2.3 Calcul d'une base modale et méthode de recomposition
3.1.3 La methode SIMP
Les méthodes d'homogeneisation decrites dans les sections precedentes peuvent paraître di ciles ?a mettre en oeuvre et inadaptees aux probl?emes reels. On passe en eet beaucoup de temps à introduire la théorie de l'homogénéisation, à dé nir une microstructure optimale et des formules complexes pour mettre à jour les diérentes variables, alors qu'à la n on oublie tout ce qu'on a fait précédemment puisqu'on pénalise et on élimine le matériau composite.
Bendsøe [7], puis Rozvany, Zhou et Sigmund [49] et en n Yang et Chuang [66], ont alors introduit une méthode plus simple, la methode SIMP (Solid Isotropic Ma- terial with Penalization), appelée aussi méthode des matériaux ctifs, qui s'av?ere bien fonctionner en pratique.
La methode SIMP consiste aussi ?a utiliser une densité continue plutôt qu'une forme réelle. Toutefois, on supprime dans ce cas le concept délicat de la microstruc- ture (puisqu'à la n toutes les densités intermédiaires doivent etre éliminées par
la pénalisation) et on travaille avec un matériau ctif, en prenant en un point x
de , une valeur A
(
x) arbitraire pour une densité volumique (x) 2 [0;1], qui ne
correspond pas forcément à un matériau composite existant. Plus précisément, on
considère, pour tout x2,
A ( x) = [(x)] p A 0 ; (3.9) 0 (x) 1; (3.10) avec p>1.
Ainsi, si on discrétise en espace (utilisation du maillage de conception), la densité
i et les propriétés
A
i du matériau ctif utilisé dans chaque élément de conception
sont données, pour i= 1;::: ;N, par
i = i 0 ; (3.11) A i= i p A 0 ; (3.12) avec 0 i 1; i = 1;::: ;N, 0 et A
0 les propriétés du matériau de depart. Le
problème (3.1) se réécrit alors sous la forme : min
2[0;1] N
f() (3.13)
sous les contraintes
g i( ) 0 i2I; h i( ) = 0 i2E: 58
3.1 Les méthodes de distribution de mati?ere sur un maillage de
conception
Contrairement aux methodes d'homogeneisation présentées dans la partie pré- cédente, il n'est pas necessaire de penaliser a posteriori les densites intermediaires de la structure optimale obtenue pour la classe large des problèmes consistant à minimiser la masse en maximisant la raideur. On peut en eet montrer que, lorsque
p > 1, les densites intermediaires auront naturellement tendance ?a prendre les va-
leurs 0 ou 1. Pour expliquer cela, on a represente sur la gure 3.12 la masse et la
raideur du materiau ctif en fonction de
i, la masse etant proportionnelle ?a la den-
site
i et la rigidite proportionnelle ?a
p
i. On peut voir que pour
p >1 les densites
intermediaires ne sont pas favorables dans le sens o?u elles correspondent ?a une ri- gidite faible comparee à la masse du materiau (situation opposee ?a notre objectif qui est, dans la plupart des cas, la maximisation d'une raideur avec minimisation de la masse de la structure). Avec cette formulation du probl?eme d'optimisation topo- logique, un algorithme d'optimisation locale cherchera ?a deplacer vers du materiau
plein les elements de conception tels que la valeur
i correspondante est proche de 1
pour l'iteration courante (gain signi catif en rigidite pour une petite perte du point de vue masse) et, de la meme fa con, cherchera ?a deplacer vers du vide les elements
tels que la valeur
i correspondante est proche de 0 pour l'iteration courante (faible
perte de rigidite pour un gain signi catif du point de vue masse).
On peut d?es lors supposer que la qualite de la solution obtenue sera fortement dependante de la solution initiale. Nous etudierons cet aspect par la suite.
Rigidite Masse
0 1
Fig. 3.12 Representation de la masse et de la rigidite de la structure en fonction
de la densite
i.
Remarque :
Nous avons vu, que contrairement aux methodes d'homogeneisa- tion, le mod?ele SIMP utilise les proprietes d'un materiau ctif et ne peut donc pas toujours etre interprete physiquement. On peut alors se demander si en choisissantune puissance p particuli?ere, on ne pourrait pas trouver un materiau, par exemple
composite, dont les proprietes veri ent (3.9) et (3.10). Il est demontre dans [10] et [12] que le mod?ele SIMP peut etre considere comme un mod?ele de materiau si la
Chapitre 3 : Méthodes d'optimisation topologique
puissance psatisfait p max 2 1? 0 ; 4 1 + 0 (en 2D); p max 15 1? 0 7?5 0 ; 3 2 1 ? 0 1?2 0 (en 3D); (3.14) o?u0 est le module de Poisson du materiau de depart.
Rappelons que nous devons egalement tenir compte, dans le choix de p, du fait
qu'une forme bien pénalisée (sans densite intermediaire) n'est obtenue qu'avec une
valeur de passez grande (d'apr?es [12], en general p>3). On observe toutefois dans
les tests qu'une penalisation trop sev?ere des densites intermediaires peut conduire ?a des minima locaux et ?a des formes tr?es sensibles au choix du point initial. Il est donc
conseille dans [12] d'utiliser une suite de valeurs croissantes pour p et de démarrer
l'optimisation pour une valeur de pdonnée, à partir de la solution optimale trouvée
pour la valeur précédente de p. On recommande de plus d'utiliser une methode au
cours de laquelle la valeur de p est augmentee lentement, a n qu'elle atteigne la
valeur souhaitee (satisfaisant nos crit?eres) aux derni?eres iterations. Cette stratégie ne garantit pas une forme sans densité intermédiaire, meme si elle donne de bons résultats dans la plupart des cas [12].
L'approche SIMP, bien que moins sophistiquée que les méthodes d'homogénéisa- tion du point de vue de la théorie physique sous-jacente, est tr?es simple ?a mettre en oeuvre et a l'avantage d'etre generale car aucune hypothèse sur la forme du problème n'est nécessaire (contrairementaux méthodes d'homogénéisation). On peut ainsi voir dans [12] (ou [67] pour des exemples dans l'industrie automobile) qu'elle permet de traiter des objectifs multiples et des probl?emes multidisciplinaires. Un exemple est aussi donne dans [11] et [54] sur la prise en compte de plusieurs materiaux pour l'optimisation de la forme d'une structure mecanique. En n, notons que Bendsøe et Sigmund proposent dans [12] un critère (généralisation en dynamique du critère statique de compliance dé ni au chapitre 2) permettant de prendre en compte des contraintes dynamiques de type réponses forcées.
D'autres méthodes, utilisant également un matériau ctif mais un autre schéma
d'interpolation pour l'expression (3.9) des coe cients A
, sont décrites dans [12,
pages 60 à 67]. Ces techniques, moins utilisées et moins faciles à mettre en oeuvre que la méthode SIMP, peuvent toutefois présenter des avantages pour la résolution de certains problèmes spéci ques.