Notons que les probl`emes P-Prob et P-Prob1 sont ´equivalents. Dans ce qui suit nous allons garder la notation P-Prob. Pour ces deux probl`emes la fonction objectif peut ˆetre exprim´ee par l’expression (5.22). Dans les sections suivantes nous d´ecrivons les m´ethodes de r´esolution de ce probl`eme.
5.2
M´ethode d’optimisation pour P-Prob
5.2.1
Calcul des bornes pour les tailles de lots
Dans cette section, nous montrons comment calculer des bornes inf´erieure et sup´erieure pour les tailles des lots (Dolgui et al. (2005)). Ces bornes seront utilis´ees pour l’´evaluation de chaque solution r´ealisable.
Supposons que nous avons une solution avec le niveau de service β, c.-`a-d. la probabilit´e de satisfaire la demande globale est ´egale `a β. Alors une autre solution est int´eressante uniquement si son niveau de service est sup´erieur o`u ´egal `a β, c.-`a-d. que le niveau de service de chaque produit pris s´epar´ement doit ˆetre sup´erieur ou ´egal `a β :
P (xbi ≥ di | xi) ≥ β
Le mˆeme raisonnement s’applique quand un niveau de service minimal de la ligne est fix´e depuis le d´ebut, c.-`a-d. nous avons `a chercher des solutions avec le niveau de service global plus grand que (ou ´egal `a) ce niveau de service minimal fix´e. Soit β ce niveau de service donn´e, alors nous pouvons trouver les quantit´es minimales xmin
i de pi`eces de chaque type `a lancer en fabrication :
xmini = minz| P (xbi ≥ di|z) ≥ β, z = di, di+ 1, . . .
(5.23) en utilisant l’equation (5.6).
5.2. M´ethode d’optimisation pour P-Prob Dans (5.23) xmin
i est la taille du lot i, telle que la probabilit´e de satisfaire la demande di soit sup´erieure ou ´egale `a β. Quand la valeur de β est connue, une solution est consid´er´ee comme r´ealisable si nous avons suffisamment de temps pour fabriquer au moins xmin
i pi`eces de chaque type i = 1, 2, . . . , n.
De la mˆeme fa¸con, la taille maximale xmax
i pour chaque lot peut ˆetre calcul´ee comme suit :
xmaxi = minz| P (xbi ≥ di|z) ≥ 1 − δ, z = di, di+ 1, . . .
(5.24) o`u δ est une valeur relativement petite, δ > 0. La valeur de xmax
i est la taille minimale du lot i telle que la probabilit´e d’obtenir au moins di composants de bonne qualit´e soit suffisamment proche de 1. Dans un certain nombre de cas, la borne sup´erieure xmaxi peut ˆetre am´elior´ee en utilisant la valeur xuppi suivante :
xuppi = minxmaxi , xmini + Ts(π, xmin)/ti
(5.25) o`u xmin = (xmin
1 , . . . , xminn ). Nous utilisons cette condition compl´ementaire (5.25) puisque dans certains cas la valeur de xmax
i calcul´ee suivant (5.24) peut ˆetre tr`es grande. La valeur xmin
i + Ts(π, xmin)/ti repr´esente la quantit´e maximale de composants de type i que nous pouvons r´eellement fabriquer sous les conditions suivantes : les tailles des autres lots sont les plus petites possibles (xminj ), o`u j = 1, . . . , n, i 6= j ; il n’y a pas de temps perdu, c.-`a-d. aucune machine n’est tomb´ee en panne.
5.2.2
D´ecomposition
Une approche de d´ecomposition pour le probl`eme P-Prob `a ´et´e propos´ee par Dolgui et al. (2005). Ici, nous allons bri`evement la pr´esenter sous une autre forme, et en utilisant l’exemple du Chapitre 2. La d´ecomposition nous permet de r´esoudre le probl`eme P-Prob comme indiqu´e dans la figure 5.8, o`u le premier niveau est une simple ´enum´eration. Au deuxi`eme niveau, nous avons un cas particulier du probl`eme du Voyageur de commerce(VdC) et au troisi`eme niveau nous obtenons une modification du probl`eme de Sac `a Dos (Knapsack problem en anglais).
Soit Π l’ensemble de toutes les permutations π sur {1, 2, . . . , n} et X = X1×X2×. . .×Xn. Chaque Xi = [xmini , x
upp
i ] est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de xi, c.-`a-d. l’ensemble des tailles de lot possibles pour le produit i, i = 1, . . . , n. Soit (π∗, x∗) la solution optimale du probl`eme initial (nomm´e P-Prob). Rappelons que la fonction objectif du probl`eme P-Prob est repr´esent´ee par l’´equation (5.22).
Figure 5.8 – Sch´ema de d´ecomposition
Le premier niveau de d´ecomposition consiste en la s´eparation du probl`eme P-Prob en n sous-probl`emes ´equivalents P-Prob-P(i), i = 1, . . . , n. Pour le P-Prob-P(i) le dernier lot dans la s´equence π∗ recherch´ee correspond au produit i, i = 1, . . . , n (c.-`a-d. π∗n = i). Nous obtenons tous les n probl`emes P-Prob-P(i), i = 1, . . . , n par une simple ´enum´eration.
Soit Π(i) l’ensemble de toutes les permutations π = (π1, π2, . . . , πn) tel que πn= i. Alors le probl`eme P-Prob-P(i) peut ˆetre formul´e de la fa¸con suivante :
Probl`eme P-Prob-P(i) :
Maximiser P xbπ j ≥ dπj| (π, x) = n−1 Y j=1 P (xbπ j ≥ dπj|xπj) × P xbi ≥ di|xi, Tnr(π, x) (5.26) o`u (π, x) ∈ Π(i) × X.
