Si la solution est approch´ee par des fonctions polynˆomiales discontinues aux interfaces des ´el´ements, il est possible d’introduire un d´ecentrage dans un sch´ema qui contient les int´egrales sur les arˆetes, en utilisant la valeur `a droite o`u `a gauche de l’arˆete, suivant la direction de l’´ecoulement. Lesaint et Raviart [42, 41] ont introduit une premi`ere m´ethode de ce type et donn´e des estimations d’erreur pour les syst`emes sym´etriques positifs de Friedrichs.
4.5.1 principe de la m´ethode
Dans le cadre de notre probl`eme de transport des contraintes (T), on d´esignera par Sh le sous-espace de L2(Ω)4s des tenseurs sym´etriques d’ordre 2, dont les composantes sont des fonctions polynˆomiales par morceaux surTh, et de degr´e inf´erieur ou ´egal `ak.
On recherche alorsτh∈Sh,τh=gh sur Γ− telle que :
(F V T4)h : X
K∈Th
(Aτh−f , σh)0,K +hMK−2 BK[τh], σhi∂K = 0 (4.75)
ceci pour toutγh ∈Sh,γh = 0 sur Γ−, et o`u gh est une approximation (au sens deTh) deg sur Γ−.
On a pos´e :
[σ] =σint−σextle saut d’une fonctionσ `a la travers´e d’une arˆete d’un ´el´ementK , o`uσint etσext sont les traces int´erieures et ext´erieures de σ sur∂K, respectivement.
BK =~u.~νK, o`u~νK est le vecteur de la normale unitaire sortante `aK sur ∂K.
D’autre part,MK v´erifie :
i) MK1 =MK2 sur∂K1∩∂K2, ceci∀K1, K2∈ Th
ii) MK ≥0 sur∂K iii) ∀τ, γ∈IR4s :
(MK−BK)τ:γ≤MKτ:τ +cγ:γ (4.76) o`u c est une constante ind´ependante deh et des donn´eesf etg.
Remarque 4.5 choix de MK Il est possible de prendre
MK=|BK|sur∂K (4.77) mais nous verrons que ce n’est pas le seul choix possible. ✷
Remarque 4.6 sur les discontinuit´es
Si la solution exacte τ est r´eguli`ere, nous esp´erons que la solution ap-proch´ee de (F V T4)h le sera aussi. Dans ce sens, nous avons ajout´e `a la formulation classique un terme a priori petit :
1
2hMK−BK[τh], σhi∂K (4.78) exprimant les discontinuit´es de la solution approch´ee aux interfaces des
´el´ements. ✷
4.5.2 R´esolution du probl`eme approch´e; monotonie
Avec le choix (4.77) de MK, et du fait de la discontinuit´e des fonctions de Sh, le probl`eme se d´ecompose en une famille de probl`emes ´el´ementaires : trouver τh ∈Sh tel que
(Aτh−f , σK)0,K − h(~u.νK)[τh], σKi∂K− (4.79) ceci ∀σK ∈Pk(K),∀K ∈T h, et o`u∂K− d´esigne la partie fronti`ere deK o`u le flux de~u est entrant :
∂K−={x∈∂K; (~u.~νK)(x)<0} (4.80) Lorsque l’´ecoulement ne contient pas de lignes de courant ferm´ee, il sera possible de r´esoudre le probl`eme en un balayage du maillage, partant des ´el´ement situ´es `a l’amont, et suivant les lignes de courant (en num´erotant convenablement les ´el´ements, par exemple). Dans le cas g´en´eral, on montre que ce probl`eme admet une solution unique (voir [41, 42]).
Johnson et Pitk¨aranta ont montr´e [35] que l’erreur associ´ee au sch´ema (F V T4)h est enO(hk+12) pour la normeL2 de l’erreur, et en O(hk+1) si la triangulation est uniforme.
Remarque 4.7 cas des ´el´ements de plus bas degr´e
Ce dernier r´esultat de convergence nous permet de consid´erer la m´ethode pourk= 0, correspondant `a des solution approch´ees constantes par ´el´ement. ✷
Enfin, pour k ≤1, et le choix (4.77) de MK, ce sch´ema est monotone, alors que pour k≥2, cette propri´et´e n’est plus conserv´ee [25].
4.5.3 Exemple monodimensionnel
Reprenons l’exemple monodimensionnel (4.29)-(4.30) du paragraphe 4.2.3. L’espace de dimension finieShest compos´e des fonctions dont la restriction `
a chaque intervalle [jh,(j+ 1)h], 0≤j ≤I −1 est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a k.
La m´ethode de Galerkin discontinue nous conduit `a chercher τh ∈ Sh, τh(0) =g tel que : I−1 X j=0 Z (j+1)h jh (∂τh ∂x +ǫτh)σhdx + 1 +θj 2 (τ + j −τj−)σj++ 1−θj+1 2 (τ + j+1−τj−+1)σ−j = 0 (4.81) pour toutσh ∈Sh,σh= 0 sur Γ−.
On a not´e, ∀j, 0≤j ≤I : σ+j = lim x→jh x>jh σh(x) et σ−j = lim x→jh x<jh σh(x)
et les quantit´esθj sont positives et repr´esentent les nombresMK(jh). Le syst`eme (4.81) contient (k+ 1)I ´equations et autant d’inconnues. Remarquons que le choix
θj = 1, 0≤j≤I
conduit `aI probl`emes ind´ependants, comportant chacun k+ 1 inconnues :
Z (j+1)h jh (∂τh ∂x +ǫτh)σjdx+ (τ + j −τj−)σj = 0 (4.82) pour toutσj ∈Pk(jh,(j+ 1)h), 1≤j≤I.
