B.2.1 Formalisation du problème de synthèse
Traduire un cahier des charges sous la forme d’un critère algébrique ou bien d’un sys- tème dynamique est une tâche laborieuse et parfois peu intuitive. Une première solution inspirée de la philosophie H∞ est de s’appuyer sur les signaux classiques de l’analyse
(fonction de sensibilité, écart, etc.). Toutefois, pour ne pas restreindre la synthèse à ces seules informations, plusieurs travaux explorent la voie d’un modèle standard enri-
chi (Larminat 2000).
L’approche dite de pondération en aval (du processus) consiste à composer de nou- veaux signaux de performance, par le biais de filtres fréquentielles. Par exemple, pour pénaliser des bandes de fréquences particulière d’un système, ou bien pour réaliser un
suivi de trajectoire avec une pénalité intégrale de l’erreur (voir synthèse LQI).
Une pondération en amont désigne un dual du principe précédent. Cette fois-ci, on recherche l’enrichissement du modèle standard par une pénalisation fréquentiel en amont du processus. La modélisation de signaux exogènes (perturbations, références) par un système dynamique est un complément d’information utile à la synthèse de commande
(Kwatny et Kalnitsky 1978 ; B. D. O. Anderson et Moore 1989 ; Sievers et Flo-
tow 1989). Dans le contexte H2 ou H∞, cette vision est similaire à une pondération
fréquentielle amont (Chevrel 2002). L’un des avantages notables de ce cas de figure est la possibilité de synthétiser un observateur non-biaisé, grâce à une reconstruction simultanée de l’état du processus et du signal exogène.
Attention toutefois, l’inclusion d’état non-contrôlables dans le modèle du problème n’est pas sans incidence. Spécialement si ces derniers modélisent une perturbation non- dissipative. Dans ce cas, les signaux associées se doivent d’être inobservable par le critère, autrement le problème d’optimisation (e.g. LQ H2, H∞) n’admet pas de solution. Concrè-
tement, le problème doit être bien-posé tel qu’il existe un régulateur capable d’occulter la part incontrôlable du système exogène. Plusieurs travaux traitent d’une généralisa- tion de l’optimisation H2/H∞ dans le cas d’un modèle standard non stabilisable (Liu,
Zhang et Mita 1997 ; Chevrel 2002 ; Feng, Yagoubi et Chevrel 2012).L’idée prin-
cipale est de construire sur la base du modèle exogène une trajectoire de référence pour l’état et la commande, puis de construire le problème comme un rejet asymptotique de la perturbation. L’obtention du régulateur est séquentielle, deux équations de Sylvester sont résolus pour obtenir les trajectoires, puis un régulateur est calculé sur la base d’un critère LQ. Une généralisation méthodologique, unifiant la conception pour les systèmes exogènes stables ou instables, est proposée dans(Fauvel, Claveau et Chevrel 2013).
La solution est un régulateur structuré dont les coefficients s’obtiennent la résolution d’un critère quadratique dit occultant. Cette proposition est mise en œuvre par l’emploi d’un algorithme non-lisse et est illustrée sur l’exemple d’un suivi de trajectoire.
B.2.2 Stabilité et Robustesse
Le principale avantage, déjà évoqué, est très certainement l’expérience afficher par la commande LQ et H2. Comme le notentGoodwin, Graebe et Salgado (2001),ce suc-
cès se mesure par plusieurs applications et brevets dans des domaines variés (automobile, processus industriels, etc.).
Un second point concerne les garanties de stabilité ou robustesse. La commande LQ permet d’engendrer systématiquement (y compris dans le cas MIMO) des lois de commande stabilisantes. De plus, il est connu de longue date qu’elle confère au système bouclé des propriétés de robustesse en entrée enviables(M. Safonov et Michael Athans
1977)2. Dans le cas général (i.e. LQR ou synthèse H
2) ces propriétés peuvent être per-
B. ÉTAT DE L’ART SUR LA SYNTHÈSE H2/LQ
due (voir exemple deJ. Doyle (1978). Toutefois, des méthodes comme la technique du LTR (loop transfert recovery (G. Stein et M. Athans 1987 ; Jan Marian Maciejowski
1989)), permettent de récupérer ces propriétés, notamment par un choix approprié de
pondération.