La r´esolution de chaque probl`eme P-Prob-P(i) donne une solution optimale (s´equence et tailles de lot) pour le cas πn = i, c.-`a-d. quand i est le dernier lot `a fabriquer. Lorsque tous les probl`emes P-Prob-P(i) sont r´esolus (i = 1, . . . , n), n solutions ”optimales” sont obtenues. Nous pouvons choisir la meilleure parmi elles, elle sera la solution optimale (π∗, x∗) du probl`eme P-Prob.
Chaque probl`eme P-Prob-P(i), `a son tour, peut ˆetre d´ecompos´e en deux sous-probl`emes : P-Prob-P1(i) et P-Prob-P2(i).
Donnons les d´efinitions de ces probl`emes. Quand le dernier lot πn= i est fix´e, la s´equence des lots n’a d’influence que sur la valeur du temps de traitement total, c.-`a-d. sur la proba-
5.2. M´ethode d’optimisation pour P-Prob bilit´e P xb
n≥ dn | xn, Tnr(π, x) utilis´e dans la fonction objectif. Alors la minimisation du temps total de set-up va augmenter cette probabilit´e et n’aura aucun effet sur les autres parties de la fonction objectif. Pour optimiser la s´equence des lots, quand le dernier lot est connu, il faut r´esoudre le probl`eme suivant :
Probl`eme P-Prob-P1(i) : Trouver une s´equence π∗i pour
Maximiser S (π) = s0,π1 +
n−1 X j=1
sπj−1,πj+ sπn−1,i, π ∈ Π(i) (5.27)
Ce probl`eme est ´equivalent au probl`eme du VdC. La minimisation de S (π) correspond `
a trouver le chemin Hamiltonien le plus court dans un graphe orient´e complet (si les arcs du graphe sont ´evalu´es par le temps de set-up entre les deux produits correspondants).
Supposons alors que la s´equence π∗i qui minimise la somme (5.27) a ´et´e trouv´ee, et que nous avons num´erot´e les lots conform´ement `a cette s´equence. Nous pouvons alors formuler le probl`eme P-Prob-P2(i) correspondant.
Probl`eme P-Prob-P2(i) : Trouver les tailles de lots x∗ = (x1, x2, . . . , xn) pour : Maximiser P xbj ≥ dj | (π∗i, x) = (5.28) n−1 Y j=1 P (xbj ≥ dj | xj) × P xnb ≥ dn| xn, Tnr(π∗i, x)
L’augmentation du nombre de pi`eces dans un lot j entraˆıne l’augmentation de la proba- bilit´e P (xb
j ≥ dj | xj), mais diminue le temps Tnr donc peut diminuer la probabilit´e finale. Dolgui et al. (2005) ont montr´e comment transformer ce probl`eme en une modification du probl`eme ”Sac `a Dos” et ont propos´e une approche de programmation dynamique pour le r´esoudre (voir l’annexe D).
5.2.3
Un exemple
En utilisant l’exemple du chapitre 2, nous allons montrer un exemple de recherche de la solution optimale pour chaque dernier lot fix´e. La proc´edure de programmation dynamique de Dolgui et al. (2005) a ´et´e utilis´ee (cod´ee en C++, voir l’annexe D.2) pour r´esoudre les sous-probl`emes P-Prob-P2(i), i = 1, . . . , n. Pour les sous-probl`emes P-Prob-P1(i) nous
avons utilis´e un algorithme g´en´etique, qui a ´et´e lanc´e 50 fois pour chaque i = 1, . . . , n avec 400 g´en´erations dans chaque lancement. Le r´esultat retenu est la meilleure solution trouv´ee parmi les 50 solutions obtenues. Le tableau 5.1 montre les meilleures s´equences π∗i obtenues pour chaque probl`eme P-Prob-P1(i). La derni`ere colonne contient le temps total de set-up S(π∗i).
Table 5.1 – Solutions π∗i pour les probl`emes P-Prob-P1(i)
Num´ero dans la s´equence Temps de Probl`emes 1 2 3 4 5 6 7 8 set-up(sec)
P1(1) 5 6 3 8 7 2 4 1 2 P1(2) 1 6 3 5 4 8 7 2 1,92 P1(3) 1 2 5 4 8 7 6 3 1,9 P1(4) 1 6 3 8 7 2 5 4 1,91 P1(5) 1 6 3 8 7 2 4 5 1,93 P1(6) 1 3 5 2 4 8 7 6 1,95 P1(7) 1 6 3 5 2 4 8 7 1,91 P1(8) 1 6 3 5 7 2 4 8 1,96
Le tableau 5.2 montre les solutions optimales pour chaque probl`eme P-Prob-P2(i), i = 1, . . . , n. La derni`ere colonne donne la probabilit´e de satisfaction de la demande (niveau de service pour chaque probl`eme). Dans les colonnes 2 - 9, nous avons les tailles de lot correspondantes.
Table 5.2 – Solutions x∗i pour des probl`emes P-Prob-2(i)
Num´ero de lot Probabilit´e Probl`emes 1 2 3 4 5 6 7 8 finale
P2(1) 41 54 72 100 58 92 123 46 0,969547 P2(2) 39 56 72 100 57 92 123 46 0,966277 P2(3) 39 54 73 99 57 92 123 46 0,964216 P2(4) 38 53 72 101 57 92 122 46 0,960182 P2(5) 39 54 72 100 60 92 123 46 0,968483 P2(6) 39 54 72 99 57 94 123 46 0,963894 P2(7) 39 54 72 100 57 92 125 46 0,965109 P2(8) 39 54 72 100 58 92 123 49 0,974574
5.3. R´esolution du probl`eme P-Prob-P2(i)