La solution τh ∈Sh de (4.82) v´erifie la majoration d’erreur [42] :
kτ −τhkL2(0,1) ≤chk+1kτkHk+1(0,1) (4.83) ceci ∀k≥0. Ceci nous permet d’utiliser des fonctions constantes par inter-valle (k= 0).
Consid´erons `a pr´esent, pourk= 0, le choixθj =θ≥0,θ0≥0 etθI = 1. Le probl`eme (4.81) conduit au syst`eme :
ǫhτ1 2 +1 +θ0 2 (τ12 −τ0) +1−θ 2 (τ32 −τ1 2) = 0 (4.85) ǫhτj+1 2 + 1 +θ 2 (τj+12 −τj−1 2) +1−θ 2 (τj+32 −τj+1 2) = 0, (4.86) 1≤j ≤I−1 ǫhτI−1 2 +1 +θ 2 (τI+12 −τI−3 2) = 0 (4.87) o`uτj+1
2 d´esigne la valeur deτh sur l’intervalle ]jh,(j+ 1)h[. Ce sch´ema n’est monotone pour toute valeur de ǫque si θ≥1.
Cette m´ethode co¨ıncide avec un sch´ema aux diff´erences finies o`u les d´eriv´ees sont ´evalu´ees en :
xj+1
2,θ = (j+ 1−θ 2 )h
Ce sch´ema est d’autant plus d´ecentr´e vers l’amont que θest grand. Lorsque θ6= 0 ou 1, on peut montrer [41] que l’erreur est au mieux enO(h12).
Le sch´ema centr´e correspond `a θ0 =θI = 1 etθj = 0, 0≤j≤I−1, et la solution approch´ee τh v´erifie alors l’estimation d’erreur [41] :
kτ−τhk0,Ω+|τ((I−1
2)h)−tauI−1
2| ≤chkτk2,Ω (4.88) Le sch´ema d´ecentr´e classique est obtenu pour θj = 1, 0 ≤ j ≤ I, l’estimation (4.83) s’applique l’erreur est enO(h), et le syst`eme s’´ecrit :
τ0 =g (4.89) ǫhτ1 2 +τ1 2 −τ0 = 0 (4.90) ǫhτj+1 2 +τj+1 2 −τj−1 2 = 0, 1≤j≤I−1 (4.91) dont la solution est :
τj+1
2 = (1 +ǫh)−j−1, 0≤j≤I−1 (4.92) et est repr´esent´ee sur la figure 4.7. On pourra comparer ces r´esultats avec ceux des figures 4.1 et 4.2.
Ainsi, les m´ethodes les plus pr´ecises correspondent `a θ = 0 (sch´ema centr´e) et θ = 1 (sch´ema d´ecentr´e), pour lequelles la m´ethode de plus bas degr´e conduit `a une erreur enO(h). Seul le sch´ema d´ecentr´e est monotone pour toute valeur de ǫ, , et correspond au choix (4.77) deMK.
Figure 4.7: M´ethode discontinue
4.5.4 Relation avec la m´ethode des diff´erences finies
Reprenons l’exemple bidimensionnel paragraphe 4.4.3. L’espace de dimen-sion finie Sh est compos´e des fonctions dont la restriction `a chaque carr´e Kl,m est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `ak. Nous allons consid´erer le cas des ´el´ements de plus bas dgr´e (k = 0) et le choix (4.77) de MK. Le sch´ema obtenu sur une maille int´erieure au domaine est :
(ul+1,m+1 2 − |ul+1,m+1 2|)(τl+3 2,m+1 2 −τl+1 2,m+1 2) + (vl+1 2,m+1− |vl+1 2,m+1|)(τl+1 2,m+3 2 −τl+1 2,m+1 2) + (ul,m+1 2 +|ul,m+1 2|)(τl+1 2,m+1 2 −τl−1 2,m+1 2) + (vl+1 2,m+|vl+1 2,m|)(τl+1 2,m+12 −τl+1 2,m−12) + 2νhτl+1 2,m+1 2 = 2hfl+1 2,m+1 2 (4.93)
Il est facile de v´erifier que ce sch´ema est monotone, du fait de la relation d’incompressibilit´e discr`ete (2.168) associ´e `a l’interpolation du champ de vecteur~u ∈Vh par la m´ethode Marcker and Cell. Il s’agit du sch´ema aux diff´erences finies“Donor Cell” (sch´ema d´ecentr´e, aux grilles entrecrois´ees).
Remarquons encore que si l’une des composantes du champs de vecteur ~u est de signe constant, la r´esolution est quasi-explicite.
4.5.5 conclusion
La m´ethode de Galerkin discontinue conduit `a des sch´emas monotones pour les ´el´ements de degr´e 0 ou 1. De plus, cette m´ethode est pr´ecise, et s’applique `
a des triangulations compos´ees de triangles ou de quadrilt`eres.
D’autre part, lorsqu’il n’existe pas de lignes de courant ferm´ees, il est possible, avec une num´erotation appropri´ee, de r´esoudre le probl`eme de fa¸con quasi-explicite.