Estimation d’´ etat
3.5 Etude comparative ´
et par sa matrice caract´eristique Pk
Pk = βk(Pk/k−1− σkPk/k−1hkh t kPk/k−1 ht kPk/k−1hk ) (3.53) o`u τk = 1 + nα 1 + n ; σk = 2τk (1 + α) (3.54) βk= n 2(1 − α2) n2− 1 ; hk= A t kVk−1ek (3.55)
α repr´esente la distance normalis´ee entre le centre de l’ellipso¨ıde ξ( ˆXk/k−1, Pk/k−1) et l’hy-perplan : α = et kVk−1ek− q et kVk−1ek pht kPk/k−1hk (3.56) La mise `a jour doit ˆetre effectu´ee quand la distance normalis´ee appartient `a l’intervalle Iα
d´efini par
Iα=]−1
n , 1[ (3.57)
Si α n’appartient pas `a cet intervalle, on peut conclure que les mesures sont aberrantes ou les hypoth`eses sur les bornes de bruits sont fausses.
3.5 Etude comparative´
Il s’agit ici de comparer les diff´erents algorithmes d’estimation. La premi`ere ´etude consiste `
a comparer l’estimation stochastique et l’estimation ensembliste `a erreurs born´ees en se basant sur le crit`ere de l’Erreur Quadratique Moyenne (EQM ) d´efinit par :
e1i = 1 ns s=ns X s=1 1 nt k=nt X k=10 (Xik(s)− ˆXik(s))2 (3.58)
o`u Xik(s)et ˆXik(s)repr´esentent respectivement les iieme composantes du vecteur d’´etat `a estimer et celle du centre de l’ellipso¨ıde, ns est le nombre de simulation et nt d´esigne le nombre d’´echantillons.
Ensuite, nous montrons une ´etude permettant d’´evaluer la taille de l’ellipso¨ıde par les crit`eres de d´eterminant et de trace.
3.5.1 Mod`ele d’´etude pour la comparaison
On consid`ere ici le mod`ele de mini drone o`u les perturbations atmosph´eriques ne sont pas prises en compte :
˙ ζ = v m ˙v = F ˙ R = RΩ× J ˙Ω = −Ω ∧ J Ω + M (3.59)
Cette dynamique est tout d’abord discr´etis´ee au premier ordre. 66
CHAPITRE 3. 3.5. ´ETUDE COMPARATIVE
Figure 3.5 – Repr´esentation d’un ellipso¨ıde et sa projection sur les axes
La matrice de rotation ne peut pas ˆetre utilis´ee pour l’estimation d’´etat parce qu’elle appartient au groupe SO(3), et une fois on associe `a cette matrice un vecteur de bruit vk, R n’appartient plus `a ce groupe. Pour ces raisons, nous utilisons par la suite les angles d’Euler.
En utilisant l’´equation (3.10), on a
(ζk+1, vk+1, Θk+1, Ωk+1)t= ϕ(Xk, 0) (3.60) En supposant que tout l’´etat du syst`eme Xk est disponible `a la mesure, Ck = In∗n, le vecteur de mesures est alors
Zk = CkXk+ vk (3.61)
Nous consid´erons ici des distributions de bruits non-gaussiennes de wk et vk. Elles sont simul´ees `a partir d’un processus markovien g´en´er´e par l’´equation de Langevin [97] :
˙ ηl= −1 τl d dηlVq(ηl) + √ 2Dl τl bl(t) (3.62)
o`u bl(t) est un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et la fonction Vq(ηl) est d´ecrite par
Vq(ηl) = Dl τl(ql− 1)ln 1 + τl Dl(ql− 1)η 2 l 2 (3.63) o`u Dl et τl sont les param`etres li´es respectivement `a l’intensit´e du bruit et au temps de la corr´elation.
Dans ce qui suit, la comparaison entre les diff´erents estimateurs s’effectuera en ´evaluant leur sensibilit´e aux bruits. Pour ce faire, nous varions l’intensit´e du bruit Dl en supposant que les param`etres τl et ql sont constants. En outre, nous consid´erons un seuil pour l’erreur d’estimation emax1i et nous d´eterminons la valeur Dmax
l pour laquelle e1i ≤ emax 1i .
3.5.2 Comparaison entre l’estimation stochastique et l’estimation
ellipso¨ıdale
Le but de cette comparaison est l’´etude de la sensibilit´e des estimateurs aux bruits d’´etats et de mesures. Pour ce faire, nous avons cherch´e `a estimer l’´etat du syst`eme (3.59) par un filtre
3.5. ´ETUDE COMPARATIVE CHAPITRE 3.
de Kalman ´etendu et par une approche ellipso¨ıdale, en utilisant respectivement l’Algorithme 2 et l’Algorithme B pour les phases de pr´ediction et de correction.
