Exemple fourni par le logiciel : apprentissage d’une primitive à une dimensionà une dimension

Cette section présente comment utiliser le logiciel afin d’apprendre une ProMP à une dimension. Cet exemple nécessite uniquement l’utilisation du dossier MatlabProgram, composé de :

— Un sous dossier nommé “Data”, où un ensemble de trajectoires permet d’apprendre des ProMPs. Ces trajectoires sont enregistrées dans des fichiers textes, contenant les informations suivantes :

- paramètres d’entrée : # e1 # e2 [...]

- paramètre d’entrée avec information temporelle : # temps # e1 # e2 [...] - programme d’enregistrement de trajectoire recordTrajectories.cpp : c.f. Section A.1.2

pour plus d’information.

— Un sous dossier nommé “used_functions”. Celui-ci contient toutes les fonctions utilisées pour récupérer les trajectoires, de calculer les ProMPs, de prédire les trajectoires, ainsi que de représenter les résultats dans des figures. L’utilisation de ce logiciel ne nécessite pas la compréhension de l’ensemble de ces fonctions.

Au début de ces fonctions, des lignes expliquent leur fonctionnement et précisent à quoi correspondent les paramètres d’entrée et de sortie.

— Des scripts Matlab dénommés “demo_*.m”. Il s’agit d’exemples basiques afin de comprendre comment utiliser ce logiciel.

Le script demo_plot1DOF.m permet de calculer une ProMP et de continuer un mouvement amorcé. La ProMP est calculée à partir d’un ensemble de trajectoires récupéré d’un fichier “.mat”, appelé traj1_1DOF.mat. Dans ce script, les variables sont d’abord définies afin de correspondre à l’ensemble des trajectoires :

46. Un script Matlab permet d’apprendre les ProMPs à partir d’ensemble de trajectoires enregistrées comme celles présentées ci-dessus. Il s’agit du scriptdemo_plotProMPs.m.

Assignation Commentaire

DataPath =

’Datatraj1_1DOF.mat’ ; ^{Peut correspondre à un fichier “.mat” ou “.txt”. Dans la}démonstration courante, vous pouvez aussi écrire DataPath = ’Data/traj1’ si vous souhaitez utiliser les fichiers textes de cet ensemble de données.

typeRecover= ’.mat’ ou .txt, selon le choix du type de fichier de données. inputName = ’z[m]’ ; Étiquette des données d’entrée des trajectoires.

Ici, z représente la coordonnée cartésienne d’axe z. s_ref=100 ; Nombre d’échantillons utilisé en tant que référence afin de ré-échantillonner l’ensemble des trajectoires pour qu’elles aient la même longueur temporelle.

nbInput = 1 ; Dimension du vecteur paramètre contenant les mesures des trajectoires.

M = 5 ; Nombre des fonctions de base radiale par donnée d’entrée.

expNoise = 0.00001 ; Estimation de l’erreur des mesures due aux capteurs. percentData = 20 ; Pourcentage des données observées avant la prédiction. Dans ces variables, il y a :

— DataPath est le chemin d’accès menant aux données enregistrées. Si les données sont enregistrées dans des fichiers textes, cette variable contient le nom du dossier où les fichiers textes sont enregistrés. Ces fichiers textes sont appelés “recordX.txt”, avec X ∈ [0 : n − 1] si ils sont n trajectoires. Un dossier est utilisé pour apprendre une ProMP. Si les données sont déjà contenues dans un fichier “.mat”, le chemin d’accès total doit être inscrit, avec l’extension. Les données dans le fichier “.mat” coïncident avec les données de sortie de la fonction MatlabloadTrajectory.

— nbInput= D correspond à la dimension du vecteur d’entrée ξt.

— expNoise = Σ^o_ξ correspond au bruit estimé des mesures de la trajectoire initiée. Plus cette variable est petite, plus la modification de la ProMP va être importante, afin de correspondre plus précisément aux observations.

Le script va maintenant être détaillé. Afin de récupérer les données enregistrées dans le fichier “.txt”, la fonction suivante est appelée :

t{1} = loadTrajectory(PATH, nameT, varargin)

Ces paramètres d’entrée précisent le chemin d’accès des données enregistrées, ainsi que l’étiquette représentant le type de trajectoire. D’autres informations peuvent être ajoutées, à l’aide de la variable varargin (c.f. , informations commentées en tête de cette fonction). Les paramètres de sortie de cette fonction correspondent à un objet contenant toutes les informations des trajectoires de démonstrations. Ces paramètres sont le nombre de trajectoires : nbTraj; le nombre d’itérations représentant les trajectoires :realTime; l’ensemble des vecteurs (et matrices) représentant les : y(etyMat) ; etc.. Ainsi, t{1}.y{i}contient la ie trajectoire.

La fonction Matlab drawRecoverData(t{1}, inputName,'namFig', nFig, varargin)

permet d’afficher sur une figure (numérotée nFig) les mesures des trajectoires récupérées. Un exemple est montré dans la Figure 3.1, sur la gauche. Les différentes durées de trajectoires y sont visibles : en moyenne, cette durée est de 1.17 ± 0.42 secondes.

De cet ensemble de trajectoires de démonstration t{1}, un sous ensemble permet d’effectuer l’apprentissage des ProMPs et un autre afin d’effectuer des tests sur ces ProMPs. Pour cela, la fonction suivante est appelée :

sipartitionType= 1, seulement une trajectoire est utilisée pour les tests, et sipartitionType> 1, cette variable correspond alors au pourcentage de trajectoires qui sera inclus dans le sous-ensemble utilisé pour l’apprentissage.

