit´es (capteurs) {s1, ..., sn} d´eploy´ees

dans un certain environnement et vou´ees `a accomplir une tˆache donn´ee. laquelle consiste `a suivre un ensemble de mobiles {m1, ..., mp}. Chaque mobile doit ˆetre suivi par 3 capteurs.

2.2. Probl`eme de Satisfaction de Contrainte Distribu´e 43

Fig. _{2.3 – la repr´esentation DisCSP du probl`eme MSP}

Chaque capteur permet de suivre au plus un mobile. Une solution est une affectation de trois capteurs distincts `a chaque mobile. Cette affectation doit satisfaire deux types de contraintes :

≻ les contraintes de visibilit´e. ≻ les contraintes de compatibilit´e.

(a) Contrainte de visibilit´e (b) Contrainte de compatibilit´e (c) Solution Fig. _{2.4 – Une Instance du probl`eme de capteurs mobiles distribu´es}

La figure2.4pr´esente un exemple de SensorDisCSP. Cet exemple comporte 6 capteurs (s1, s2, s3, s4, s5 et s6) et 2 mobiles (m1 et m2). Cette figure pr´esente les contraintes de visibilit´e (a), les contraintes de compatibilit´e (b) et aussi une solution possible pour cet exemple (c). Un mobile est visible pour un capteur si et seulement s’il existe un arc dirig´e entre eux dans le graphe de visibilit´e. Deux capteurs sont compatibles si et seulement si ils sont reli´es par un arc dans le graphe de compatibilit´e. Dans la solution, les trois capteurs affect´es `a chaque mobile sont les capteurs qui forment un triangle o`u le mobile est `a l’int´erieur. En g´en´eral, la recherche d’une solution pour les capteurs mobiles est un probl`eme NP-complet [FBKG02b]. Notez que ce probl`eme peut ˆetre facilement r´eduit au probl`eme de positionnement d’un graphe en cliques de taille trois, qui peut ˆetre NP-complet [BR75]. En revanche, les cas de ce probl`eme, dans lesquels chaque pair de capteurs est compatible, peuvent ˆetre r´esolus en temps polynˆomial [FBKG02b]. Le probl`eme SensorDisCSP peut ˆetre formalis´e par un CAP Distribu´e, de la fa¸con suivante.

44 Chapitre 2. Probl`emes de Satisfaction de Contraintes Distribu´es

Chaque agent repr´esente un mobile. Chaque agent contrˆole trois variables, une pour chaque capteur qui est n´ecessaire pour suivre le mobile correspondant. Le domaine d’une variable est l’ensemble des capteurs compatibles. Il existe des contraintes binaires entre chaque paire de variables de mˆeme agent. Ces contraintes intra-agent doivent garantir que les capteurs affect´es `a un mobile soient diff´erents, mais compatibles. Les autres contraintes binaires sont entre les variables de diff´erents agents. Ces contraintes inter-agents doivent garantir que tous les capteurs seront choisis par un agent au plus .