Etude d'une harpe simpliée

En basses fréquences, le comportement modal de la table d'harmonie de la harpe de concert est semblable à celui d'une poutre bi-encastrée comme illustré gure 7.1. Un modèle vibratoire simplié de la harpe peut donc être constitué d'une poutre connectée à un jeu de cordes, voir gure 7.2. Pour que le comportement modal de cet instrument simplié soit équivalent à celui de la harpe de concert, les paramètres de chaque élément, poutre et cordes, sont nécessairement recalés. Après cette étape, le calcul de la base modale du système couplé est entrepris en utilisant la méthode développée dans le chapitre 6 [Le Carrou et coll., 05].

7.2.1 Paramètres du modèle

Dans ce paragraphe, les paramètres de la poutre et des cordes sont obtenus an que le modèle simplié d'instrument à cordes soit représentatif du comportement vibratoire de la harpe de concert en basses fréquences. Pour cela, nous choisissons de recaler les paramètres de la poutre pour que le premier mode de celle-ci coïncide avec le premier mode de exion de la table d'harmonie de la harpe cordée (Mode 4 à 152,2 Hz, voir Ÿ 3.2.2 p. 49). La déformée modale associée à ce mode peut être décrite schématiquement par une déexion importante dans les deux tiers inférieurs de la table d'harmonie entre deux encastrements, l'un au niveau de la colonne et l'autre au niveau de la

7.2 Etude d'une harpe simpliée 125

Partie assimilable à une poutre en flexion

Profil de vibration de l'axe central de la table d'harmonie

Corde 11

Fig. 7.1  Déformée modale associée au mode 4 et description du prol vibratoire de l'axe central de la table d'harmonie. Encastrement Appui fixe Cordes Poutre équivalente à la table d'harmonie

Corde ^{Module d'Young} [GPa] Masse volumique [kg/m3] 45 à 34 210 7800 33 à 31 2,52 1680 30 à 26 3.39 1180 25 à 23 3.43 1360 22 à 16 2.86 1340 15 à 13 2.83 1780 12 à 11 3.50 1470

Tab. 7.1  Module d'Young et masse volumique des cordes implémentés dans le modèle.

corde 11. Les représentations de ce premier mode de exion et de son prol de vibration sur l'axe central de la table d'harmonie sont illustrées gure 7.1. Au niveau des cordes les plus aiguës, la table d'harmonie est rigidiée par la proximité du pourtour la liant à la caisse de résonance expliquant l'absence de mouvement en basses fréquences. Ainsi, nous limitons la longueur de la poutre bi-encastrée, représentative du comportement vibratoire de la table d'harmonie, à une distance comprise entre la colonne et la corde 11. Le modèle vibratoire est composé d'une poutre de 1 m de long sur laquelle 35 cordes sont connectées. Le recalage des paramètres des cordes et de la poutre est détaillé ci-dessous.

 Cordes

Les paramètres des 35 cordes sont mesurés directement à partir de celles montées sur la harpe de concert de la corde 45 à la corde 11 (la tension des cordes est calculée à partir de la fréquence du fondamental en supposant les cordes xes à chacune de leurs extrémités). Ces diérents résultats sont donnés en Annexe A. Pour le module d'Young et la masse volumique, on fait les hypothèses suivantes : les cordes lées (de la corde 45 à la corde 34) sont en acier et les cordes en boyau de mouton (de la corde 34 à la corde 11) ont des propriétés semblables à celles mesurées sur une autre harpe, pour laquelle ces paramètres sont fournis [Bell & Firth, 86],[Bell, 87]. Une synthèse des valeurs retenues est présentée dans le tableau 7.1.

