Exemple : structure pantographique dissymétrique

E(w,ξ_u,v,v,η_u) + ˜F (v,η_u,0,0); ˜E(v,η_u,0,0) = 05 ,

on doit calculer le minimum par rapport aux variables v, w, θ. Puisque aucune dérivée de w n’apparaît dans l’expression de ˜E(w,ξ_u,v,v,η_u), le minimum par rapport à cette variable peut se calculer localement. Il en est de même pour θ. Par contre, le minimum par rapport à la variable v ne peut pas se calculer localement puisque dans la définition de ξ_u,v, il y a le gradient de v. La contrainte ˜E(v,η_u,0,0) = 0 entraîne que v minimise ˜E(v,η_u,0,0) et par conséquent, il existe un opérateur linéaire L tel que v = L · ∇u + λ où λ est un champ à valeurs dans le noyau de ˜E. Une conséquence immédiate de ce dernier résultat est que la contrainte ˜E(v,η_u,0,0) = 0 conduit à la contrainte suivante sur u :

˜

E(L · ∇u,ηu,0,0) = 0.

On peut donc remplacer w, θ et v par les solutions de ces problèmes de cellule. La définition de ηu et la dépendance de ξu,v vis-à-vis de ∇v implique que l’énergie homogénéisée est une fonction quadratique de ∇u, ∇∇u, λ et ∇λ :

E(u) = inf

λ∈L2(Ω)

!

ΩQ(∇u,∇∇u,λ,∇λ), où Q est une forme quadratique positive.

A priori, l’infinimum par rapport à λ ne peut pas être calculé localement à cause de la présence de son gradient dans l’expression de E(u).

Nous avons déjà vu au chapitre 5 que l’homogénéisation de réseaux périodiques avec interactions élastiques peut conduire à des modèles effectifs avec une variable cinématique supplémentaire (par exemple, les modèles de Cosserat, Timoshenko et Reissner). Nous avons donné dans ce même chapitre l’algorithme général qui permet de calculer explicitement l’énergie homogénéisée E(u) pour le cas particulier où zs= 0. Nous ne ré-détaillons pas cet algorithme dans le cas général considéré ici car la procédure est similaire. Seule la partie de l’algorithme qui explicite la forme canonique de l’énergie limite d’extension ˜E doit être changée. En effet, l’énergie limite d’extension obtenue dans ce chapitre est différente de celle obtenue dans le chapitre 4.

7.4.2. Exemple : structure pantographique dissymétrique

Pour comprendre comment les termes de premier et de second gradient peuvent être couplés dans l’énergie homogénéisée, nous choisissons un exemple où l’infinimum par rapport à la variable λ peut être calculé localement. La structure que nous considérons est constituée d’une cellule de référence Y contenant six nœuds : y₁= (0,1,0), y₂= (0, − 1,0), y3 = (1,0,0), y₄ = (2,2,0), y₅ = (2, − 2,0), y6 = (3,0,0). Les coefficients des matrices d’interaction sont nuls sauf

a_2,4,1 = a_2,5,2= a_2,6,1= a_2,6,2 = a_3,1,5 = a_4,4,2= 1.

La périodisation de la cellule Y selon le vecteur t₁= 4e₁ donne la structure pantographique qui est étudiée dans le cas zs= 0 au chapitre 5 (voir équation (4.55)). Nous avons montré que l’énergie homogénéisée est une énergie de second gradient. Ici, nous modifions cette structure en fixant

z4= z5 = αe1 et z1 = z2 = z3 = z6 = 0, avec α > 0.

On obtient une nouvelle structure pantographique qui est légèrement dissymétrique comme illustré sur la figure 7.2).

εy₃ εy₁ εy₂ εy₆ εy₄ εy₄+ ε2z₄ εy₅+ ε2z₅ ε t₁

Figure7.2. – Poutre pantographique légèrement dissymétrique

Pour obtenir une structure tridimensionnelle, nous rajoutons deux vecteurs de périodicité t₂ = −2e1+ 4e₂ et t₃ = e₃et connectons le nœud y₃de la poutre pantographique P_e1,e2 avec le nœud y₃ de la poutre pantographique P_e1,e3 en supposant que a_6,3,3 = 1. Nous obtenons la structure représentée sur la figure 7.3.

La contrainte ˜E(v,η_u,0,0) = 0 donne e₂₂(u) = e₃₃(u) = 0. L’énergie homogénéisée est

E(u) = ¹₂ !

