L'usage repandu de logiciels educatifs d'apprentissage de la geometrie tels que Cabri-Geometre [Bau90, Bel92, Lab95] et Geometer's Sketchpad [Jac95] a conduit a l'avenement de la notion de geometrie dynamique [CG96, Tri96a], consacree par les deux sessions qui lui ont ete dediees au Congres des societes savantes mathematiciennes americaines en janvier 1995 (MAA-AMS Joint Meeting, San-Francisco). En e et, de tels logiciels depassent la simple transposition informatique du papier/crayon et des outils classiques de la geometrie commela regle, l'equerre et le compas, et permettent a l'eleve non seulement de construire une gure, mais aussi de l'animer par manipulation directe1tout en respectant continuellement les proprietes de nies. Dans cette optique, une gure geometrique dynamique peut ^etre consideree comme composee par:
{ Une speci cation geometrique, une gure geometrique au sens usuel, c'est-a-dire l'objet mathematique sous la forme d'une formule logique sous-jacente au dessin. { Une speci cation dynamique, exprimee par un ensemble d'objets animables,
c'est-a-dire un ensemble d'objets de base.
La geometrie dynamique s'interesse aux animations d'une gure, puisqu'il est at-tendu que, comme l'enonce Laborde C:
\Le trace a l'ecran d'un dessin attache a un objet geometrique doit garder au cours du deplacement ses proprietes spatiales rendant compte des pro-prietes geometriques de cet objet, [...]"
[Lab93] (page 91)
Il s'ensuit une nouvelle notion de gure geometrique dans laquelle si des objets sont relies entre eux par une propriete, alors cette propriete est conservee au cours de toute deformation de la gure.
Bien que comme le fait remarquer Capponi B:
\Cet aspect [...] change la nature du travail propose aux eleves. Ce n'est plus un simple dessin qui doit ^etre realise [...]"
[Cap93] (page 49)
1.1 Geometrie dynamique 13
force est de constater que ces changements sont bene ques. En e et, ils conduisent a une meilleure appropriation de la gure. Keaton M, professeur de mathematiques au St Mark's School of Texas, le con rme dans le bilan qu'il dresse apres 3 annees d'enseignement de la geometrie a l'aide de systemes de geometrie dynamique.
\[...], with interactive geometry software and its ability to alter a gure dynamically to produce virtually hundreds of examples quickly, the students were able to make signi cant discoveries [...]"
[Kea95] (page 64)
Cette capacite d'animer certains objets de la gure a conduit les utilisateurs de systemes de geometrie dynamique a s'interesser a la notion de lieux [Pet90, SG95]. Le lieu d'un objet est l'ensemble des positions prises par cet objet au cours d'une animation. L'exemple 1.1 illustre cette notion de lieu. Ce qui est virtuellement dicile pour bon nombre de personnes, c'est-a-dire d'imaginer les positions d'un objet au cours d'une animation, devient facile a apprehender gr^ace a ces systemes puisqu'il sut de deplacer un objet de la gure et d'observer les positions prises par l'objet vise. Certains logiciels comme par exemple Cabri-Geometre, permettent m^eme de tracer le lieu d'un objet. L'etude des lieux d'un objet d'une gure n'a pas qu'un but educatif. Il permet aussi de resoudre des problemes d'optimisation et d'explorer des modeles physique [CG95].
Exemple 1.1
Limacon de PascalLe limacon de Pascal est le lieu du point B, projection orthogonale du point U sur la droite L tangente au cercle (C) en A, lorsque le point A decrit le cercle (C). Il est dessine sur la gure 1.1.
C'est un programme geometrique qui produit de telles gures dynamiques. Des exemples de tels programmes geometriques sont les constructions realisees en Cabri-Geometre.
On peut distinguer deux types de programmation geometrique:
{ La programmation geometrique imperative.Dans l'approche imperative,la construc-tion d'une gure respectant des speci caconstruc-tions initiales particulieres est de nie par une succession d'etapes ordonnees. Les premiers objets construits, plus exacte-ment ceux dont la position a un caractere arbitraire, sont les objets de base qui servent a construire d'autres objets. Chaque etape utilise des objets deja
14 Resolution de contraintes geometriques
Fig. 1.1 { Limacon de Pascal (produit a l'aide de Cabri-Geometre II).
construits pour en produire un autre. Les objets animables sont ici les objets de base. Une gure geometrique dynamique peut ^etre representee dans cette ap-proche par un graphe oriente s'appuyant sur la relation de dependance suivante ou un objetA est dit directementdependant des objets B1;B2;::: ;Bnsi et seule-ment si la construction de ce dernier s'est basee sur les objets B1;B2;::: ;Bn2. { La programmation geometrique declarative. En programmation geometrique
de-clarative, la construction d'une gure geometrique est issue d'une speci cation logique de celle-ci et de la donnee d'un ensemble d'objets de base. Dans un lan-gage predicatif, on peut considerer de telles speci cations logiques sous la forme d'une conjonction de formules atomiques. Dans une vision ideale, les objets ani-mables devraient ^etre ceux qui peuvent ^etre potentiellement des objets de base.