 Poutre

Les paramètres géométriques de la poutre sont obtenus directement par un relevé eectué sur la table d'harmonie isolée (gure 1.6, p. 18). Par cette méthode, nous obtenons le moment d'inertie moyen de la section droite, égale à 38,9 cm4, et la section moyenne, égale à 38,3 cm2. La masse volumique, quant à elle, est calculée en divisant la masse de la table d'harmonie par son volume, soit 553 kg/m3. Pour ajuster au mieux la valeur du module d'Young, la base modale du modèle vibratoire de la harpe est calculée itérativement an d'obtenir la fréquence du premier mode de la poutre égale à 150 Hz. Le module d'Young est trouvé égal à 5,9 GPa pour une fréquence du premier mode de poutre à 149,91 Hz. Les propriétés du matériau de la poutre ainsi recalée, sont trouvées proches de celles du bois.

7.2 Etude d'une harpe simpliée 127

7.2.2 Base modale

La base modale de la harpe simpliée constituée d'une poutre connectée à 35 cordes est obtenue en appliquant la méthode détaillée dans le chapitre 6 [Le Carrou et coll., 05]. Dans la plage de fréquences [0 Hz - 500 Hz], le logarithme du déterminant de la matrice RR (déni par l'équation (6.28)) est calculé par pas de 0,01 Hz. L'allure de la courbe repésentant cette quantité est identique à celle montrée gure 6.4 et n'est donc pas reproduite ici. Avec l'aide de cette courbe, nous avons identié 151 modes présents dans la plage de fréquences d'étude. Les déformées modales associées aux modes 6 à 35 sont montrés dans l'Annexe D. De plus, des exemples de déformées modales plus détaillées, associées aux modes 25 à 28, sont représentés gure 7.3. An de classer les modes du modèle vibratoire de la harpe, le Kinetic Energy Ratio (KER) est calculé pour chaque sous-structure [Le Carrou et coll., 05] (Ÿ 6.3.2.3, p. 109). Suivant cet indicateur, le mode qualié de mode de poutre est trouvé proche de 150 Hz, à 149,91 Hz. 4542₃₈ 35 31 24 4542₃₈ 35 31 24 4542₃₈ 35 31 24 4542₃₈ 35 31 24

Mode 25 Mode 26 Mode 27 Mode 28

Fig. 7.3  Déformées modales associées aux modes 25 à 28. Les numéros indiqués au dessus de la console désignent les cordes.

Les fréquences et les KER pour chaque sous-structure des modes 25 à 28 sont rapportés dans le tableau 7.2. Suivant cet indicateur, le mode 25 est un mode de corde n'impliquant aucun autre mouvement de cordes. Pour les modes 26, 27 et 28, le KER est réparti suivant 2 ou 3 cordes : 31, 38 et 42. La corde 31 correspond à l'octave supérieure à la corde 38 qui elle-même a pour octave inférieure la corde 42. Les cordes 24, octave supérieure à la corde 31, et 35, quarte inférieure à la corde 31, ne semblent donc pas agir dans les modes 26, 27 et 28.

Fréquence KER pour chaque corde KER Mode [Hz] 45 42 38 35 31 24 Poutre 25 122,00 100 0 0 0 0 0 0 26 122,95 0 0 99 0 1 0 0 27 123,29 0 97 1 0 2 0 0 28 123,48 0 1 2 0 97 0 0

Tab. 7.2  Fréquence et Kinetic Energy Ratio pour chaque sous-structure (Cordes 45, 42, 38, 35, 31, 24 et la poutre). KER exprimé en % et arrondi à l'entier le plus proche.

Dans l'étude paramétrique conduite dans le chapitre 6 (Ÿ 6.3.4 p. 116), il est montré que le seuil à partir duquel une sous-structure prend part à un mode est variable, dépendant de l'inharmonicité entre cordes. En xant un seuil arbitraire à 1%, les modes 26, 27 et 28 sont dénis comme des modes corde-corde, appelés également modes sympathiques. A noter que pour ces 4 modes, le changement des caractéristiques de la poutre équivalente ne modie que très légèrement la répartition du KER, ne changeant en rien nos conclusions. Par contre, il apparaît que pour d'autres modes de vibration la répartition du KER peut être très aectée.