Pour débuter
4. Un exemple de simulation : une marche aléatoire
Une puce se déplace sur les arêtes d’un damier de 4 4× cases. On repère cet échiquier comme indiqué ci-dessous. La puce part du som-met (0 ; 0) et à chaque étape, elle se déplace selon la translation de vecteur i
(1 0; )ou la translation de vecteur j (0 1; ).
Autrement dit, à chaque saut, c’est soit l’abscisse, soit l’ordonnée de la puce qui augmente de 1. La puce ne peut, de plus, pas sortir du damier.
On suppose qu’à chaque saut, les 2 déplacements sont équiprobables et que la puce continue de se déplacer jusqu’à ce qu’elle atteigne le bord [AB] ou le bord [BC] du damier.
Modélisation
On note X l’abscisse de la puce et Y son ordonnée.
Quelles conditions doivent vérifier X et Y pour que la puce effectue un nou-veau saut ?
À l’aide du logiciel Algobox et d’une boucle Tant que, écrire un programme simulant cette expérience aléatoire et affichant le nombre de déplacements effectués par la puce.
Améliorer le programme précédent en utilisant les fonctions de dessin de telle sorte que le logiciel affiche le chemin parcouru par la puce.
i i j
O A
C B j
Partie I
Partiethéorique
On note D le nombre de déplacements de la puce.
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire D. Déterminer P(D = 4).
Déterminer la probabilité que la puce passe par le point de coordonnées : a) (3 ; 0) b) (2 ; 1) c) (1 ; 2) d) (0 ; 3) (on pourra s’aider d’un arbre).
a) Déterminer la loi de probabilité de D. b) En déduire E(D ).
Modélisation
La puce continue d’avancer tant que : (X < 4) et (Y < 4).
On peut implémenter l’algorithme suivant.
On peut cliquer sur l’onglet « Dessiner dans un repère ».
On peut alors implémenter le programme suivant.
Partie II
왘 Solution Partie I
Partiethéorique chemin H et chemin V ces chemins.
Les sauts de la puce sont indépendants les uns des autres, la probabilité d’une liste de résultats est donc le produit des probabilités. Pour chaque saut, les directions étant équiprobables, la probabilité que la puce suive le chemin H est : p= × × × =1 =
4 16. La probabilité que la puce suive le chemin V est aussi p. Ainsi, les événements « la puce emprunte le chemin H » et « la puce emprunte le chemin V » étant incompatibles, on a :
P D( = = + =4) p p 2 = . 16
1 8
L’ébauche d’arbre suivant nous permet de répondre à cette question.
1/2 (0;0) 1/2
Par lecture de l’arbre, la probabilité que la puce passe par le point de coordonnées
Les arbres pondérés suivant nous permettent de répondre à cette question.
(0;0)
L’événement (D = 5) est l’union des événements incompatibles « la puce passe par le point de coordonnées (4 ; 1) » et « la puce passe par le point de
L’événement (D = 6) est l’union des événements incompatibles « la puce passe par le point de coordonnées (4 ; 2) » et « la puce passe par le point de coor-données (2 ; 4) ». La probabilité que la puce passe par le point de coorcoor-données (3 ; 2) est 1
Le tableau suivant résume ce qui précède et nous donne la loi de probabilité de D.
k 4 5 6 7
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Sont-ils incompatibles ? Les événements A et C sont-ils indépendants ? Sont-ils incompatibles ? Les événements B et C sont-ils indépendants ? Sont-ils incompatibles ? Dans un univers Ω muni d’une loi de probabilité P, deux événements A et B
sont tels que P A( )=0 2 et , P B( )=0 5 On suppose que les événements , . A et B sont indépendants, calculer alors P A( ∩B) et P A( ∪B).
On considère maintenant deux événements incompatibles C et D tels que P C( )=0 3 et , P D( )=0 15 Calculer alors , . P C( ∩D) et P C( ∪D).
On lance trois dés non truqués : un dé cubique, un dé octaédrique et un dé dodé-caédrique.
Quelle est la probabilité de l’événement U « obtenir trois fois 1 » ? Quelle est la probabilité de l’événement Q « obtenir trois résultats
stricte-ment supérieurs à 4 » ?
Pour revoir la loi binomiale
Un questionnaire à choix multiples comporte dix questions.
Pour chaque question, il y a trois réponses proposées dont une seule est correcte.
Pour être reçu, il faut au moins huit réponses exactes.
Quelle est la probabilité d’être reçu pour un candidat qui répond au hasard ? On lance une pièce non truquée n fois de suite, n est un entier tel que n≥2.
a) Soit A l’événement « on obtient des résultats identiques ». Déterminer P A( ).
b) Soit B l’événement « on obtient Pile au plus une fois ». Déterminer P B( ).
Si n=2 les événements A et B sont-ils indépendants ? Et si n=3 ? Com-menter ces résultats.
Une épreuve consiste à lancer une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3.
Deux joueurs Alice et Bob sont en présence.
Pour Alice, les probabilités d’atteindre les cases 1, 2, 3 sont dans cet ordre : 1
12 1 ,3 et 7
12.
Pour Bob, les trois éventualités sont équiprobables.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Alice lance la fléchette trois fois. On admet que les résultats des trois lancers sont indépendants.
a) Quelle est la probabilité que la case 3 soit atteinte trois fois ?
b) Quelle est la probabilité que les cases 1, 2, 3 soient atteintes dans cet ordre ?
c) Quelle est la probabilité que la case 1 soit atteinte exactement une fois ? On choisit un des deux joueurs. La probabilité de choisir Alice est égale à deux
fois la probabilité de choisir Bob.
a) Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité pour que la case 3 soit atteinte ?
b) Un seul lancer a été effectué et la case 3 a été atteinte. Quelle est la proba-bilité pour que ce soit Alice qui ait lancé la fléchette ?
On répète n épreuves identiques ayant deux issues, succès ou échec, n fixé.
On appelle X le numéro du premier succès et on pose X =0 s’il n’y a aucun succès. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que
P X k k
k n
( = =) .
=
∑
= 01 Cette loi s’appelle la loi géométrique tronquée.
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16