Etude de la matrice inertance du châssis















Γ(ω1)

Γ(ω

₂

)

...

Γ(ω

_p

)

















| {z }

Γ^{T OT}

x=−ω

²

















y(ω1)

y(ω

₂

)

...

y(ω

_p

)

















| {z }

e

(3.12)

Ainsi, par une méthode de moindres carrés, on obtient les coecients de raideur et amortissement,

constants sur la plage de fréquences considérées :

x=−ω

²

Γ

^{T OT}

^t

Γ

^{T OT}

−1

Γ

^{T OT}

^t

e (3.13)

L'exposant

t

désigne la transposée d'une matrice.

Les graphes de raideurs ne peuvent être obtenus qu'après calcul à l'aide de la formule ci-dessus et,

à ce titre, seront présentés dans la partie dédiée aux analyses et calculs. Plus précisément, il s'agira du

paragraphe 3.3.4.3, gure 3.34 pour les courbes.

3.3 Validation expérimentale de l'emploi du modèle

3.3.1 Architecture de calcul

Nous avons construit une architecture de calcul qui résume les grandes étapes de la validation de

l'emploi du modèle dans un contexte technologique.

L'acquisition des mesures est eectuée à l'aide du logiciel Testlab, version 8A. Les données sont

ensuite exportées vers le logiciel Matlab où elles sont converties au format .mat. Un programme

permet alors de ranger ces données dans des matrices et vecteurs pour eectuer des calculs qui seront

précisés ultérieurement. L'achage des résultats a également lieu dans le logiciel Matlab.

3.3.2 Etude de la matrice inertance du châssis

3.3.2.1 Etude fréquentielle des composantes

L'étude est conduite dans le but de remplacer par des zéros toutes les composantes de la matrice

inertance Y

^C

du châssis jugées trop petites. On pense ainsi diminuer le risque de voir s'amplier des

erreurs de mesure contenues dans Y

^C

lors de son inversion.

Cette méthode permet de garder un contrôle sur la matrice (c'est-à-dire que l'on sait quels

coe-cients sont supprimés), ce qui n'est pas nécessairement le cas lorsqu'une régularisation mathématique

est eectuée.

3.3 Validation expérimentale de l'emploi du modèle 45

MESURES ET ACQUISITION SOUS TESTLAB

EXPORT DE DONNEES AU FORMAT .unv

CONVERSION DE DONNEES AU FORMAT .mat

CONSTRUCTION DES MATRICES ET VECTEURS

CALCULS

AFFICHAGE DES RESULTATS

T E S T L A B 8 A M A T L A B R 2 0 0 7 b •Calibration •Changement de repère •Méthodes indirectes de détermination des efforts

•Passage des efforts mesurés sur le marbre aux efforts mesurés sur le véhicule

•Sur le marbre ƒ ƒ •En libre-libre ƒ •Sur le véhicule ƒ ƒ , B B Y T , , B M B f γ γ M Y , B B Y T , , B M B f γ γ

Figure 3.23 architecture de calcul générale.

Pour comprendre l'importance relative des termes entre eux, une approche visuelle est choisie. Pour

une fréquence, les modules des termes de la matrice sont visualisés. La gure 3.24 présente l'approche

en question pour les fréquences 14Hz et 50Hz.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 BD X BD Y … HG X HG Y HG Z BD X BD Y … HG X HG Y HG Z BD X BD Y … HG X HG Y HG Z Excitation Réponse

Figure 3.24 visualisation des modules (en m/s

²

/N) des composantes de la

46 ^{3 Validation de l'emploi du modèle dans un contexte industriel : intégration d'un}groupe moto ventilateur sur un véhicule

Interprétation physique

En observant le bloc supérieur gauche des images (a) et (b) de la 3.24, il apparaît que les points BD

et BG interagissent. Par ailleurs, à 14Hz, il y a interaction entre les points hauts (HD et HG) et les

points bas. En eet, sur l'image (a), une excitation en HG Z génère un déplacement un BD Z. En

revanche, à 50Hz, sur l'image (b) de la même gure, le mouvement des points bas est découplé de

celui des points hauts. Pour cette fréquence, on pourrait presque substituer à la matrice complète une

matrice diagonale par blocs 6x6.

L'observation des deux images laisse apparaître que les inertances ponctuelles BD X et BG X sont

les plus importantes. Les autres composantes de ces lignes peuvent être mises à zéro.

En mettant à zéro les autres composantes des lignes 1 et 4, les mêmes composantes de l'eort

résultant de l'inversion de Y

^C

ne changeront pas, que la matrice soit pleine ou bien diagonale. En

eet, si y

_ii

est le seul élément non nul de la ligne i de la matrice Y

^C

, alors 1/y

_ii

est le seul élément

non nul de la ligne ide la matrice Y

^C

⁻¹

.

Les images suggèrent d'autres formes de la matriceY

^C

que la matrice pleine, en vue d'une inversion

pour prédire les eorts : une matrice par blocs 6x6, diagonale.

