Les équations de Navier-Stokes sont résolubles analytiquement pour certains pro-blèmes simples de dynamique des fluides tels que les écoulement de Couette et de Poiseuille. Nous donnons ici comme exemple la solution de l’écoulement de Poiseuille qui est souvent utilisée pour valider les modèles de calcul dynamique des fluides. Il s’agit de l’écoulement permanent d’un fluide dans un tube uniforme à faible nombre de Reynolds de sorte qu’il est considéré en régime laminaire. Il peut être causé par un gradient de pression ou une force de volume.
Pour simplifier, nous nous intéressons à l’écoulement de Poiseuille plan qui se pro-duit entre deux plaques planes parallèles et fixes (voir Fig. 2.1), c’est un cas d’écoule-ment 2D, c’est à direuz≡0et ∂u∂zα ≡0pour α=x,y ou z. L’écoulement est entraîné
2. Les conditions aux limites sont semblables si leurs valeurs adimensionnées sont égales.
Chapitre 2. Notions essentielles de dynamique des fluides 33
Ecoulement
h X
Y
Figure 2.1 – Ecoulement de Poiseuille plan par un gradient de pression dans la direction#xsoit ∂p∂x .
En raison du caractère laminaire de l’écoulement, la vitesse normale à la direction d’écoulement est aussi nulle (uy = 0). De plus, du fait que l’écoulement est stationnaire et que la section du canal est uniforme (plans parallèles) alors ∂u∂tx = 0et ∂u∂xx = 0|3. Dans ce cas le terme relatif aux forces d’inertie dans l’équation de Navier-Stokes (Eq.
2.7) disparaît et l’équation gouvernant l’écoulement est appeléeéquation de Stokes, elle s’écrit dans la direction #x :
µ∂2ux
∂y2 = ∂p
∂x (2.10)
C’est une équation à variables séparées dont l’intégration donne la pressionp(x) et la vitesseux(y):
p(x) =Kx+p0 (a) ux(y) = 2µKy2+Ay+B (b)
(2.11)
où K = ∂p∂x et p0 est la pression à l’entrée du canal. Les constantes A et B sont à déterminer à partir des conditions de non-glissement du fluide sur les parois solides.
Ce sont des conditions couramment utilisées pour des problèmes d’écoulements lami-naires4. Les parois solides du présent problème sont fixes, ces conditions s’expriment alors sous la forme ux(−h2) =ux(h2) = 0, et les constantes qui en résultent sontA= 0
3. Cette équation résulte de l’équation de continuité d’un fluide incompressible en posant ∂u∂yy =
∂uz
∂z = 0
4. Il est admis que le frottement fluide-solide est plus grand que le frottement fluide-fluide donc les particules du fluide en contact direct avec un solide adhèrent à celui-ci et le mouvement du fluide résulte du glissement des particules du fluide les unes sur les autres.
Chapitre 2. Notions essentielles de dynamique des fluides 34
L’expression dep(x) (Eq. 2.11a) montre que la pression varie linéairement le long du canal et l’expression de ux (Eq. 2.12) montre que la variation de la vitesse est parabolique dont le maximum est au centre (y= 0) (voir Fig. 2.2). Le signe "−" dans l’expression de la vitesse indique que l’écoulement se produit dans la direction inverse à la direction du gradient de pression ∂p∂x.
Pour un écoulement dans un canal de longueur L produit par une différence de pression ∆p=pL−p0, l’expression de la vitesse est alors :
et la vitesse maximale est :
uxmax =ux(y= 0) =− 1 8µ
∆p
L h2 (2.14)
L’écoulement de Poiseuille peut être entraîner par une force de volume telle qu’une accélération dans la direction x soit ax. Dans ce cas le gradient de pression équivalent est ∂x∂p =−ρax|5. Par conséquence, l’expression de la vitesse d’écoulement devient :
ux(y) = ρax
5. Cette équivalence s’établit en égalisant la force motrice produite par le gradient de pression sur un élément volumique de sectionAs et de longueurdx soit`
−∂x∂pdxAs´
à la force de volume (due à l’accélérationax) agissante sur le même élémentρaxdxAs.
Chapitre 2. Notions essentielles de dynamique des fluides 35
X Y
ux h
x p(x)
p0
L pente =
dp dx
L
Figure 2.2 – Profils de vitesse et de pression pour l’écoulement de Poiseuille plan
Chapitre 3
Méthode Lattice-Boltzmann pour la dynamique des fluides
Sommaire
3.1 Introduction . . . 37 3.2 Fonction de distribution et équation de base . . . 37 3.3 Discrétisation de l’équation BGK . . . 39 3.4 Exemples de modèles Lattice-Boltzmann . . . 41 3.4.1 Modèle bidimensionnel "D2Q9" . . . . 41 3.4.2 Modèle tridimensionnel "D3Q19" . . . . 42 3.5 Algorithme de calcul . . . 44 3.6 Prise en compte de l’effet d’une force de volume . . . 45 3.7 Paramètres de discrétisation . . . 45 3.8 Conditions aux frontières. . . 47 3.8.1 Condition de frontières périodiques . . . . 47 3.8.2 Condition de non-glissement sur une frontière solide, condition du
"Bounce Back" . . . . 47 3.8.3 Condition de pression ou de vitesse imposée . . . . 49 3.9 Force hydrodynamique sur un obstacle solide, méthode des
échanges de quantités de mouvement . . . 52 3.10 Unités Lattice boltzmann . . . 54 3.11 Application à l’écoulement de Poiseuille . . . 54
Chapitre 3. Méthode Lattice-Boltzmann pour la dynamique des fluides 37
3.1 Introduction
La méthode Lattice-Boltzmann ou méthode de Boltzmann sur réseau a émergé comme un outil puissant de simulation en dynamique des fluides. Cette méthode est basée sur le concept de modélisation du fluide par des particules mésoscopiques se déplaçant à l’intérieur d’un réseau (une grille) fixe. C’est un concept originalement adopté en simulation de dynamique des gaz par des automates cellulaires (Lattice Gas Automata). Du point de vue formulation, la méthode peut être vue comme une discré-tisation spéciale en différences finies de l’équation de la cinétique des gaz de Boltzmann.
Une telle discrétisation est choisie de sorte à conserver la dynamique macroscopique du système, notamment la satisfaction des équations de Navier-Stokes.
La méthode a connu un succès considérable pour :
• sa capacité à modéliser différentes situations d’écoulements y compris les pro-blèmes de géométries complexes et les écoulements polyphasiques.
• sa capacité à s’accommoder avec différentes conditions aux limites.
• sa facilité de mise en œuvre en raison de la simplicité de son algorithme de calcul.
Ce chapitre donne une brève présentation de la méthode Lattice-Boltzmann, notam-ment la discrétisation de l’équation de Boltzmann, l’algorithme de calcul, les conditions aux frontières ainsi que d’autres aspects relatifs à la mise en oeuvre de la méthode sont discutés. A la fin du chapitre, une application de la méthode à la simulation de l’écou-lement de Poiseuille est présentée.