On considère le groupe
BS(2,4) =ha, c| ca2c−1 =a4i
ainsi que les automorphismes suivants (gurant dans [Cla09] parmi des générateurs du groupe des automorphismes de BS(2,4))
Ψ : BS(2,4) −→ BS(2,4)
a 7−→ a
c 7−→ ca et, pour tout k∈N∗,
Φk : BS(2,4) −→ BS(2,4)
a 7−→ a
c 7−→ c−k+1a2ck. On note ϕl'automorphisme suivant
ϕ= Φ1Ψ2Φ3Ψ : BS(2,4) −→ BS(2,4)
a 7−→ a
c 7−→ a−2c−1a−4c−1a2ca4ca4ca3.
On associe à cet automorphisme l'application F entre les arbres T ∈ D2,4 etT ·Φ dont le graphe de groupes étiqueté est le suivant (les graphes de groupes pour T etT ·Φsont les mêmes)
hai 2 4
e
Pour toute arêtee, E représente l'arête ayant l'orientation inverse dee.
F : T −→ T ·Φ
e 7−→ a−2c−1(E·a−4c−1(E·a2(e·ca4(e·ca4e)))))
On plie le tournant illégal entreE eta2·E et pour ce faire on subdivise een deux arêtese0 ete1de sorte queo(e0) = o(e)ett(e1) = t(e)et on identieE1 aveca2·E1
ainsi on obtient un arbre notéT0 ∈ D2,4 dont le graphe étiqueté est le suivant
5.3. UN EXEMPLE D'APPLICATION TRAIN TRACK 119 hai
2 2
1 2
e0 e1
On modieF en fonction de cette identication et ainsi on obtient une application F0 : T0 −→ T0·Φ
e0 7−→ a−2c−1(E1·E0·a−4c−1(E1·a2(e1·ca4(e0·e1·ce0)))) e1 7−→ a−2c−1a−4c−1a2ca4ca4e1.
On liste maintenant quelles sont les diérentes orbites de tournants aux deux points de branchement an d'identier quels sont les éventuels tournants illégaux.
Au sommet o(e0), il a y 4 arêtes e0, ae0, c−1E1 et ac−1E1 qui forment 6 tournants qui sont dans 4orbites de tournants :
{e0, ae0} dont l'image par F0 est le tournant {a−2c−1E1, a−1c−1E1} qui est dans l'orbite de {c−1E1, ac−1E1}.
{c−1·E1, ac−1·E1}dont l'image parF0est le tournant{a−3c−1E1, a−2c−1E1} qui est dans l'orbite de {c−1E1, ac−1E1}.
{e0, c−1E1} dont l'image par F0 est le tournant {a−2c−1E1, a−3c−1E1} qui est dans l'orbite de {c−1E1, ac−1E1}.
{ae0, c−1E1} dont l'image par F0 est le tournant {a−1c−1E1, a−3c−1E1} qui est donc illégal mais ni F0(e0)ni F0(e1)ne traverse ce tournant.
Au sommet t(e0), il a y 3arêtes E0, e1 eta2e1 qui forment 3 tournants qui sont dans 2orbites de tournants :
{E0, e1} dont l'image par F0 est le tournant
{a−2c−1a−4c−1a2ca4cE0, a−2c−1a−4c−1a2ca4ca4e1} qui est dans l'orbite de {E0, e1}.
{e1, a2e1} dont l'image par F0 est le tournant
{a−2c−1a−4c−1a2ca4ca4e1, c−1a−4c−1a2ca4ca4e1}
qui est dans l'orbite de{e1, ga2g−1e1}et donc dans l'orbite de{e1, a2e1}.
Par conséquent, on vérie immédiatement que F0 est train track.
On peut maintenant passer à notre espace de déformation DH dans lequel e1 est écrasée ainsi on obtient T00 ∈ DH dont le graphe étiqueté est le suivant
H
e0
On modie F0 en fonction de cet écrasement et ainsi on obtient une application F00 dénie comme suit
F00 : T00 −→ T00·Φ
e0 7−→ a−2c−1(E0·a−4c−1a2ca4(e0·ce0))
De la même façon que dans la démonstration du Corollaire 5.9, F00 est une appli-cation train track.
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