Apesar de simulações com precisão poderem ser realizadas em softwares comerciais, no caso de motores de combustão interna, vários cenários precisam ser avaliados durante o ciclo o que representa alto custo computacional.
Uma nova metodologia híbrida (analítica com uso de FEA) será proposta para o cálculo das cargas nos mancais principais. Diferente das metodologias híbridas comentadas acima, com o uso da análise por elementos finitos não se pretende obter diretamente a deformação ou a rigidez e sim as forças de reações nos mancais para uma determinada configuração de forças nos cilindros. A ideia é aproveitar a robustez do software com base no MEF para o cálculo direto das reações nos mancais, em configurações específicas necessárias no modelo analítico. São realizadas com a FEA um número de simulações bastante reduzido (próximo à quantidade de cilindros do motor), e então essas informações são alimentadas em um modelo analítico que é capaz de estimar as cargas dos mancais para todos os estados de carregamento e rotação.
No modelo proposto não foram consideradas as deformações dos mancais, efeitos vibratórios e nem acoplamentos hidrodinâmicos por questões de simplificação e redução do tempo de simulação.
O modelo analítico para cálculo das cargas nos mancais é baseado no trabalho de Nikolic et al. (2012), onde o sistema de força é considerado estaticamente indeterminado e a influência das forças de cada cilindro em relação aos mancais é estimada.
Uma vez que as forças aplicadas sobre o virabrequim afetam todos os mancais, é necessário expressar essa influência de forma quantitativa. Para a Força 𝐹𝐶1aplicada na seção do virabrequim associada ao cilindro 1, são apresentados na Figura 56 (a) os coeficientes 𝜌1𝑗 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 + 1) associados aos mancais 𝑏𝑗(𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 + 1). Esses coeficientes, chamados de coeficientes de influência, são responsáveis pela ponderação do efeito da Força 𝐹𝐶1sobre as cargas nos mancais, dadas por 𝐹𝑏1𝑗 = 𝜌1𝑗𝐹𝐶1. De forma similar, na Figura 56 (b) são apresentados os coeficientes de influência 𝜌2𝑗 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 + 1) em relação à Força 𝐹𝐶2. Para encontrar a carga total atuante sobre um mancal 𝐹𝑏𝑗, deve-se considerar a soma do efeito das forças de todos os cilindros. De forma geral, considerando (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) onde 𝑛 representa o número de cilindros, 𝐹𝑏𝑗 é dada por:
𝐹𝑏𝑗 = ∑ 𝜌𝑖𝑗𝐹𝐶𝑖
𝑛 𝑖=1
(𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 + 1) (39)
Figura 56 – Coeficientes de influência para as forças no cilindro 1 e 2
Para que a Equação 39 seja válida, as hipóteses do princípio da superposição devem ser atendidas, ou seja, as deformações causadas por uma dada força são pequenas de tal forma que estão dentro do regime elástico e não afetam a atuação das demais forças.
A Equação 39 para as cargas de mancais também pode ser organizada de forma matricial:
𝑭𝒃 = 𝑭𝒄 𝑰𝑪 (40)
O vetor linha 𝑭𝒃 é o vetor das cargas nos mancais com tamanho 𝑛 + 1. O vetor 𝑭𝒄 é um vetor linha de tamanho 𝑛 com as forças atuantes no virabrequim para cada cilindro. A matriz 𝑰𝑪 é a matriz dos coeficientes de influência com dimensões (𝑛 𝑥 𝑛 + 1) conforme apresentado a seguir: 𝑰𝑪 = [ 𝜌11 ⋮ 𝜌𝑛1 𝜌12 ⋯ 𝜌1 𝑛+1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜌𝑛2 ⋯ 𝜌𝑛 𝑛+1] (41) Considerando que a resistência a flexão ou a deformação do virabrequim depende da direção ao qual é esforçado, foi considerado no cálculo das cargas nos mancais duas matrizes de coeficientes: uma matriz para forças radiais (𝑰𝑪𝒓) e outra para forças tangenciais (𝑰𝑪𝒕). Com uso de duas matrizes é possível considerar as diferenças geométricas nas seções transversais do virabrequim para diferentes eixos.
