4.2 Etudes préliminaires
4.2.2 Etude de la variation de la couverture angulaire
Jusqu’à présent, l’acquisition du champ proche simulé en espace libre s’est faite sur toute la sphère entourant l’antenne en utilisant CST microwave studio. Nous allons étudier ici l’effet d’une couverture angulaire tronquée sur la validité de la méthode proposée dans cette thèse. Pour cela, l’antenne ETSA employée dans la partie mesure du paragraphe 3.5.2 du chapitre 3 est réutilisée ici. Cette antenne possède un plan de symètrie que nous exploitons lors de la simulation afin de diviser le temps de simulation par deux. Le plan de symètrie est défini par le plan xoz dans le repère sphérique utilisé dans la suite de notre application comme le montre la figure4.1.
Nous nous servirons de ce champ rayonné simulé de l’antenne ETSA, placée dans le plan xoz et orientée suivant oz, pour calculer les coefficients d’expansion Qj(f ) à partir de différentes couvertures angulaires des sondes. La simulation est effectuée entre 4 GHz et 8 GHz comme déjà discuté dans la section3.5.2. Comme le nombre de modes dépend de la fréquence de travail et de la taille de l’antenne, nous effectuons ainsi nos comparaisons dans ce chapitre principalement à deux fréquences : 4 GHz (fréquence la plus favorable) et 8 GHz (fréquence la plus défavorable en terme de nombre de coefficients modaux nécessaires).
Dans le but de rechercher le nombre de modes optimal, nous évaluons la puissance modale Pn en exploitant le champ dans un premier temps connu sur toute la sphère, puis sur une sphère définie sur −140° < θ < 140° et −90° < φ < 90°, et finalement sur une demie-sphère d’acquisition en fixant −90° < θ < 90° et −90° < φ < 90°. Nous effectuons alors une décomposition en vecteurs sphériques pour chacun des ces trois cas. À l’aide des coefficients obtenus pour chaque couverture, nous dédui- sons la puissance totale rayonnée Pray pour chaque cas en utilisant la formule (3.16). Nous analysons ensuite la puissance modale Pn(normalisée par rapport à Pray) dans chaque cas afin de déterminer le nombre de modes nécessaire pour la décomposition. Les figures4.2(a)et4.2(b), illustrent la courbe de variation Pn
Pray pour les différentes
troncatures de la sphère d’acquisition. Nous constatons que, quelle que soit la cou- verture angulaire, l’énergie contenue dans les premiers modes est conservée, tandis que pour des modes plus élevés l’énergie varie pour les différentes couvertures. En s’appuyant sur cette courbe, nous fixons le degré de la décomposition N à 25 car il permet, pour les différents cas, la décroissance de la puissance contenue dans les modes de degré supérieur jusqu’à −30 dB par rapport au maximum.
Nous calculons aussi Pm la puissance contenue dans les modes suivant leur ordre m comme : Pm=X n X s |Qsmn|2 (4.1)
112 Chapitre 4. Antenne ULB proche d’une interface
Figure4.1 – Antenne ETSA dans le repère sphérique utilisé
Le calcul de Pm
Pray à la fréquence 4 GHz et 8 GHz, représenté respectivement sur
les figures 4.2(c) et 4.2(d), prouve que le changement de la couverture angulaire n’engendre pas de variation de puissance suivant m.
Le tableau4.1, relève quelques valeurs de la puissance rayonnée obtenue en simu- lation et celle calculée en utilisant les coefficients modaux obtenus pour différentes couvertures angulaires. La puissance est calculée à partir du champ simulée ~E(θ, φ) en utilisant la relation liant le champ et la puissance rayonnée :
Pray = 1 2η Z 2π 0 Z π 0 | ~E(θ, φ)| 2sin(θ)dθdφ. (4.2)
Nous remarquons une bonne concordance entre les valeurs de la puissance rayon- née obtenue en simulation (eq (4.2)) et celle calculée à partir des modes, et ce quelle que soit la couverture angulaire. Nous en déduisons que la troncature angulaire n’affecte pas la puissance contenue dans les coefficients sphériques issus de la dé- composition en vecteurs sphériques.
