Exemple d’estimation avec des mouvements linéaires multi-

Bien que la convergence de l’estimateur pour toute valeur de p n’a pas été véri- fiée pour les mouvements linéaires multifractionnaires multistables, ces processus vérifient les conditions du Théorème 4.2.1 lorsque h − 1

α est une fonction positive

(voir Section 6.1 de [LG13]) où α est la fonction d’intensité et h est la fonction de localisation de ce processus. Pour de tels processus, on a ainsi, pour 0 < p < α(t0),

b

αN,p,θ(t0) proba

−−−→

N →∞ α(t0).

Comme h est à valeurs dans ]0, 1[, pour ces processus α à valeurs dans ]1, 2[. On prend donc p < 1 pour l’estimation de la fonction d’intensité des mouvements linéaires multifractionnaires multistables considérés.

Les mouvements linéaires multifractionnaires multistables sont des processus difficiles à étudier car ils sont paramétrés par deux fonctions. Cependant, on constate dans les Figures 4.4 et 4.5 que la fonction d’intensité est bien estimée et ceci pour différentes formes pour α et h.

Nous n’avons pas étudié la fonction de localisation dans nos travaux. Cepen- dant, il est possible de l’estimer à partir des log-moments du processus sur une fenêtre d’observation (voir [LG13]).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 t (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 t (b) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 (c) α(t) = 1.41 + 0.57t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 (d) α(t) = 1.695 + 0.235 sin(2πt) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 (e) h(t) = 0.725 + 0.175 sin(2πt) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 (f) h(t) = 0.725 − 0.175 sin(2πt)

FIGURE 4.4 – Trajectoires de mouvements linéaires multifractionnaires multistables sur [0, 1] avec N = 32168 points et n(N ) = 3000 pour l’estimation de α. La première ligne représente des réalisations de mouvements linéaires multifractionnaires multistables avec la fonction d’intensité α (en rouge) correspondante et son estimationαbN (en noir) dans la

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 t (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 t (b) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 (c) α(t) = 1.695 + 0.235 sin(2πt) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 (d) α(t) = 1.41 +_{1+exp(20−40t)}0.47 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 (e) h(t) = 0.59 + 0.31t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 (f) h(t) = 0.9 − 0.35t

FIGURE 4.5 – Trajectoires de mouvements linéaires multifractionnaires multistables sur [0, 1] avec N = 32168 points et n(N ) = 3000 pour l’estimation de α. La première ligne représente des réalisations de mouvements linéaires multifractionnaires multistables avec la fonction d’intensité α (en rouge) correspondante et son estimationαbN (en noir) dans la

II

Échantillonnage de processus

stationnaires du second ordre

5

Échantillonnage aléatoire de

processus stationnaires à temps

continu

Sommaire

5.1 Introduction . . . 134 5.2 Résultats généraux dans le domaine temporel . . . 136 5.2.1 Loi du processus échantillonné . . . 136 5.2.2 Mémoire du processus échantillonné . . . 139 5.3 Processus à longue mémoire . . . 142 5.3.1 Préservation du paramètre du mémoire lorsque E[T1] < ∞ . . 142

Normalité asymptotique du processus des sommes partielles . . 145 Résultats statistiques dans le cas de la longue mémoire . . . 148 5.3.2 Perte de mémoire lorsque E[T1] = ∞ . . . 152

5.4 Comparaison entre le sous échantillonnage et l’agrégation temporelle154 5.5 Annexe . . . 160

5.1

Introduction

Les séries temporelles à longue dépendance ont diverses applications dans de nombreux domaines, notamment l’hydrologie, l’économie et les télécommunica- tions (voir [Ber+13] chap. 2). La plupart des articles sur ce sujet considèrent les processus à temps discret. Cependant, certains modèles et méthodes d’estimation ont été étendus aux processus en temps continu (voir [TC05a], [Via+94], [CR96], [Com96]).

Dans [TC05a], Tsai et Chan ont introduit le modèle des processus à temps continu CARFIMA(p,H,q) (autorégressifs, moyenne mobile, fractionnairement in- tégrés). Sous la condition de forte dépendance H ∈]1/2, 1[, ils donnent la fonction d’autocovariance du processus CARFIMA qui est stationnaire. Ces propriétés sont étendues au cas H ∈]0, 1[ dans [Tsa09]. Dans [Via+94], des processus ARMA fractionnaire et à temps continu sont construits. Sous certaines conditions, ces processus sont gaussiens stationnaires et centrés. De plus, Viano et al donnent des résultats sur la fonction d’autocovariance et précisent la dépendance asymptotique de ces processus. Dans [CR96], Comte et Renault présentent une famille de mo- dèles à longue mémoire : le processus fractionnaire à moyenne mobile en temps continu.

L’inférence statistique pour les processus en temps continu est généralement construite à partir d’un processus échantillonné. Dans [TC05a], la méthode d’es- timation est basée sur l’estimation par maximum de vraisemblance pour des don- nées de séries temporelles à espacement déterministe irrégulier.

Nous nous intéressons aux données irrégulièrement espacées lorsque les inter- valles d’échantillonnage sont des variables aléatoires positives indépendantes et de même loi. À la vue des résultats en temps discret, l’échantillonnage aléatoire a un effet sur la structure de dépendance du processus. En effet, [PV10] montrent que l’intensité de la longue mémoire est préservée lorsque la loi des intervalles d’échantillonnage est L1_{, mais ils montrent aussi des situations menant à une ré-}

duction de la mémoire.

Dans ce chapitre, X = (Xt)t∈R+ est un processus stationnaire du second ordre

à temps continu de fonction d’autocovariance σX(.) et (Tn)n≥0 est une marche

supposés i.i.d de densité commune s à support sur R+_{. L’origine des observations}

est fixée à l’origine des temps : T0 = 0. Sans perte de généralités, X est supposé

être un processus centré.

Nous adoptons la définition la plus courante de la longue mémoire. A savoir, pour un processus stationnaire U ayant une fonction de covariance σU

Z

R+

|σU(x)| dx = ∞ dans le cas à temps continu, X

h≥0

|σU(h)| = ∞ dans le cas à temps discret.

Deux méthodes d’échantillonnage, toutes deux basées sur la marche aléatoire (Tn)n≥0, sont examinées ci-après.

Les sections 5.2 et 5.3 sont consacrées à l’étude des processus échantillonnés à des moments aléatoires. Plus précisément, nous considérons le processus en temps discret Y défini par

Yn= XTn, n = 0, 1 . . . . (5.1.1) Dans la section 5.2, nous étudions le comportement du processus échantillonné dans le cas général. Nous prouvons que dans le cas d’un processus initial gaussien, l’échantillonné Y n’est pas gaussien, et que sous des conditions assez faibles sur la covariance σX, échantillonner un processus à courte mémoire X produit tou-

jours une courte mémoire pour Y, et que lorsque la loi d’échantillonnage satisfait E[T1] < ∞ le processus échantillonné Y possède une longue mémoire si c’est le

cas pour X.

Dans la section 5.3, nous présentons la situation plus spécifique d’une cova- riance à variation régulière pour laquelle la préservation ou la non-préservation de la mémoire peut être quantifiée. En particulier, nous prouvons qu’une loi d’échan- tillonnage à queue lourde peut transformer un processus à longue mémoire X en un processus à courte mémoire Y.

La section 5.4 se tourne vers un schéma d’agrégation temporelle. Le processus échantillonné en temps discret Z est obtenu en agrégeant le processus X sur les intervalles définis par la marche aléatoire

Zh = Z Th+1

Th

Xt dt.

sont similaires à ceux obtenus dans les sections précédentes.