Evaluation de l’optimisation

L’effet de l’optimisation sur la précision de la détermination des paramètres nc et d a été évalué par des simulations numériques. Une première étape a consisté

à simuler une erreur angulaire systématique sur quatre angles synchrones corres- pondant à une couche d’indice nc = 2, 35 et d’épaisseur d = 2µm. A partir de ces

angles bruités nous avons déterminé l’indice de réfraction et l’épaisseur pour chaque combinaison de modes, l’indice et l’épaisseur moyens ainsi que l’indice et l’épaisseur optimisés par la méthode du simplex. Nous avons ensuite calculé les écarts entre

(a) Rapport des écarts à l’épaisseur d0 (b) Rapport des écarts à l’indice nc0

Fig. 3.11 – Rapport des écarts à l’épaisseur d₀ et à l’indice n_c

0 pour différentes

valeurs de bruit systématique sur les quatre angles synchrones.

les solutions obtenues et les valeurs théoriques. Les résultats sont présentés sur la figure (3.11). On appelle ∆nmoy et ∆dmoy les écarts entre les valeurs moyennes et

les valeurs théoriques, ∆nsimplex et ∆dsimplex les écarts entre les valeurs obtenues

mum entre les valeurs d’indice de réfraction et d’épaisseur données par les différentes combinaisons et les valeurs théoriques. Pour obtenir un graphique lisible, nous avons représenté sur la figure (3.11a) l’évolution des rapports ∆dmoy

∆dmax et

∆dsimplex

∆dmax en fonc-

tion du bruit angulaire systématique et sur la figure (3.11b) l’évolution des rapports

∆nmoy

∆nmax et

∆nsimplex

∆nmax également en fonction du bruit angulaire systématique.

Tous les points ont bien une ordonnée inférieure à 1, par conséquent le calcul des valeurs moyennes ou optimisées permet bien de réduire l’écart aux valeurs théoriques. On observe également que l’utilisation du simplex semble conduire à des écarts aux valeurs théoriques plus faibles que dans le cas de la moyenne. Cette tendance est plus marquée dans le cas du calcul de l’épaisseur. Cependant l’amélioration apportée par la moyenne ou l’optimisation reste très faible ce qui implique qu’il est très difficile de contrer une erreur systématique et souligne la nécessité de procéder à un réglage de l’origine des angles très précis.

(a) Ecarts sur l’épaisseur (b) Ecarts sur l’indice de réfraction

Fig. 3.12 – Ecarts sur l’épaisseur et l’indice de réfraction pour un bruit angulaire aléatoire sur les angles synchrones compris dans l’intervalle ±0, 5◦

.

Une deuxième étude a consisté à simuler une erreur angulaire aléatoire sur les angles synchrones calculés à partir de l’indice de réfraction nc et de l’épaisseur

d théoriques. Chaque angle synchrone a été bruité individuellement par une valeur aléatoire comprise dans l’intervalle ±ε. Ces angles synchrones ont été bruités de manière différentes plusieurs milliers de fois. Les écarts sur l’épaisseur et sur l’indice de réfraction obtenus pour un niveau de bruit compris dans l’intervalle ±0, 5◦

sont représentés sur la figure (3.12) et leurs distributions sur les figures (3.13) et (3.14).

(a) ∆dmax (b) ∆dmoy

(c) ∆dsimplex

Fig.3.13 – Distributions des écarts sur l’épaisseur pour un bruit angulaire aléatoire de ±0, 5◦

(a) ∆nmax (b) ∆nmoy

(c) ∆nsimplex

Fig.3.14 – Distributions des écarts sur l’indice de réfraction pour un bruit angulaire aléatoire de ±0, 5◦

le simplex conduisent donc à des valeurs plus proches des valeurs théoriques. Cela prouve que la procédure d’optimisation par le simplex ou le calcul de la moyenne fonctionne dans le cas d’une erreur aléatoire.

Pour comparer l’effet de l’optimisation par le simplex à l’effet du calcul de la moyenne, nous avons considéré que les distributions d’écarts suivaient une loi normale et nous avons relevé les valeurs de la moyenne hxi et de l’écart type σ pour les différents intervalles de bruit. La moyenne hxi indique la position du sommet de la distribution et l’écart type représente la demi-largeur de la distribution à mi- hauteur. Les valeurs moyennes hxi et les écarts types σ des distributions des écarts ∆dmoy et ∆dsimplex sur l’épaisseur sont regroupés dans le tableau (3.2).

On remarque que l’optimisation par simplex conduit à des valeurs plus faibles de hxi que celles obtenues par le calcul de la moyenne, les écarts types σ sont quant à eux sensiblement les mêmes dans les deux cas. Dans le cas du calcul de l’épaisseur, l’optimisation par le simplex permet donc un centrage des écarts par rapport à ceux issus du calcul par la moyenne mais la largeur des distributions des écarts est identique par l’optimisation par le simplex et par la moyenne.

Tab. 3.2 – Moyenne hxi et écart type σ des distributions des écarts ∆d_simplex et ∆dmoy.

Bruit angulaire Moyenne Simplex hxi (nm) σ (nm) hxi (nm) σ (nm) ±0, 75◦ −200 1200 ₋₂₀₀ 1200 ±0, 5◦ −20 70 ₋₂ 55 ±0, 2◦ −3 25 _{−0, 3} 22 ±0, 1◦ −0, 6 13 _{−0, 05} 11

Dans le cas du calcul de l’indice de réfraction, les distributions des écarts sim- plex et moyenne présentent sensiblement les mêmes valeurs de hxi et de σ (tableau 3.3). Nous n’avons pas observé de différences sensibles entre les distributions d’écarts issues du Simplex et du calcul des valeurs moyennes.

La méthode d’optimisation par le Simplex ou le calcul des valeurs moyennes permettent donc de réduire l’écart aux valeurs théoriques par rapport à l’écart maxi- mal dans le cas d’une erreur aléatoire sur les angles synchrones. La méthode d’op- timisation par le simplex permet une réduction de l’écart aux valeurs théoriques légèrement plus importante que par la moyenne dans le cas du calcul de l’épaisseur.

Tab. 3.3 – Moyenne hxi et écart type σ des distributions des écarts ∆n_simplex et ∆nmoy.

Bruit angulaire Moyenne Simplex

hxi σ _hxi σ ±0, 75◦ 1 10−₂ 7 10−₂ 1 10−₂ 7 10−₂ ±0, 5◦ 2 10−₄ 2, 3 10−₃ 2 10−₄ 2, 3 10−₃ ±0, 2◦ 6 10−₅ 9, 1 10−₄ 6 10−₅ 9, 0 10−₄ ±0, 1◦ 3 10−5 4, 6 10−4 3 10−5 4, 5 10−4

L’effet des deux méthodes est sensiblement identique dans le cas du calcul de l’indice de réfraction. Par la suite, nous utiliserons systématiquement les deux méthodes de calcul pour traiter les mesures, le minimum de la fonction de coût nous permettant de choisir le couple de solutions (nc, d) le plus proche des valeurs «réelles» de la

couche mince.