Ev¶ enements

Comme nous venons de le voir, le temps n'est plus universel et n'est plus s¶eparable des cordonn¶ees spa- tiales. Il faudra d¶ecrire les exp¶eriences en termes d'¶ev¶enements (trµes litt¶eralement: il s'est pass¶e quelque chose quelque part). Un ¶ev¶enement, c'est par exemple l'allumage du signal A ou la r¶e°exion de la lumiµere sur le miroir dans notre premiµere exp¶erience de pens¶ee. Un ¶ev¶enement existe ind¶ependamment du choix du r¶ef¶erentiel. On peut caract¶eriser un ¶ev¶enement, dans un r¶ef¶erentiel donn¶e, par l'observateur qui ¶etait sur place (le passager A0) et par l'instant, mesur¶e sur l'horloge de cet observateur, oµu l'¶ev¶enement s'est produit5_{. On pourra donc complµetement caract¶eriser l'¶ev¶enement par quatre nom-}

bres: les trois coordonn¶ees spatiales de l'observateur (on se munit d'un repµere convenable) et le temps. On d¶ecrira donc un ¶ev¶enement par la donn¶ee d'un r¶ef¶erentiel et d'un quadruplet de nombres (ct; x; y; z) (nous d¶evelopperons au chapitre suivant des notations tensorielles puissantes pour traiter ces quadru- plets). Bien s^ur, les coordonn¶ees spatio{temporelles du m^eme ¶ev¶enement dans un autre r¶ef¶erentiel sont di®¶erentes et l'essentiel de notre t^ache sera de donner la loi de transformation qui remplace et ¶

etend la transformation de Galil¶ee. Il y a un parallµele trµes fort entre la di®¶erence entre ¶ev¶enement (ind¶ependant du r¶ef¶erentiel) et coordonn¶ees spatio{temporelles et celle qui existe entre un vecteur (ind¶ependant du repµere) et ses composantes sur une base donn¶ee.

Nous utiliserons souvent des repr¶esentations g¶eom¶etriques des ¶ev¶enements. On peut en e®et les repr¶esenter comme un point dans un espace µa quatre dimensions. Cette repr¶esentation posant quelques problµemes techniques, on se cantonne souvent µa une dimension d'espace. On repr¶esente alors un ¶

ev¶enement comme sur la ¯gure 1.4. Pour des raisons de commodit¶e, on porte sur l'axe vertical le produit ct. Les deux coordonn¶ees dans cet espace ont ainsi la m^eme dimension6.

5_{On supposera encore que tous les observateurs d'un m^eme r¶ef¶erentiel peuvent synchroniser leurs horloges. Il leur est}

interdit de se d¶eplacer, mais on peut proc¶eder de fa»con plus subtile. On peut, par exemple, d¶eterminer par des moyens g¶eom¶etriques le milieu du segment AB joignant deux observateurs. On peut placer en ce point une source lumineuse qui s'allume µa un certain instant. Si les observateurs A et B font le z¶ero de leurs horloges au moment oµu ils voient cette source s'allumer, ils auront ¶etabli leur synchronisme.

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Les professionnels de la relativit¶e prennent souvent c = 1, ce qui simpli¯e ¶enorm¶ement les ¶ecritures. A notre niveau, il est peut ^etre imprudent de se priver d'un moyen de v¶eri¯er l'homog¶en¶eit¶e de nos formules

A

x

ct

Figure 1.4: Un ¶ev¶enement, une ligne d'univers et un c^one de lumiµere. Un ¶ev¶enement est repr¶esent¶e par un point dans un espace x; ct. Une ligne d'univers est l'ensemble des ¶ev¶enements correspondant aux positions successives d'une particule. Le c^one de lumiµere d'un ¶ev¶enement est constitu¶e des lignes d'univers d'un signal lumineux passant par cet ¶ev¶enement.

On peut consid¶erer le mouvement d'un point dans un r¶ef¶erentiel comme une suite d'¶ev¶enements (la suite des observateurs devant lesquels la particule est pass¶ee associ¶ee aux instants correspondants). Une telle suite continue d'¶ev¶enements forme dans l'espace-temps une ligne, que nous nommerons \ligne d'univers" de la particule. Une telle ligne est repr¶esent¶ee sur la ¯gure 1.4.

La ligne d'univers d'une particule qui se d¶eplacerait µa la vitesse de la lumiµere serait parallµele, dans notre repr¶esentation graphique, µa la premiµere ou µa la deuxiµeme bissectrice. Dans l'espace µa quatre dimensions, l'ensemble des lignes d'univers partant d'un point et correspondant µa un mouvement µa c forme le \c^one de lumiµere" de cet ¶ev¶enement (voir aussi la ¯gure 1.4). Les ¶ev¶enements ant¶erieurs µa l'¶ev¶enement de r¶ef¶erence forment le pass¶e du c^one de lumiµere, les autres le futur. Comme c est une vitesse limite, toutes les lignes d'univers passant par un ¶ev¶enement donn¶e doivent ^etre µa l'int¶erieur du c^one de lumiµere. Deux ¶ev¶enements ne pourront ^etre reli¶es par un signal ou une relation causale, que s'ils sont dans le c^one de lumiµere l'un de l'autre. Il est ¶evident g¶eom¶etriquement que cette relation est sym¶etrique: si A est dans le c^one de lumiµere de B, alors B est dans le c^one de lumiµere de A. En revanche, cette relation n'est pas transitive dans le cas g¶en¶eral, comme on pourra s'en persuader ais¶ement. Si C est dans le pass¶e du c^one de lumiµere de B, lui m^eme dans le futur du c^one de lumiµere de A, alors C n'est pas n¶ecessairement dans le c^one de lumiµere de A. En un mot, si A et C peuvent tous deux ^etre la cause de B, il n'y a aucun lien de causalit¶e a priori entre eux. En revanche, si C est dans le futur de B, il est n¶ecessairement dans le c^one de lumiµere de A: si A est la cause de B qui est lui m^eme la cause de C, alors A peut ^etre la cause de C.

En ces termes, la version relativiste de la causalit¶e appara^³t trµes clairement. Si la physique clas- sique admet qu'un ¶ev¶enement puisse ^etre la cause d'un autre s'il lui est ant¶erieur (admettant ainsi implicitement les actions instantan¶ees µa distance), la relativit¶e exige que l'un des ¶ev¶enements soit e®ectivement ant¶erieur µa l'autre (nous verrons dans le prochain paragraphe que la notion d'ant¶eriorit¶e est ind¶ependante du r¶ef¶erentiel) mais aussi que les deux ¶ev¶enement puissent ^etre reli¶es par un signal. Nous allons maintenant pouvoir a±ner beaucoup ces notions en introduisant l'intervalle.

1.3. EV ¶ENEMENTS ET INTERVALLES 81