Pour finir cette étude, nous procédons à la modélisation du champ lointain en utilisant les coefficients modaux obtenus à partir du champ proche simulé. Ce champ sera comparé au champ lointain simulé par CST qui nous servira de référence. Sachant que le champ proche disponible au départ de la décomposition est obtenu sur une sphère pour différentes couvertures angulaire, le champ lointain modélisé à partir du champ proche tronqué sera reconstruit sur la sphère entière (c’est-à-dire
4.2. Etudes préliminaires 113 5 10 15 20 25 30 −55 −50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 N dB −180<θ<180 −140<θ<140 −90 <θ< 90 (a) Pn à 4 GHz 5 10 15 20 25 30 −50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 N dB −180<θ<180 −140<θ<140 −90 <θ< 90 (b) Pn à 8 GHz −30 −20 −10 0 10 20 30 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 m dB −180<θ<180 −140<θ<140 −90 <θ< 90 (c) Pmà 4 GHz −30 −20 −10 0 10 20 30 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 m dB −180<θ<180 −140<θ<140 −90 <θ< 90 (d) Pmà 8 GHz
Figure4.2 – Puissance modale normalisée à 4 et 8 GHz pour différentes couvertures angulaires
Table 4.1 – Tableau des valeurs de la puissance rayonnée analytique (simulée) et la puissance rayonnée calculée à partir des modes sphériques en fonction de la couverture angulaire pour les deux extrémités de la bande (estimée).
Couverture Angulaire Freq = 4 GHz Freq = 8 GHz
Pray simulée Pray estimée Pray simulée Pray estimée
−180° < θ < 180° 0.467 (W ) 0.464 (W ) 0.423 (W ) 0.424 (W )
−140° < θ < 140° 0.454 (W ) 0.451 (W ) 0.417 (W ) 0.419 (W )
−90° < θ < 90° 0.416 (W ) 0.421 (W ) 0.397 (W ) 0.401 (W )
pour −180° < θ < 180° et −90° < φ < 90°). Nous observons sur la figure 4.3 les résultats de comparaison des différentes reconstructions à la fréquence 8 GHz et dans les deux plans principaux de l’antenne. Dans le cas où les données de départ s’étendent sur toute la couverture angulaire, nous avons une bonne concordance entre modélisation (marqueur en losange) et simulation sur tout le plan. Par contre,
114 Chapitre 4. Antenne ULB proche d’une interface
quand les données de départ sont tronquées nous avons une bonne reconstruction dans le domaine d’acquisition et un décrochage au-delà de la limite d’acquisition, à partir de −90 et 90 (marqueur o) et à partir de −140 et 140 (marqueur x). Le décrochage au niveau de la reconstruction est dû au manque de données simulées dans la zone en question.
Ainsi, nous concluons de cette étude que la reconstruction est suffisamment pré- cise dans le domaine d’acquisition. Nous pourrons donc utiliser les données issues d’une couverture angulaire tronquée pour modéliser le rayonnement de l’antenne dans un demi-espace. −150 −100 −50 0 50 100 150 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 theta dB E phi simu. E theta simu. mod. −180 <θ<180 mod. −140 <θ<140 mod. −90 <θ<90
(a) Plan E (φ = 0° et θ varie)
−150 −100 −50 0 50 100 150 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 theta dB E phi simu. E theta simu. mod. −180 <θ<180 mod. −140<θ<140 mod. −90 <θ<90 (b) Plan H (φ = 90° et θ varie)
Figure4.3 – Comparaison du champ lointain simulé et du champ lointain obtenu à partir de la simulation champ proche à 8 GHz dans le plan E et H pour N = 25 et P = 13