Ω

2

ζ(e₁₁(u))²+ σ(e₁₂(u))²+µ$$∂2u₁ ∂x2 1 − 2α^∂u_∂x¹ 1 %2 +$∂2u₂ ∂x2 1 %2 + γ$ ∂2u₁ ∂x₁∂x₂ ^{+ 2α} $ ∂u₁ ∂x₂ ⁺ ∂u₂ ∂x₁ % + κ^∂ 2u₂ ∂x2 1 %2%3 dx₁ dx₂, avec ζ = 144, σ = 288, µ = ³ 88, γ = ⁴⁸⁴ 131, κ = ¹³ 44.

Cette énergie ressemble beaucoup à l’énergie obtenue au paragraphe 5.2.2.6. Mais, la nouveauté ici c’est le couplage entre les termes de premier et de second gradient. Par ailleurs, on remarque que si l’on fait tendre α vers 0, on retrouve l’énergie homogénéisée de la structure pantographique étudiée au paragraphe 5.2.2.6.

7.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié l’homogénéisation de réseaux périodiques dans le cas où les positions des nœuds dans la cellule périodique de taille unité dépendent de ε. Nous avons obtenu une formule d’homogénéisation dans laquelle les termes de premier et de second gradient sont couplés. Nous avons exhibé une structure particulière qui est la structure pantographique dissymétrique, mettant en évidence un tel couplage. A notre connaissance, cette étude est le premier résultat mathématique où un modèle de second gradient couplant les termes de premier et de second gradient est obtenu par homogénéisation.

Conclusion et perspectives

Conclusion

Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à l’obtention de métamatériaux de second gradient par homogénéisation de matériaux composites élastiques périodiques à fort contraste. Nous avons considéré des structures élastiques périodiques qui se modélisent comme des structures basées sur un graphe périodique élargi. Nous avons montré que l’étude de ces structures peut se réduire à l’étude de modèles discrets de réseaux périodiques de nœuds reliés par des interactions élastiques (chapitre 3).

Dans le chapitre 4, nous avons montré que l’homogénéisation des réseaux périodiques obtenus au chapitre 3 peut conduire à des modèles de milieux continus généralisés et de second gradient. Nous avons établi une formule générale d’homogénéisation donnée sous forme d’un problème de minimisation qui permet de relier les propriétés macroscopiques des structures étudiées à partir de la connaissance de leur design. Cette formule est un outil pour concevoir des matériaux de second gradient.

Dans le chapitre 5, nous avons décrit de façon détaillée l’algorithme qui rend explicite la formule homogénéisée obtenue au chapitre 4. En appliquant notre résultat d’homogénéisation à des structures pantographiques, nous avons obtenu des modèles homogénéisés de second gradient où les termes de premier et de second gradient sont découplés. Nous avons constaté que cette absence de couplage était due au fait que nous avions supposé que les positions des nœuds dans la cellule périodique de taille unité ne dépendaient pas de ε. En remettant en cause cette hypothèse au chapitre 7, nous avons obtenu des modèles de second gradient couplant les termes de premier et de second gradient.

Dans le chapitre 6, nous avons réalisé une étude expérimentale pour étudier la faisabilité des matériaux de second gradient. La géométrie des matériaux étudiés était basée sur des structures pantographiques. Les résultats expérimentaux sont en accord avec les résultats théoriques obtenus au chapitre 5.

Perspectives

Les résultats obtenus dans ce travail ouvrent de nombreuses et diverses perspectives. Perspectives théoriques

Nous avons montré un résultat général d’homogénéisation qui s’applique à une importante classe de structures périodiques : les structures basées sur un graphe périodique. Mais, nos hypothèses étaient faites seulement dans le cadre de l’élasticité linéaire. Une perspective im-médiate est d’étendre ce résultat dans le cadre de l’élasticité non linéaire. Jusqu’à présent, les modèles de second gradient non linéaires sont obtenus dans la littérature de façon heuristique [16,43]. Ce résultat pourra s’établir en suivant la même démarche que celle adoptée dans ce

travail. En plus, il permettra de prendre en compte dans le processus d’homogénéisation les non-linéarités qui apparaissent dans les microstructures.

Perspective numérique

Dans l’algorithme qui rend explicite la formule d’homogénéisation au chapitre 5, il reste deux points à implémenter ou à automatiser : la connectivité des structures et l’existence ou la non-existence des problèmes de "localisation" de premier et de second gradient. Il serait intéressant d’automatiser ces deux points dans le code qui calcule l’énergie homogénéisée obtenue dans ce travail.

Perspectives expérimentales

Nous avons essayé au chapitre 6 d’obtenir des preuves expérimentales des effets de second gradient pour les matériaux architecturés basés sur des structures pantographiques. Nous avons trouvé quelques résultats encourageants. Il serait intéressant dans un travail futur de chercher à optimiser les éprouvettes afin de maximiser les effets de second gradient.

Problème ouvert

La Γ-fermeture pour la classe des structures basées sur un graphe périodique est un pro-blème ouvert.