3.3.2.2 Etude de la symétrie

En théorie, les mesures d'inertance doivent vérier la propriété de réciprocité : les inertances

mesurées comme étant la réponse au point A sur l'eort au point B ou la réponse au point B sur

l'eort au point A sont identiques.

La réciprocité des mesures d'inertance se traduit par la symétrie des matrices Y

C

et Y

M

. Il est

donc important de voir si ces matrices possèdent ici cette propriété. Dans le paragraphe qui suit, la

matrice Y

^C

est étudiée ; la matriceY

^M

le sera plus loin.

Cas d'une fréquence

La réciprocité peut être étudiée à une fréquence donnée. Par exemple, l'analyse des niveaux des termes

de Y

^C

aux fréquences 14Hz et 50Hz (gure 3.24) révèle que les transferts locaux au point BG entre

les directions X et Z ne sont pas rigoureusement réciproques, même si des tendances de réciprocité

existent bien. En fait un regard macroscopique des images de la gure 3.24 montre une forte tendance

de réciprocité. Une analyse sur une plage de fréquences permet d'aller plus loin dans l'analyse.

3.3 Validation expérimentale de l'emploi du modèle 47

Cas d'une plage de fréquences

Les inertances de transfert local portant sur les points BG et HG sont représentées sur la gure 3.25.

Les résultats montrent que pour ces deux points, les inertances de transfert local sont réciproques entre

les directionsXetY (γ

_X

/f

_Y

) et entre les directionsY etZ (γ

_Y

/f

_Z

) mais pas entre les directionsX et

Z (γ

X

/f

Z

). Les inertances du typeγ

Z

/f

X

sont très supérieures, en amplitude, aux inertances du type

γ

_X

/f

_Z

. Des résultats similaires sont obtenus pour les points BD et HD. Cela peut s'expliquer par l'eet

de la hauteur de l'entretoise. En eet, quand on applique une force sur l'entretoise dans la directionX,

comme la liaison entre l'entretoise et le véhicule n'est pas seulement une raideur en translation suivant

X mais également une raideur de torsion dans la direction Y, une rotation s'ajoute à la translation.

Les niveaux mesurés dans la direction Z sont supérieurs aux niveaux des accélérations qui seraient

mesurées dans le cas d'une translation pure. En revanche, quand on excite dans la direction Z, la

liaison entre l'entretoise et le véhicule peut être modélisée en première approche par une simple raideur

en translation : l'accélération mesurée dans la direction X résulte bien d'une seule force d'excitation

en Z.

10 20 30 40 50 -80 -60 -40 -20 0 20 10 20 30 40 50 -200 0 200 10 20 30 40 50 -80 -60 -40 -20 0 20 10 20 30 40 50 -200 0 200 Amplitude (dB)

(b)

Fréquence (Hz) Amplitude (dB) P h as e (d eg) P h as e (d eg)

(a)

Fréquence (Hz)

Figure 3.25 inertance de transfert local de la carrosserie aux points BG (a) et

HG (b). trait plein rouge : γ

_x

/f

_z

; pointillés rouges : γ

_z

/f

_x

; trait

plein bleu : γ

x

/f

y

; pointillés bleus γ

y

/f

x

; trait plein vert γ

y

/f

z

,

pointillés verts γ

_z

/f

_y

.

Au vu de ces résultats et d'une étude approfondie des autres termes de la matriceY

^C

, il apparaît

que les problèmes de non-réciprocité sont importants dès lors qu'entre en jeu dans l'inertance

considé-rée une excitation ou une réponse dans la directionX (en particulier aux points BD et BG).

Symétrisation de Y

^C

48 ^{3 Validation de l'emploi du modèle dans un contexte industriel : intégration d'un}groupe moto ventilateur sur un véhicule

méthodes pour forcer la symétrie de la matrice sont envisagées. La première, dite méthode de la

moyenne, consiste à calculer la moyenne arithmétique entre la matrice Y

^C

et sa transposée, pour

chaque fréquence. La deuxième, dite méthode supérieure, consiste à ne garder que les composantes

rangées dans le triangle supérieur droit de la matrice et à les mettre à la place des composantes situées

dans le triangle inférieur gauche. De la même façon, la troisième méthode, dite méthode inférieure,

consiste à ne garder que les composantes situées dans le triangle inférieur gauche et à les mettre à la

place des composantes situées dans le triangle supérieur droit. Enn dans la quatrième méthode, dite

méthode de symétrisation des inertances de transfert local, seules les mesures de transfert local entre

les directionsX et Z sont modiées : on utilise à la place des mesures γ

Z

/f

X

les mesuresγ

X

/f

Z

an

de s'aranchir de l'éventuelle excitation en moment et des probables conséquences dues aux rotations

(voir paragraphe précédent).

La comparaison des résultats obtenus à partir de ces diérentes symétrisations sera eectuée plus

loin.

Dans le document Qualification de la prédiction du comportement vibratoire d'un sous-système sur véhicule (Page 60-64)