B.2.3 Commande par Anticipation
Dans le cas des systèmes homogènes continus, la solution au problème LQ à horizon fini est connue depuis relativement longtemps (B. D. Anderson et Moore 1971 ; Le-
wis 1992).Le cas d’un système non-homogène est résolu plus tardivement, tout d’abord
pour un horizon infini par Hampton, Knospe et Townsend (1996),en supposons les signaux exogènes bornés, puis, dans le cas d’un horizon fini par Slimen (2011) en s’ap-
puyant sur le raisonnement deHampton, Knospe et Townsend (1996)et les résultats préliminaires de Borne et al. (1990).
Un cas d’intérêt majeur est de considéré la connaissance a priori du signal exogène sur un horizon futur limité mais inférieur à l’horizon d’optimisation. Les problème de commande qui résultent de cette hypothèse sont couramment appelés problème de com- mande avec anticipation (optimal preview control problem,(Kojima et Ishijima 1999)). Dans le contexte d’un problème LQ avec anticipation (LQ-preview), plusieurs voies ont été explorées. Une contribution pionnière est proposée parHayase et Ichikawa (1969),
au travers d’une réécriture du problème initial comme un problème de commande déter- ministe. D’autres approches sont à relever : (Tomizuka et Whitney 1975), pour une formalisation mixte (stochastique et déterministe) ;(Shaked et Souza 1995), pour une résolution par la théorie des jeux ; et (Kojima et Ishijima 1999) pour la formulation d’un problème au écart, puis la résolution d’une équation de Riccati.
Dans le contexte H2avec anticipation (H2-preview),Marro, Lorenzo Ntogramat-
zidis et Zattoni (2004)résout le problème de découplage pour un système stable par une
approche géométrique.Ferrante, Marro et L. Ntogramatzidis (2007)propose une
solution pour la problématique H2full-information (H2-FI) qui s’obtient par la résolution
d’une équation de Riccati. Grâce à une paramétrisation de l’Hamiltonien il en démontre l’optimalité. Enfin, Saleh, Chevrel et Lafay (2012) réexamine le problème (H2-FI)
en supposant un modèle des signaux exogènes. La commande optimale qui en résulte se compose de quatre termes, les trois premiers sont similaires aux résultats deFerrante,
Marro et L. Ntogramatzidis (2007), le dernier, appelée compensation prédictive as-
sure le rejet asymptotique du signal de perturbation au delà de l’horizon d’anticipation. Il s’obtient par la résolution d’une équation de Sylvester.
Au lecteur qui souhaiterait approfondir la thématique H2/LQ avec anticipation, il est
conseillé de consulter (Slimen 2011, chap. 2).
B.2.4 Restrictions
Malgré ces avantages notoires, ces méthodes sont limitantes vis-à-vis de nos objectif initiaux. Tout d’abord, elle concerne uniquement les systèmes LTI et ne s’étendent pas au systèmes non-linéaires ou paramétriques.
Seconde critique,la formulation H2/LQ n’intègre pas la gestion de contraintes sur l’état ou la sortie.
C. PARAMÈTRES DU CAMION-FHS
C Paramètres du Camion-FHS
Cette annexe résume les paramètres du modèle du camion frigorifique avec une ar- chitecture hybride série, introduit au chapitre 5.
Paramètre Description Valeur Unité
r Rayon de la roue 0.28 m
mveh Masse camion 20 × 103 kg
g Coefficient de gravité 9.81 kg.s−1
fr Coefficient de frottement sec 9 × 10−3 −
ρ Masse Volumique de l’air 1.2 kg.m−3
Cx Coefficient de trainée 0.45 −
mveh Masse camion 20 × 103 kg
Jroues Inertie roue virtuelle 3.26 kg.m2
Jth Inertie axe moteur électrique 0.19 kg.m2
Rbv Rapport boite de vitesse 6.67 −
vmin Vitesse minimale 0 m.s−1
vmax Vitesse minimale 40 m.s−1
Pmin
mel Puissance minimale machine
électrique
−89 × 103 W
Pmelmax Puissance maximale machine électrique
160 × 103 W