Graphes implicatifs selon la mesure M GK
6.4 Présentation de l’algorithme
6.4.2 Exemple d’exécution de l’algorithme 25
Considérons un exemple fictif (tableau6.2) d’un ensemble des règles valides selon MGK. D0.15→ F B 0.25→ E D0.20→ E E0.10→ G F 0.20→ G A0.15→ B
B 0.10→ D D0.30→ G C 0.20→ F A0.20→ C C 0.15→ D
Tableau 6.2– Ensemble fictif des règles valides selonMGK
Sa matrice d’adjacence est représentée dans le tableau6.3 ci-après.
A B C D E F G
A 0 1 1 0 0 0 0
B 0 0 0 1 1 0 0
C 0 0 0 1 0 1 0
D 0 0 0 0 1 1 1
E 0 0 0 0 0 0 1
F 0 0 0 0 0 0 1
G 0 0 0 0 0 0 0
Tableau 6.3– Matrice d’adjacence des données
Tout d’abord, notons par S l’ensemble des sommets définitivement marqués, par p(.) le prédécesseur du sommet marqué, par trait "−" le prédécesseur non encore connu.
A l’étape 0,Sne contient qu’un sommet sourceAqui est un sommet de degré entrant nul (cf. tableau6.3). Partant deA, ses successeurs immédiats sontBetC(cf. tableau6.3), ce qui donne, d’après la définition 54, dAB =MGK(A→B) = 0.15 et dAC =MGK(A→ C) = 0.2.
Comme D, E, F et G ne sont pas voisins de A, ils gardent encore leurs satuts. Dans les tableaux qui suivent, sans nuire à la compréhension du lecteur, notons tout simplement par dζ la distance entre un sommet nouvellement inscrit et son successeur ζ.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
Tableau 6.4– Résultat de l’étape 0
A l’étape 1, on voit d’après ce résultat quedAB est minimale, ce qui permet d’intégrer B dans S et de mettre à jour A en y ajoutant l’arêteAB. Partant deB nouvellement intégré, ses voisins immédiats (cf. tableau 6.3) sont D et E, ce qui donne :
dBD=min{dBD, dAB+MGK(B →D)}=min{+∞,0.15 + 0.10}= 0.25 dBE =min{dBE, dAB +MGK(B →E)}=min{+∞,0.15 + 0.25}= 0.40
F etG ne sont pas voisins (cf. tableau 6.3), ils conservent encore leurs satuts.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
Tableau 6.5– Résultat de l’étape 1
A l’étape 2, on voit d’après ce résultat que dAC = 0.2 est minimale, ce qui permet d’intégrer C dans S et de mettre à jour A en y ajoutant l’arête AC. Partant de C ainsi intégré, on voit que D et F sont successeurs immédiats, ce qui donne donc :
dCD=min{dCD, dAC+MGK(C→D)}=min{0.25,0.20 + 0.15}= 0.25 dCF =min{dCF, dAC+MGK(C→F)}=min{+∞,0.20 + 0.20}= 0.40.
Le sommet G n’est pas successeur immédiat (cf. tableau 6.3), il garde encore son statut.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
S∪ {C} A ∪ {AC} 0.25,B(C) 0.40,B 0.40,C +∞,−
Tableau 6.6– Résultat de l’étape 2
A l’étape 3, on trouve d’après ce résultat que dCD = 0.25 est minimale, ce qui permet d’intégrer D dans S et de mettre à jour A en y ajoutant l’arête CD. Partant de D nouvel-lement inscrit, ses successeurs immédiats (cf. matrice d’adjacence du tableau 6.3) sont E, F et G, ce qui nous donne :
dDE =min{dDE, dBD+MGK(D→E)}=min{0.40,0.25 + 0.30}= 0.40 dDF =min{dDF, dBD+MGK(D→F)}=min{0.40,0.25 + 0.30}= 0.40 dDG =min{dDG, dBD+MGK(D→G)}=min{∞,0.25 + 0.30}= 0.55.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
S∪ {C} A ∪ {AC} 0.25,B(C) 0.40,B 0.40,C +∞,−
S∪ {D} A ∪ {CD} 0.40,B(D) 0.40,C(D) 0.55,D
Tableau 6.7– Résultat de l’étape 3
A l’étape 4, on voit d’après ce résultat que dDE = dDF = 0.4, qui est minimale, ce qui permet d’intégrer E ou F dans S, mais nous choisissons arbitrairement E. Puis, nous mettons à jour alors A en y intégrant l’arête DE. Partant de E ainsi passé, on trouve que G est son seul successeur (cf. matrice d’adjacence du tableau 6.3), ce qui donne :
dEG=min{dEG, dDE+MGK(E→G)}=min{0.55,0.40 + 0.10}= 0.50
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
S∪ {C} A ∪ {AC} 0.25,B(C) 0.40,B 0.40,C +∞,−
S∪ {D} A ∪ {CD} 0.40,B(D) 0.40,C(D) 0.55,D
S∪ {E} A ∪ {DE} 0.40,C(D) 0.50,E
Tableau 6.8– Résultat de l’étape 4
A l’étape 5, on s’ensuit que dDF = 0.4 est minimale, ce qui permet d’intégrerF dans S.
