Etirement

Transport d’une marche

Considérons le cas monodimensionnel d’une distribution du taux de présence de type marche d’escalier (soit la moitié d’un créneau). La marche est initialement située à x=0,1. La longueur du domaine est de 2. Le champ de vitesse est U(x)=exp[-5exp(-25x2)]. La vitesse est choisie de façon à créer une région de fort étirement suivi d’une région à étirement nul ; ce champ de vitesse et l’étirement adimensionnel correspondant sont tracés sur la figure 2.21.

Figure 2.21: A gauche : Vitesse imposée. A droite : Etirement adimensionnel imposé.

Le pas d’espace vaut 1/100, le pas de temps correspond à une condition CFL de 1 ; une condition de sortie est utilisée aux extrémités du domaine. La figure 2.22 présente (a) les résultats avec le schéma non modifié (b) les résultats avec le schéma modifié.

(a) (b)

Figure 2.22: Transport d’une marche d’escalier dans un écoulement d’étirement. (a) Calcul avec le schéma FCT non modifié. (b) Calcul avec le schéma FCT modifié. (⎯) Condition initiale.

(…)Position théorique.

Sans les modifications, le front s’étale progressivement au passage de la zone à fort étirement. Avec les modifications, le front conserve sa raideur, et l’écart de position entre les solutions numérique et théorique reste inférieur une cellule de calcul. Notons dans le cas (b) que l’interface s’étale sur trois cellules de calcul au passage de la région où l’étirement est le plus fort et qu’elle se raidit à nouveau dans la région où la vitesse redevient uniforme. Il faut noter qu’ici, la technique de conservation de la masse est désactivée car le champ de vitesse choisi n’est pas à divergence nulle.

Transport d’un rectangle dans un écoulement horizontal

Nous considérons maintenant un domaine de longueur 2 et de largeur 0,7 suivant la direction y. Le champ de vitesse est U(x,y)=exp[-5exp(-25x2)] et V(x,y)=0. Nous choisissons comme condition initiale un front avec un « coin » (C=0 en amont du front, C=1 en aval) pour tester la capacité du schéma modifié à transporter les fronts présentant des singularités de courbure. La figure 2.23a présente la position initiale du front ainsi que le champ de vitesse imposé. La figure 2.23b montre la position finale du front issu du calcul avec le schéma non modifié (les lignes d’iso-contours correspondent à C=0,01 et C=0,99). La figure 2.23c correspond au même calcul mais avec le schéma modifié. Enfin, la figure 2.23d représente la position théorique du front au même instant.

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2.23: Transport d’un “coin” dans un écoulement élongationnel. (a) Condition initiale. (b) Calcul avec le schéma non modifié. (c) Calcul avec le schéma modifié. (d) Position théorique du front.

Le « coin » s’est allongé et son angle d’ouverture a diminué à cause des différences de vitesse entre les points du front proches de la singularité de courbure et ceux situés plus loin de part et d’autre de celle-ci et qui sont transportés plus rapidement. L’étalement du front dans le cas de la figure 2.23b est de l’ordre de la taille du domaine (notamment le long de l’axe de symétrie), tandis que dans le cas de la figure 2.23c il reste inférieur à trois cellules de calcul. De plus, on peut noter le bon accord entre la position du front calculé (cas c) et celle du front théorique (cas d). Bien que la vitesse à l’interface soit rendue constante localement, elle ne l’est pas globalement. C’est pourquoi le front peut évoluer librement, tout en conservant une épaisseur faible. Notons cependant que ce cas est un peu particulier car les lignes de courant sont rigoureusement parallèles à la direction x du maillage : la direction de modification de la vitesse est en quelque sorte imposée. Afin de tester l’aptitude de la nouvelle méthode à transporter des fronts pour des orientations quelconques de la vitesse par rapport au maillage, le test suivant examine le transport d’un front présentant une région de forte courbure dans un champ d’étirement pur incliné.

Transport d’un rectangle dans un écoulement diagonal

Nous considérons maintenant un champ d’étirement dont les directions principales d’étirement forment un angle de 45 degrés avec les directions des lignes du maillage : U(x,y)=y-yH et V(x,y)=

x-xH (avec xH=yH=0,77 dans l’exemple choisi). Nous plaçons un rectangle incliné lui aussi à 45

degrés par rapport au maillage (voir figure 2.24). La figure 2.25 montre comment le schéma original se comporte dans cette situation. Le front s’étale sur plusieurs cellules de calcul dans la région du coin proche du point hyperbolique x=xH, y=yH. Si V

~

était calculé en utilisant les lignes du maillage on obtiendrait exactement les mêmes résultats car U (respectivement V) est constante le long des lignes du maillages y=constante (respectivement x=constante). Modifier V~en autorisant la détermination de x0 le long des lignes de courant permet de conserver la raideur du front comme

l’illustre la figure 2.26. On peut remarquer qu’un étalement subsiste au niveau des coins. La raison provient de la très forte courbure au niveau du coin qui, ajoutée au fait que les deux lignes C=0,5 ne sont plus séparées que par une distance de l’ordre de trois cellules de calcul (correspondant à l’épaisseur numérique habituelle de l’interface), empêche la procédure de correction d’annuler complètement l’étirement dans la région de transition.

Figure 2.24: Condition initiale : taux de présence et champ de vitesse.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figure 2.25: Transport d’un rectangle dans un écoulement d’étirement pur incliné à 45° U(x,y)=y- yH ; V(x,y)= x-xH ; xH=yH=0,77. Ici ˜ V =V. (iso-contours C=0.01-0,5-0.99; maillage 300×300).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Effet d’un champ de déformation pure 2D

Soit une distribution initiale du taux de présence caractérisée par la présence d’un rectangle de dimension 10×60 mailles au sein du domaine de calcul tel que C=1 à l’intérieur et 0 à l’extérieur, dans un domaine de dimensions 1×1. Le champ de vitesse est U(x,y)=x, et V(x,y)=-y. Le pas d’espace est fixé à 1/100. La figure 2.27a représente la position initiale du rectangle et le champ de vitesse imposé. Les figures 2.27b à 2.27d représentent respectivement la position théorique de ce rectangle à un instant donné, le taux de présence calculé avec le schéma non modifié et celui obtenu avec le schéma modifié. Ici la procédure de conservation de la masse est activée.

(a) (b) (c) (d)

Figure 2.27: Transport d’un rectangle dans un champ d’étirement pur. (a) Condition initiale. (b) Position théorique. (c) Calcul avec le schéma non modifié. (d) Calcul avec le schéma modifié.

Nous retrouvons sur la figure 2.27c la faiblesse principale de la méthode de suivi de front sans reconstruction : les fronts s’étalent sous l’effet de l’étirement. Avec les améliorations apportées, la raideur des fronts est bien préservée, et l’épaisseur de l’interface reste inférieure à 3 cellules de calcul. Pour évaluer la qualité de la conservation de la masse des différents schémas, l’écart de masse relatif Δm (calculé via l’équation 2.6) est comparé. Pour le schéma non modifié Δm=0,4% à l’instant représenté sur la figure 2.27 tandis que pour le schéma modifié Δm=0,03%. Cette dernière valeur est comme prévue inférieure au critère ΔmC=0,1% défini pour déclencher la procédure de

restauration de la masse (2.7).