De forma intuitiva, em um primeiro momento, poder-se-ia pensar em utilizar a Equação 40 apenas alterando o vetor 𝑭𝒄 pelos vetores com forças radiais (𝑭𝒓) e tangenciais (𝑭𝒕), entretanto é necessário um cuidado adicional no uso dos vetores dessas forças. Como exposto na seção dos cálculos das forças nos cilindros, para um mesmo ângulo de virabrequim as forças radiais e tangenciais têm comportamento diferente a depender do cilindro. Observando novamente as Figura 53 (c) e Figura 54 pode-se notar que para o cilindro 1 a força radial é negativa e a força tangencial positiva, já para o cilindro 2 a força radial é positiva e a tangencial é negativa (considerando o estado positivo o sentido radial que aponta para fora e o tangencial positivo aquele na direção da rotação). Se aplicado a essas forças os coeficientes de influência e então soma-las (Equação de 𝐹𝑏𝑗), iria ser considerado que essas forças causam efeitos oposto sobre o mancal, entretanto isso não é verdade. Ao observar-se os sistemas equivalentes das duas situações percebe-se que sentido das forças são iguais. Para evitar que esse tipo de erro
ocorresse optou-se por aplicar os coeficientes de influência individualmente para cada cilindro, conforme as equações a seguir:
𝑭𝒃𝒓𝒊= 𝐹𝑟𝑖 𝑰𝑪𝒓𝒊,∶ (42)
𝑭𝒃𝒕𝒊 = 𝐹𝑡𝑖 𝑰𝑪𝒕𝒊,∶ (43)
Uma vez conhecida as cargas nos mancais geradas por cada cilindro, é aplicado uma rotação no sistema para que as forças sejam conhecidas nas direções verticais, 𝑭𝒃𝒚 e horizontais, 𝑭𝒃𝒙 (geralmente utilizadas no projeto de bloco de motores). Essa rotação é aplicada de forma individual para cada cilindro de acordo com o ângulo de defasagem (𝜙) no ciclo. As equações para a rotação são apresentadas a seguir:
𝑭𝒃𝒙𝒊= 𝑭𝒃𝒓𝒊∙ sen(𝛼 + 𝜙𝑖) + 𝑭𝒃𝒕𝒊∙ cos(𝛼 + 𝜙𝑖) (44) 𝑭𝒃𝒚𝒊 = 𝑭𝒃𝒓𝒊∙ cos(𝛼 + 𝜙𝑖) − 𝑭𝒃𝒕𝒊∙ sen(𝛼 + 𝜙𝑖) (45) Para um motor 4 tempos com cilindros em linha e sequência 1-3-4-2, os valores dos ângulos de defasagem 𝜙𝑖 para os cilindros, em ordem crescente, são: 0°, 540°, 180° 𝑒 360°
As cargas, agora, com uma mesma direção e sentidos compatíveis são somadas:
𝑭𝒃𝒙 = ∑ 𝑭𝒃𝒙𝒊 𝑛 𝑖=1 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) (46) 𝑭𝒃𝒚 = ∑ 𝑭𝒃𝒚𝒊 𝑛 𝑖=1 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) (47)
Os vetores 𝑭𝒃𝒙 e 𝑭𝒃𝒚 apresentados aqui, são vetores linhas com 𝑛 + 1 elementos e representam os valores das cargas horizontais e verticais, respectivamente, para os mancais principais em determinado instante de funcionamento do motor. O procedimento destacado nessa seção e na seção do cálculo das forças de pressão e inércia devem ser repetidos quantas vezes necessárias para que sejam conhecidas as cargas em todo ciclo (720°).
Uma vez conhecido o procedimento para cálculo das cargas nos mancais principais, é notória a importância das duas matrizes de coeficientes de influência radial e tangencial. A precisão com que se consegue calcular as cargas nos mancais, dependem diretamente da qualidade dessas matrizes. Na seção seguinte serão apresentados métodos já estabelecidos para o cálculo dessas matrizes e também será apresentada a metodologia proposta.
a) Cálculo dos coeficientes de influência
Em seu trabalho, Nikolic et al. (2012) considera o virabrequim um eixo de seção transversal constante em um sistema estaticamente indeterminado. Para o cálculo dos coeficientes foi utilizada a equação de Clayperon ou também chamada de equação dos três momentos (Figura 57), conforme detalhado em Timonshenko e Gere (1983).