Puis, nous mettons à jour A en y ajoutant l’arête EF. De F ainsi inscrit, son successeur immédiat est G(cf. tableau 6.3), ce qui donne :
dF G=min{dF G, dDF +MGK(F→G)}=min{0.50,0.40 + 0.20}= 0.50.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
S∪ {C} A ∪ {AC} 0.25,B(C) 0.40,B 0.40,C +∞,−
S∪ {D} A ∪ {CD} 0.40,B(D) 0.40,C(D) 0.55,D
S∪ {E} A ∪ {DE} 0.40,C(D) 0.50,E
S∪ {F} A ∪ {F G} 0.50,E(F)
Tableau 6.9– Résultat de l’étape 5
A l’étape 6, le minimum entre 0.5 et 0.5 est évidemment 0.5 = dF G, ce qui permet d’intégrerGdansS, et de mettre à jourAen y ajoutant l’arête F G. PuisqueGest puits (cf.
tableau 6.3), donc il n’y a plus de chemins depuis G. Les traitements s’arrètent alors pour G, c’est la fin de l’algorithme.
S A dBp(B) dCp(C) dDp(D) dEp(E) dFp(F) dGp(G)
{A} ∅ 0.15,A 0.20,A +∞,− +∞,− +∞,− +∞,−
S∪ {B} A ∪ {AB} 0.20,A 0.25,B 0.40,B +∞,− +∞,−
S∪ {C} A ∪ {AC} 0.25,B(C) 0.40,B 0.40,C +∞,−
S∪ {D} A ∪ {CD} 0.40,B(D) 0.40,C(D) 0.55,D
S∪ {E} A ∪ {DE} 0.40,C(D) 0.50,E
S∪ {F} A ∪ {EG} 0.50,E(F)
S∪ {G} A ∪ {F G} 0.50,E(F)
Tableau 6.10 –Résultat de l’étape 6
6.5 Evaluation expérimentale
L’objectif de cette section est d’évaluer la faisabilité de notre approche et son compor-tement. Dans ce cas, nous étudions l’efficacité de notre algorithme en nous intéressant au temps d’exécution.
Protocole expérimental Nous avons implémenté notre algorithme 25 en R, et nous l’avons testé avec les mêmes bases de données que nous avons utilisées dans le chapitre 5 précédent, telles que Adult,German,Income etIris, issues de l’UCI Machine Learning Re-pository1. A titre de rappels, la baseAdultest composée de 48842 objets et de 115 attributs.
La baseGermanest composée de 1000 objets et de 71 attributs. La baseIncomeest composée de 6876 objets et de 50 attributs, et la base Iris est composée de 150 et de 15 attributs.
Par ailleurs, toutes les expériences ont été réalisées sur un PC de 4 Go de RAM tournant sous système Windows.
1. URL http ://www.ics.uci.edu/MLRepository.html
Temps d’exécution Le tableau 6.11 rapporte les résultats expérimentaux (nombre de sommets et d’arêtes, et temps d’exécution) de notre modèle, à un risque d’erreur α ∈ [0,1]
fixé. Pour chacune des bases de données, la colonne |S| correspond au nombre total des sommets, la colonne |A| représente le nombre total d’arêtes orientées du graphe construit, et la colonne cpu indique le temps total de réponse.
Bases de données de tests
Adult German Income Iris
ηα |S| |A| cpu |S| |A| cpu |S| |A| cpu |S| |A| cpu
75% 2523 25400 27 1454 17323 20 102 1200 11 97 1125 10
80% 1642 18925 25 1125 15392 14 96 1005 8 85 1019 7
85% 1533 18800 18 985 11185 12 75 650 6 68 684 5
90% 951 8376 15 95 984 10 61 576 5 56 584 4
95% 275 1298 4 25 70 3 45 299 2 45 382 2
Tableau 6.11– Résultats expérimentaux en fonction du seuilηα
Nous constatons que pour chacune des bases de données, le temps mis pour proposer cet ensembles de graphes diminuent au fur et à mesure que le seuil ηα augmente, et n’excèdent pas 30 secondes même si à un ensemble à plusieurs chemins (plus de 2500 sommets et 25000 arêtes). Par ailleurs, pour les jeux de donnéesAdult etGerman, l’algorithme donne de temps de réponse assez supérieurs. Ces performances peuvent être expliquées par le fait que ces deux contextes sont relativement denses, contiennent en effet un grand nombre de sommets et d’arêtes, donc de plusieurs chemins implicatifs à parcourir. Ceci complique la tâche de l’algorithme pour la génération. Pour les jeux de donnéesIncomeetIris, l’algorithme, pour tous les seuils, restitue des meilleurs temps de réponse. Autrement dit, le temps de réponse obtenus avec Income et Iris sont nettement inférieurs à ceux obtenus avec les deux autres bases. Cela peut être expliqué par le fait que ces deux bases sont moins corrélées, ce qui rend facile la tâche de l’algorithme pour l’élaboration.
De manière plus générale, les expérimentations montrent la faisabilité de notre approche en terme de construction de graphes implicatifs.
6.6 Conclusion partielle et perspectives
Jusqu’à présent, le graphe implicatif de Gras [Gra79] est le seul graphe utilisé dans la communauté de l’ASI, reposant sur l’indice intensité d’implication, basé sur une approxi-mation gaussienne. Or, cette approche est assez critiquable : l’indice utilisé a tendance à ne plus être discriminant en présence de données denses, ce qui n’est donc pas à l’abri de perte d’information. De plus, seules les règles positives sont étudiées, les règles négatives ne sont pas intégrées, ce qui ne suffit donc pas pour garantir la qualité des résultats obtenus. Afin d’y remédier, nous avons proposé un nouveau modèle intégrant à la fois les règles positives et négatives à l’aide de l’autre mesure plus sélective,MGK. Les expérimentations menées sur quelques bases de données de référence montrent la faisabilité notable de ce modèle.
Toutefois, notre modèle pose quelques limites. Nous n’avons pas pu la comparer à des travaux existants. Des études comparatives à d’autres travaux représentatifs seraient donc une piste envisagée. Nous souhaitons aussi poursuivre notre approche en nous penchant sur la représentation concise en graphe les règles d’association négatives.