La ProMP est alors calculée à partir de ce sous-ensemble de trajectoires d’apprentissage, à l’aide de la fonction : promp = computeDistribution(train, M, s_ref,c,h)

Le paramètre de sortie promp est un objet qui contient l’ensemble des informations de la ProMP. Les trois premiers paramètres d’entrée ont déjà été présentés lors de l’explication des fonctions précédentes :trainest l’ensemble des trajectoires d’apprentissage ; Mest le nombre de RBFs;s_ref est le nombre d’échantillons utilisés pour ré-échantillonner toutes les trajectoires. Les deux derniers paramètrescet hdonnent la forme des RBFs utilisés dans la modélisation des ProMPs :c∈ RM est le centre des Gaussiennes et h∈ R leur variance.

Afin de visualiser cette ProMP, comme montre dans la Figure 3.1, la fonction suivante est appelée :drawDistribution(promp, inputName,s_ref)Afin de permettre le débogage ainsi que de comprendre comment régler les paramètres des ProMPs, il est intéressant de représenter dans un graphique les fonctions de base radiale en fonction du temps. En effet, choisir le bon nombre de fonctions de base radiale est important puisque, lorsqu’elles ne sont pas assez, les trajectoires ne peuvent pas être bien approximées et lorsqu’elles sont trop nombreuses, cela peut provoquer des problèmes de surapprentissage. Pour représenter ces fonctions dans un graphique, la fonction suivante peut être appelée :

drawBasisFunction(promp.PHI,M)

où promp.PHI est un ensemble de RBFs évaluées dans la plage temporelle normalisée : t ∈ [1 : ¯s].

La Figure 3.2 représente en haut les fonctions de base radiale avant la normalisation, et en bas la ProMP dont la modélisation se base sur ces fonctions.

Après que la ProMP soit apprise, le robot est capable de reproduire le mouvement en utilisant la moyenne de la distribution. De plus, il peut aussi reconnaître le mouvement qui a été initié dans cette distribution, et prédire comment le finaliser. Dans ce but, à partir de no observations initiales d’un mouvement, le robot met à jour la distribution a priori afin qu’elle passe par les mesures observées. Pour cela, en utilisant le conditionnement, il trouve la distribution a posteriori, qui peut être utilisée par le robot afin d’exécuter la continuation du mouvement par lui même.

La première étape pour prédire l’évolution de la trajectoire est d’inférer la durée de cette trajectoire, qui est encodée par le paramètre de modulation du temps ˆα. Le calcul de cette inférence, détaillé dans la Section 3.3.4, peut être effectué à l’aide de la fonction :

[expAlpha,type,x]=inferenceAlpha(promp,test{1},M,s_ref,c,h,test{1}.nbData, ... expNoise, typeReco)

oùtypeRecoest le critère utilisé afin d’estimer le paramètre de modulation du temps (’MO’, ’DI’ ou ’ML’ pour “modélisation”, “distance” ou “maximum de vraisemblance”) ; expAlpha= ˆα

l’estimation du paramètre de modulation ;type(noté k dans cette thèse) l’indice de la ProMP à partir de laquelleexpAlphaa été calculée.

Afin de prédire l’évolution de la trajectoire, on utilise l’Équation 3.6 de la Section 3.3.3. Dans Matlab, ce calcul est effectué au sein de la fonction :

infTraj = inference(promp, test{1}, M, s_ref, c, h, test{1}.nbData, expNoise, ... expAlpha)

oùtest{1}.nbDataest calculé durant l’étape partitionTrajectory. Cette variable repré-sente le nombre no d’observations, calculée à partir du pourcentage percentDatade données de la trajectoire test observées par le robot.infTraj= ˆΞ correspond à la trajectoire prédite. Finalement, la trajectoire prédite est représentée à l’aide de la fonction

drawInference(promp,inputName,infTraj, test1,s_ref).

La qualité de la trajectoire prédite en fonction du nombre d’observations est représentée dans la Figure 3.3.

Cette figure met en avant que, lorsqu’une partie importante de la trajectoire est observée, la prédiction de la continuation du mouvement est plus précise.

Après cette étape de prédiction, nous proposons de mesurer la qualité de ces prédictions. Soit Ξ∗ = [ξ^o(1), . . . , ξ^o(n_o), ξ^∗(n_o+ 1), . . . , ξ^∗(t^∗_f)] la trajectoire réelle, espérée par l’utilisateur (ou vérité terrain). Afin de mesurer la qualité de la prédiction, plusieurs mesures peuvent être

utilisées :

— La vraisemblance d’avoir une trajectoire Ξ∗ sachant la distribution a posteriori p(ˆω). — La distance entre la trajectoire désirée Ξ∗ et la trajectoire prédite ˆΞ.

Cependant, suivant la mesuretypeRecoutilisée pour l’estimation du paramètre de modulation du temps α (estimation faite à partir des données initiales observées), un écart visible peut avoir lieu entre la trajectoire prédite et la trajectoire réelle, et ce, même lorsque beaucoup de données sont observées. Cet écart est provoqué par l’erreur d’estimation du paramètre de modulation du temps. C’est pourquoi, dans la Section 3.3.4, différentes méthodes seront présentées afin de permettre de prédire la durée de la trajectoire à continuer. Ces méthodes sélectionnent le paramètre ˆα le plus probable selon différents critères : distance ; maximum de vraisemblance ; modélisation de la variable α47; et la moyenne des paramètres α observés lors de la phase d’apprentissage.

La Figure 3.5 représente les différentes trajectoires prédites après l’observation de no= 40%de la trajectoire désirée, en fonction de la méthode utilisée pour estimer le paramètre de modulation du temps.