Figura 57 – Decomposição de sistema estaticamente indeterminado em vigas simples
Fonte: Adaptado de (NIKOLIC, et al., 2012)
Outra forma, também analítica, de se encontrar os coeficientes de influência é o uso do modelo estaticamente determinado. Nesse caso a montagem da matriz é simples com apenas dois coeficientes não nulos por linha, pois cada força afeta apenas dois mancais de forma igual. Esse modelo apresenta um comportamento menos realístico.
O método que utiliza elementos de vigas para representar o virabrequim também pode ser utilizado para o cálculo da matriz 𝑰𝑪. Esse modelo leva em consideração as rigidezes das diferentes regiões do virabrequim. Uma forma simples de se considerar os elementos de viga é supor o virabrequim composto por três regiões diferentes que se repetem: eixo, braço e contrapeso, e excêntrico. Uma forma de se considerar as diferentes rigidezes é obtendo momento de inércias equivalentes para cada seção. Uma vez estabelecida as caraterísticas das seções, um sistema pode ser montado e resolvido em softwares de simples utilização como o
Ftools (MARTHA, 2002). As seções podem ser montadas de forma que representem o
virabrequim e as forças de cada cilindro devem ser aplicadas independentemente (Figura 58 (a)). Para uma força unitária, as reações encontradas após a solução do problema são os coeficientes de influência daquela força sobre os mancais (Figura 58 (b)).
Figura 58 – Determinação dos coeficientes de influência com elementos de viga.
Por fim, é proposta nesse trabalho uma metodologia com um modelo híbrido, onde o cálculo dos coeficientes é feito através de análises por elementos finitos. Nesse modelo, as forças aplicadas são relacionadas às reações encontradas e então os coeficientes de influência podem ser determinados.
Na análise por elementos finitos para determinação das matrizes de coeficientes, é utilizado um modelo estrutural estático com o virabrequim e as bronzinas (Figura 59). Como fora dito anteriormente, não foi considerado no modelo matemático e nem na simulação as deformações dos mancais, logo considerou-se as regiões internas das bronzinas como rígidas. Não foi considerado, também, o acoplamento hidrodinâmico com os mancais. Na simulação para obtenção da matriz de coeficientes das forças radiais, foi considerado apenas metade do modelo (Figura 59 (a)), e para a obtenção da matriz de coeficientes das forças tangenciais foi considerado o modelo completo (Figura 59 (b)). Optou-se pelo uso da simetria no primeiro caso para redução do tempo computacional.
Para o motor em estudo, com 4 cilindros em linha, em um primeiro instante, esperar- se-ia que fossem necessárias quatro análises para montar a matriz de coeficientes de influência. Isso porque, a influência da força de cada cilindro deve ser analisada individualmente. Entretanto, devido a aproximada simetria de carregamento dos cilindros 1 e 4 e, 2 e 3 o número é reduzido pela metade e apenas é necessário realizar duas simulações para cada matriz de coeficientes de influência. Na Figura 60 (a) e (b) são apresentados os dois casos de carregamento analisados para formação de cada matriz, respectivamente, para as forças radiais e tangenciais.
Figura 60 – Carregamentos considerados nas simulações FEA
Como as matrizes serão utilizadas para forças que variam de zero até a carga máxima, para as forças radiais e tangenciais, optou-se por aplicar forças próximas das máximas para que os efeitos sobre os mancais sejam mais evidentes. Isso desde que as deformações se mantenham no regime elástico.
Outras condições de contorno consideradas foram os contatos entre o virabrequim e os mancais sendo do tipo frictionless, que permite o afastamento das superfícies e não considera o atrito entre elas (esse contato será explicado com detalhes na seção 4.5.2).
Após a simulação são analisadas as reações em cada bronzina (Figura 61). Pelo fato das bronzinas serem bipartidas é possível identificar o sentido das forças. Essas forças são então comparadas com a carga aplicada. O coeficiente 𝜌𝑖𝑗 é a razão entre reação no mancal j e a carga aplicada no cilindro i.
Figura 61 – Reações verticais e horizontais nas superfícies fixas das bronzinas