Evolution de la FDEE lors de l’application d’un champ magn´etique local

Sasaki através de uma ampla bibliografia mostra que a ideia de mathesis universalis pode ser abordada a partir de textos de Aristóteles e de comentadores de suas obras. Porém, a ideia de mathesis universalis não pode ser tratada como uma continuação do pensamento aristotélico, pois perderíamos os aspectos inéditos do pensamento renascentista.

Sasaki analisa dois trechos da Metafísica: 1026a 23-32 e 1064b 6-9. Nestes trechos aparece a palavra universal se referindo ao conhecimento matemático.

Em 1026a 23-32, discute se a metafísica é universal em comparação à física e à matemática. “Nas matemáticas, efetivamente, nem todas as disciplinas se encontram na mesma situação, enquanto a geometria e a astronomia versam sobre uma natureza determinada, a universal é comum a todas elas” (ARISTÓTELES, 1994, p. 269, tradução nossa).

No segundo trecho (1064b 6-9). Aristóteles afirma que “de fato, cada uma das ciências matemáticas se ocupa de um gênero determinado, enquanto que a universal, comum, se ocupa de todos eles” (ARISTÓTELES, 1994, p. 447, tradução nossa). Segundo Sasaki (2004, p. 290, tradução nossa), “o ‘universal’ na passagem citada, é atualmente, em muitos casos, parafraseada como ‘matemática universal’”, pois, possivelmente o filósofo concebia a existência de uma matemática universal que não possuía um objeto determinado, mas algo comum a todas as matemáticas. Na verdade, parece mais correto afirmar que Aristóteles, ao usar a palavra universal, estava tratando da metafísca como ciência teorética universal e superior às matemáticas.

Sasaki, ao mostrar que a palavra “universal” dos trechos acima pode ser traduzida como “matemática universal”, também mostra que em outros a mesma palavra pode ser entendida como “proposições universais na matemática”. No Livro XIII da Metafísica (1077a 9-12) Aristóteles escreve:

“Além disso, alguns axiomas são enunciados universalmente pelos matemáticos, independentemente dessas entidades. Existirá também, portanto, alguma outra entidade intermediária, esta separada das ideias e das realidades intermediárias e que não é nem número, nem ponto, nem magnitude, nem tempo”60

(ARISTÓTELES, 1994, p. 508, tradução nossa).

Mais à frente (Metafísica, XIII, 3, 1077b 17-22) Aristóteles escreve algo semelhante e destas citações Sasaki conclui:

60 _{“Además, algunos axiomas son enunciados por los matemáticos universalmente, al margen de estas entidades. Existirá}

también, por tanto, alguna otra entidad intermedia, ésta separada de las Ideas y de las Realidades Intermedias, y que nos es ni número, ni puntos, ni magnitud, ni tiempo”.

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4. AS MATEMÁTICAS PURAS

“Aristóteles faz sua observação que existem certas proposições matemáticas de um carácter universal que não são restritas a tais substâncias como números (objetos da aritmética) e magnitudes (objetos da geometria). Então, se está correto interpretar “o universal” nas passagens 1026a 23-32 e 1064b 6-9 como “matemática universal”, as proposições universais do segundo grupo podem ser relatadas de certa maneira à noção de “matemática universal””61 _(SASAKI,

2004, p. 291, tradução nossa).

Thomas Heath, em sua obra Mathematics in Aristotle, afirma que:

“Ao tratar de proposições universais na matemática aplicadas para uma grande classe de entidades como magnitudes, números e objetos de ciências matemáticas particulares, Aristóteles sem dúvida tinha em mente que tais proposições como aquelas em que se prova que, se quatro termos são proporcionais, são também proporcionais ‘alternando’. Aristóteles apontou que essas proposições normalmente eram provadas separadamente para números, linhas, sólidos e tempos, ‘mas é agora provadas universalmente para todas’. É obviamente a referência para a prova formando parte da nova teoria da proporção de Eudoxo. O que Aristóteles pode ter chamado a mais geral categoria de coisas para que a prova pudesse ser aplicada não aparece, mas isto parece mais provável que ele pudesse ter entendido como ποσόν, quantidade”62 _{(HEATH, 1970, p. 223, tradução nossa).}

Heath entende que as proposições provadas universalmente são exemplificadas por Eudoxo, que provavelmente serviu de base para a escrita do livro V dos Elementos de Euclides. Desse modo, para Heath, as proposições de que Aristóteles e Eudoxo tratam não são aplicáveis somente às magnitudes geométricas, mas em geral a qualquer quantidade dada.

