La modélisation tridimensionnelle de l’écoulement sanguin dans les artères a été abordé par plusieurs chercheurs [54, 55, 74, 109–116]. Ces modèles 3D, nécessitant une ressource computationnelle énorme, ont été remplacés par des modèles simplifiés spécialement des modèles 1D et 0D comme ceux présentés dans ce chapitre.
Plusieurs chercheurs ont adopté les modèles 1D pour modéliser l’écoulement sanguin dans les artères saines ou affectées (par des sténoses5) et ayant subie des chirurgies [5–10, 90–95, 117–132]. L’effet du rétrécissement du vaisseau sanguin a été analysé par Brook et Pedly [128], Porental et al [119], Formaggia et al [19], Rooz et al [118], Sherwin et al [5, 13] à travers le modèle 1D en imposant une section au repos non constante comme condition initiale. Stergiopulos et al [10] ont modélisé l’écoulement sanguin, dans le réseau humain formé de 55 artères, dans les conditions normales d’écoulement et dans le cas d’une sténose aortique. Les études ont suggéré, à travers une comparaison avec les données expérimentales publiées, que le modèle est capable de simuler l’écoulement dans les artères dans les deux cas de façon satisfaisante. Formaggia, Nobile et Quarteroni [80] ont étudié l’effet d’une prothèse vasculaire ou l’implémentation d’un stent sur l’écoulement sanguin.
Les modèles 1D sont ainsi des modèles performants et non couteûx capable de reproduire l’écoulement sanguin dans le réseau artériel humain. Ils constituent également un outil pour :
- réduire considérablement les reflets parasites des ondes de pression en se servant de ces modèles comme conditions aux limites pour les modèles artériels en 3D (Formaggia et al [19]).
- étudier le problème inverse et détecter les informations sur les propriétés artérielles et la rigidté de la paroi (Dumas [90, 91], Martin et al [135]).
Dans la plupart des travaux cités, la validation du modèle 1D, lorsqu’elle a été réalisée, a été faite avec des données in vitro. En revanche, la validation des modèles 1D avec les données in vivo est dans la plupart des études basée soit sur des modèles d’animaux [138], soit sur l’homme mais sur des réseaux artériels artificiels [32] ou à partir d’observations cliniques [10, 18, 123, 137] mais de manière qualitative.
Reymond et al [129] ont validé le modèle 1D sur un réseau de 55 artères systémiques. La pression et le flux sanguins simulés dans les artères centrales ainsi que dans la majorité des artères cérébrales ont été comparés qualitativement avec des mesures non invasives d’IRM pour le flux sanguin dans les larges artères, d’échographie Doppler pour le flux dans les artères cérébrales, et de tonométrie pour la pression. Cependant, la validation a été ainsi faite avec des paramètres non spécifiques à chaque sujet.
Alastruey [32] a appliqué le modèle 1D pour modéliser l’écoulement sanguin dans l’aorte et analyser la vitesse de propagation de l’onde de pouls sur un réseau artificiel de 55 artères principales (figure 2.15) [136]. A notre connaissance, les seuls travaux qui ont été faits pour valider le modèle 1D en personnalisant à un patient donné la géométrie et le débit en entrée avec ses mesures IRM sont les travaux de Reymond et al [133] et de Lucor et Bollache [83]. Reymond et al [133] ont developpé un modèle du réseau artériel systémique spécifique à un patient et l’ont validé en comparant le débit et la pression simulés aux données mesurées en IRM et en tonométrie d’aplanation respectivement sur un sujet sain. La géométrie des artères ainsi que le débit imposé en entrée ont été personnalisés à partir des mesures IRM. Cependant, les résistances périphériques ainsi que les paramètres de rigidité artérielles ont été optimisées de sorte que les simulations soient proches des mesures expérimentales et les compliances périphériques ont été choisies de la littérature. Le modèle a été validé sur un seul sujet ce qui n’est pas le cas dans [83], où le modèle 1D d’une artère simple, l’aorte descendante, a été validé chez 7 patients sains. La géométrie de l’aorte descendante, son élasticité, les compliances et les résistances périphériques pour chaque sujet ont été personnalisées. Les simulations obtenues ont, généralement, montré un bon accord avec les données cliniques mesurées en IRM pour la vitesse et la section artérielle et de tonométrie pour la pression. Cependant, la validation du modèle a été faite sur une artère simple sans bifurcation. En outre, l’estimation des paramètres du modèle à partir des données cliniques n’était pas réalisée d’une manière optimale, ce qui sera réalisé ici.
2.9. EXEMPLES D’ÉTUDES NUMÉRIQUES RÉALISÉES 39
Figure 2.15 – Schéma du modèle expérimental (figure issue de [32]).
Résumé du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons dérivé un modèle 1D à partir du modèle 3D régi par les équations de Navier Stokes en introduisant des hypothèses simplificatrices appliquées sur la structure artérielle. Nous avons également abordé deux approches pour discrétiser ce modèle simplifié : Taylor Galerkin et Galerkin discontinu et nous avons enfin introduit les modèles 0D que nous avons couplés avec les modèles 1D précédents.
Afin de valider le modèle 1D nous allons, dans le chapitre suivant, l’appliquer sur deux géométries diffé- rentes : l’aorte descendante et un réseau de 7 artères des membres inférieurs. La validation du modèle sera alors effectuée à partir de mesures réalisées par IRM, tonométrie ou echo-tracking.
Chapitre 3
Première validation des modèles 1D à
partir de mesures in vivo
La validation de tout modèle mathématique d’écoulement artériel est rendue complexe par la difficulté de mesurer les propriétés géométriques et élastiques des artères. On s’intéresse ici à la validation des modèles 1D présentés précédemment à partir de mesures in vivo, alors que jusqu’à présent leur validation a souvent été faite soit sur des cas in vitro soit sur des réseaux expérimentaux artificiels [32, 89].
Dans ce chapitre nous allons présenter, d’une part les résultats d’un modèle 1D de l’aorte descendante, et d’autre part les résultats d’un modèle de réseau 1D des membres inférieurs. Les résultats obtenus avec ces modèles seront comparés à des résultats issus d’examens non invasifs subis par des patients sains : un examen d’IRM et une tonométrie d’aplanation pour l’aorte descendante et un examen d’echo-tracking pour le réseau des membres inférieurs. Les paramètres numériques spécifiques à chaque patient nécessaires à l’utilisation des modèles 1D seront ici choisis à partir de données de la littérature. Les deux schémas de discrétisation du modèle 1D nommés respectivement DG et TG, seront également comparés pour une même situation.