Exemple : Vis-écrou

Dans le cas de liaisons complexes, comme celle entre 2 pignons, il existe toujours un jeu entre les 2 pièces. Même si celui-ci semble faible, il peut être amplifié par les différents rapports de réduction et ne plus être négligeable une fois rapporté à l’actionneur ou au capteur. Avant toute simplification, on se doit donc de rapporter le jeu de chaque liaison aux capteurs (sorties du système) et à l’actionneur (entrées du système) pour voir l’influence de celui-ci.

L’objectif de toutes ces simplifications est de supprimer toutes les caractéristiques superflues du système dans le cadre de la synthèse d’une commande. Notons qu’une commande peut très bien fonctionner sur le modèle simplifié et ne pas donner satisfaction sur le système réel. Cela signifie que le modèle a été trop simplifié ou que les performances désirées sont trop élevées, i.e. la commande stimule des zones fréquentielles où sont situés des phénomènes non pris en compte dans le modèle de synthèse.

2.1.6 Exemple : Vis-écrou

Pour illustrer la méthodologie de modélisation développée ci-dessus, le système représenté par la figure (2.6) est étudié. Il est composé d’un moteur électrique lié à une vis sans fin. L’en-semble possède une inertie J et tourne à la vitesseω. Le moteur applique un couple moteur u

FIG. 2.6 – Exemple : Vis-écrou + Ressort

à l’ensemble du système. Autour de la vis, un écrou peut se mouvoir suivant l’axeOx. Ainsi il comprime plus ou moins un ressort de raideurK. L’ensemble écrou+ressort possède une masse

M. La vitesse et la position de l’écrou sont respectivementvetx. La liaison hélicoïdale possède un angle d’attaqueαet un rayon apparentr. Pour la clarté de l’exposé, on supposera l’existence de frottements seulement dans la liaison hélicoïdale. De plus les frottements visqueux et les jeux seront négligés.

Nous décomposons le système en blocs indépendants et en liaisons cinématiques. En suivant le schéma cinématique de la figure (2.6), on peut décompter deux blocs et une liaison :

– bloc 1 : moteur+vis – bloc 2 : écrou+ressort – liaison : liaison hélicoïdale.

Où le bloc 1 et 2 sont respectivement modélisés par les équations (2.10) et (2.11). C_r est le couple résistant vu par le moteur etfmest la force du moteur vue par l’écrou. Le ressort applique une forceKx.

Jω˙ =u−Cr (2.10)

Mv˙ =f_m−Kx (2.11)

Il reste à modéliser la liaison hélicoïdale. La forcefmrapportée au moteur est égale àrtan(α)fm. La liaison génère des frottements secs. Ces derniers seront étudiés en détail dans la section (2.3), cependant pour l’exemple, on précise qu’ils s’opposent au mouvement et que leur amplitude est proportionnel à l’effort normal à la trajectoire.

Lors du mouvement, les filets de l’écrou et de la vis sont pressés l’un contre l’autre par le ressort et par le couple moteur. Cet effort génère des frottements secs modélisés par une force tangente au filet. Une fois cette force ramenée au moteur, on obtient :

Csec =µ|rfm−utan(α)|sign(ω) (2.12) Oùµest le coefficient de proportionnalité entre l’effort normal et la force représentant les frotte-ments secs. Il est aussi appelé coefficient de Coulomb. Le couple de frottefrotte-ments secs est fonction de la vitesse de rotation de la visω car c’est l’élément moteur de la liaison. Le couple résistant vu par le moteur est exprimé par l’équation :

Méthodologie 13 1 Js 1 ms 1 s K PI rtan(α) r tan(α) µsign(ω) ∗ rtan(α) u ω v x fm Cr + -+ -+ + -+ +

-Vis Liaison hélicoïdale

Écrou

Ressort

abs

FIG. 2.7 – Schéma bloc du système vis-écrou + ressort

Pour finaliser le modèle exhaustif du système étudié, il reste à définir le mécanisme permettant d’obtenir la relation v = rtan(α)ω. Le choix se porte sur un couplage par un régulateur PI permettant de faire convergerv versrtan(α)ω. Le réglage de celui-ci dépend des objectifs de simulation : plus on souhaite une simulation fine, plus on devra choisir un correcteur rapide, et plus le temps de simulation sera lent. L’ensemble du modèle est présenté par la figure (2.7).

Le résultat de la modélisation est un modèle d’ordre 4 avec une composante non linéaire. Si ce modèle est une bonne base pour valider les commandes, il n’est pas envisageable de l’utiliser comme modèle de synthèse. En effet, le régulateur PI n’est qu’un artifice de simulation et n’a pas de signification physique. Suivant la sous-section2.1.5, le premier objectif est de simplifier les liaisons cinématiques. De part sa nature, la liaison hélicoïdale est supposée statique, c’est-à-dire que l’erreur de poursuite entrev et rtan(α)ω est nulle. On peut simplifier le modèle et considérer seulement un système masse-ressort avec des frottements secs et une masse totale égale à M′ = J +M r2tan(α)2. Le terme M r2tan(α)2 est la masse de l’écrou ramenée au moteur. Dans ce cas, la forcefmest égale àKx, on se ramène alors à un modèle d’ordre 2.

Il reste à savoir si la liaison cinématique peut être modélisée par un simple rendement et un rapport de réduction. Cette question va dépendre du caractère irréversible de la liaison, i.e. est-ce que le ressort peut mouvoir à lui seul l’écrou et la vis ou non.

Dans le cas d’une liaison réversible, i.e.µ < tan(α), le termeµrf_m = µrKxde l’équation (2.12) est négligé. Si on suppose la vitesse toujours du même signe que la commande (dans le cas d’une régulation de vitesse), le système peut alors être modélisé par un simple système masse+ressort sans amortissement (2.14). Le rendement du système en régime permanent est égal à1−µtan(α).

˙

x = rtan(α)ω

Les frottements ont été modélisés par un rendement inférieur à 1. Cependant, dans le cas d’une régulation en position, ce n’est pas suffisant : en effet, les transitoires où sign(ω) 6=sign(u) ne sont plus modélisés et transforment le système en oscillateur pur, ce qui est faux en pratique. Dans ce cas, il préférable d’utiliser le modèle (2.15).

Si le système est irréversible, i.e.µ > tan(α), les frottements secs doivent être pris en compte pour bloquer la position de l’écrou lorsqueu= 0. Le modèle est alors défini par (2.15).

˙

x = rtan(α)ω

M^′ω˙ = u−rtan(α)Kx−µ|rKx−utan(α)|sign(ω) (2.15) Pour l’instant, l’objectif n’est pas de modéliser les frottements secs, mais d’étudier la modélisa-tion de systèmes mécaniques complexes, ainsi le modèle de Coulomb (cf.2.4.2.1), très simple, suffit.