Sobre a teoria das proporções citamos um trecho dos Analíticos Posteriores (Livro I, 5, 74a 17-25), no qual Aristóteles trata da razões alternadas.

“E o que o proporcional também [se dá] em ordem alterna, tanto como números, quanto como linhas, tanto como sólidos, tanto como o tempo, do mesmo modo que se demonstrou separadamente em alguma ocasião, seria admissível demonstrá-los todos com uma só demonstração; mas, ao não ser possível dar um nome único a todas essas coisas – números-longitudes-tempos- volumes – e ao diferir entre si em espécie, se tornam separados. Porém agora se demonstra universalmente, pois o que se supõe que se dá universalmente [nessas coisas] não se dava enquanto linhas ou enquanto números, mas enquanto tal coisa”63 _{(ARISTÓTELES, 1988, pp. 326-327, tradução nossa).}

61 _{“Aristotle makes his observation that there are certain mathematical propositions of a universal character which are not}

restricted to such substances as numbers (objects of arithmetic) and magnitudes (objects of geometry). So if it is correct to interpret ‘the universal’ in passages 1026a23-32 and 1064b6-9 as ‘universal mathematics,’ the universal propositions in the second group can be related in a certain manner to the notion of ‘universal mathematics’”.

62 _{“In apeaking of universal propositions in mathematics applying to a wider class of entities than those of magnitudes,}

numbers, and the objects of particular mathematical sciences, Aristotle no doubt had in mind such propositions as that in which it is proved that, if four terms are in proportion, they are also proportional alternando. Aristotle pointed out that this proposition used to be proved separately for numbers, lines, solids, and times, ‘but is now proved universally for all’. The reference is obviously to the proof forming part of Eudoxus’ new theory of proportion. What Aristotle would have called the more general category of things to which the proof would apply does not appear, but it seems most likely that it would have been ποσόν, quantity”.

63 _{“Y el que lo proporcional también <se da> en orden alterno, en cuanto número y en cuanto líneas y en cuanto sólidos y}

en cuanto tiempo, al igual que se demonstró por separado en alguna ocasión, sería admisible demonstrarlo acerca de todos con una sola demonstración, pero al no ser posible dar un nombre único a todas esas cosas, números-magnitudes-

ϳϰ ACLASSIFICAÇÃO DAS DISCIPLINAS MATEMÁTICAS E A MATHESIS UNIVERSALIS NOS SÉCULOS XVI E XVII

Heath entende que neste trecho Aristóteles faz alusão à teoria das proporções elaborada por Eudoxo e que esta teoria serve de base para a teoria aristotélica das proposições universais (HEATH, 1970, p. 43).

Contudo, existem diversas outras interpretações para a “matemática universal” em Aristóteles. Sasaki mostra, por exemplo, que alguns estudiosos se baseando na Metafísica (Livro I, 2, 982a 25-28) a entendem como sendo a aritmética, pois o filósofo afirma: “...as mais exatas das ciências são as que versam maiormente sobre os primeiros princípios: de fato, as que partem de menos [princípios] são mais exatas que as denominadas ‘adicionadoras’, por exemplo, a aritmética [é mais exata] que a geometria”64 (ARISTÓTELES, 1994, p. 75, tradução nossa). Esta interpretação pode ser contestada, pois neste trecho, Aristóteles pode estar fazendo uma comparação em que a aritmética e a geometria são colocadas lado a lado e se chega a conclusão de que a primeira é mais acurada que a outra não se tratando necessariamente de definir a universalidade destas disciplinas (SASAKI, 2004).

Concordamos então que o termo “universal” utilizado por Aristóteles nos dois trechos da Metafísica citados anteriormente – 1026a 23-32 e 1064b 6-9 – devem ser entendidos como a “filosofia universal”, ou seja, a metafísica e não como uma “matemática universal” e, neste sentido, a aritmética e a geometria foram entendidas como as primeiras matemáticas (SASAKI, 2004).

As obras aristotélicas foram traduzidas e continuaram a ser estudadas e comentadas durante a Idade Média e o Renascimento. Estes estudos e comentários levaram a diferentes análises dos trechos do texto aristotélico acerca de um conhecimento universal ou de uma matemática universal.