Sensibilit´e au bruit de mesures
Dans ce cas d’´evaluation, les estimateurs ont ´et´e r´egl´es au d´ebut de la simulation. En conservant le mˆeme r´eglage pour toutes les simulations, nous avons proc´ed´e `a l’augmentation de l’intensit´e du bruit de mesures `a chaque nouvelle simulation.
Les r´esultats ont ´et´e obtenus en supposant une incertitude fixe sur l’´etat de 3%. La figure 3.6 montre une forte sensibilit´e du Filtre du Kalman au bruit non gaussien.
Pour l’estimation ellipso¨ıdale, les r´esultats de simulations montrent que l’approche est peu sensible `a la distribution du bruit. On peut constater aussi que l’erreur quadratique moyenne est faible au d´ebut de la simulation car les hypoth`eses sur les bornes ont ´et´e respect´ees. En augmentant l’intensit´e du bruit, ce dernier n’est plus circonscrit dans l’ensemble d´efinissant les bornes de bruit. On peut remarquer ainsi que l’erreur quadratique moyenne est nettement sup´erieure `a celle de l’estimation ellipso¨ıdale.
Figure 3.6 – Sensibilit´e au bruit de mesures vk
Sensibilit´e `a l’incertitude sur l’´etat
On consid`ere dans ce cas d’´evaluation une erreur de pr´ecision sur les mesures fournies par le mini drone de l’ordre de ±5% et ±3% pour la position et la vitesse, ±3% et ±2% pour les angles d’Euler et la vitesse angulaire, et enfin ±6% pour les angles du battement vertical et de la barre de Bell.
CHAPITRE 3. 3.5. ´ETUDE COMPARATIVE
Figure 3.7 – Sensibilit´e au bruit d’´etat wk
3.5.3 Comparaison entre les diff´erents algorithmes d’estimation
ellipso¨ıdale
Nous avons pr´esent´e dans ce chapitre diff´erents algorithmes pour construire l’ensemble ellipso¨ıdale ξk( ˆXk, Pk). Deux approches ont ´et´e expos´ees : une approche de calcul d’une fa-mille param´etr´ee d’ellipso¨ıdes et une autre approche qui utilise des hyperplans. Deux crit`eres sont utilis´es pour minimiser la taille de l’ensemble recherch´e. Nous dressons maintenant une comparaison entre ces deux approches en mettant en jeu l’impact de l’utilisation des crit`eres de d´eterminant et de trace. La figure 3.8 montre les r´esultats de simulation d’une com-paraison entre deux algorithmes ellipso¨ıdaux. Le trac´e de l’Algorithme 3-C r´esulte de la combinaison de l’Algorithme 3 et l’Algorithme C. Rappelons que cet algorithme cherche `a minimiser le volume de l’ellipso¨ıde Pk/k−1 dans la phase de pr´ediction et dans la phase de cor-rection, l’ensemble d’observation Ok est remplac´e par des hyperplans tangents. L’Algorithme 2-B consiste `a d´eterminer l’intersection d’une famille param´etr´ee d’ellipso¨ıdes en utilisant le crit`ere de la trace.
Les r´esultats de simulations montrent que l’Algorithme 2-B pr´esente des meilleures per-formances que l’Algorithme 3-C en ´evaluant leurs erreurs d’estimation (Fig.3.9). De plus la minimisation de la taille d’un ellipso¨ıde par le volume peut engendrer des ellipso¨ıdes tr`es longs et aplatis. Prenons par exemple deux ellipso¨ıdes ξ1 et ξ2 qui sont d´efinis respectivement par leurs longueurs de demi-axes (l1, l2) et (l3, l4) comme indiqu´e sur la figure 3.9. Rappelons que leurs volumes respectives sont de πl1l2 et πl3l4.
En supposant, par exemple, l1 = 2cm, l2 = 3cm, l3 = 0.1cm, et l4 = 60cm, les volumes de ξ1 et ξ2 sont ´egaux mais leurs tailles sont diff´erentes. Donc, l’optimisation de la taille d’un ellipso¨ıde, obtenu `a partir du calcul du crit`ere de d´eterminant, ne permet pas de diff´erencier la taille de deux ellipso¨ıdes. En revanche, l’utilisation du crit`ere de trace permet de diff´erencier entre ces deux ellipso¨ıdes mˆeme dans le cas o`u leurs volumes sont ´egaux (trace(ξ1) = l1+l2 = 5 cm ; trace(ξ2) = l3+ l4 = 60.1 cm ; trace(ξ1) 6= trace(ξ2)).