L
a principale difficult´e li´ee `a l’´etude de la physique de la mati`ere condens´ee est dueau grand nombre de particules qui composent les syst`emes. Partons du point o`u un syst`eme se trouve `a l’´equilibre thermodynamique. Dans ce cas, nous pouvons utiliser la physique statistique. L’id´ee repose alors sur la connaissance de la fonction de partition dans un ensemble statistique donn´e, et `a partir duquel les observables physiques que nous souhaitons ´etudier pourront ˆetre moyenn´e. La connaissance de cette fonction de partition n´ecessite de sommer sur l’ensemble des ´etats microscopiques du syst`eme. En th´eorie, ces ´etats sont solutions de l’´equation de Schr¨odinger, mais le nombre d’´etats est si grand qu’il est impossible de r´ealiser cette somme. Ce probl`eme peut paraitre inextriquable, il trouve n´eanmoins une solution en conc´edant `a certaines approximations. Aussi, nombre de m´ethodes th´eoriques ont vu le jour dans l’´etude des syst`emes de la mati`ere condens´ee [123]. On peut citer la m´ethode de champ moyen, le groupe de renormalisation, les fonc-tions de Green, les matrices de transfert, etc...Depuis les ann´ees 1950, une nouvelle approche a vu le jour avec la d´emocratisation et les avanc´es spectaculaires de l’informatique. Il s’agit des m´ethodes de simulations num´eriques qui viennent aujourd’hui compl´eter l’exp´erimentation et la th´eorie [23][29][26].
Pour aborder le probl`eme du point de vue num´erique nous devons en particulier r´epondre `a deux questions :
Dans un premier temps, comment faire converger le syst`eme vers un r´egime hors ´equilibre mais stationnaire ? Dans un second temps, une fois ce r´egime stationnaire atteint, com-ment moyenner les observables pertinentes dans le cadre de notre ´etude ? C’est deux questions font l’objet des sections 1.4.1 & 3.2.1 qui vont suivre.
1.4.1 El´ements de physique statistique
La physique statistique repose sur l’´etude de syst`eme `a l’´equilibre dans un ensemble statistique. Il existe plusieurs ensembles, en ce qui nous concerne, nous nous sommes int´eress´es `a l’´etude de nos syst`emes dans l’ensemble canonique [N, V, T ] dans lequel un syst`eme est caract´eris´e par un nombre de particules N , un volume V , ainsi qu’une temp´erature T fix´e. Comme nous l’avons d´ej`a soulign´e, l’approximation des grandeurs thermodynamiques est conditionn´ee par la connaissance de la fonction de partition Z :
Z = N X i=1 e E(Ci) avec = 1 kBT (1.51) o`uN correspond au nombre total de micro´etats et kB est la constante de Boltzmann. La fonction de partition repr´esente la somme des probabilit´es li´ees `a chacun des ´etats
microscopiques. Le poid statistique d’un ´etat particulier Ci s’´ecrit donc tel que : P (Ci) = e
E(Ci)
Z (1.52)
Ainsi, la moyenne d’une grandeur particuli`ere A a pour expression :
hAi = N X i=1 A(Ci)P (Ci) = N X i=1 A(Ci)e E(Ci) Z (1.53) Nous verrons dans ce qui suit que les fluctuations des grandeurs thermodynamiques s’av`erent extrˆemement importantes en ce qui concerne l’interpr´etation de la physique. Comme pr´ec´edemment, prenons une grandeur particuli`ere A soumise `a une excitation B. La fluctuation de A lorsque celle-ci est soumise `a B s’´ecrit tel que :
@ < A >
@B (1.54)
il s’agit de la r´eponse ou suceptibilit´e de < A > `a B. L’´ecart-type ´etant les fluctuations autour de la moyenne, il est ais´e d’´etablir l’expression de la suceptibilit´e de la grandeur A : ⌦ (A < A >)2↵ = < A2 > < A >2 (1.55) < A > = 1 @ln(Z) @B = 1Z0 Z B (1.56) < A2 > = 12Z00 Z B (1.57) < A2 > < A >2 = 12 Z00 Z Z02 Z2 ! = 1 @ < A > @B (1.58) @ < A > @B = < A 2 > < A >2 (1.59) Lors des simulations il sera indispensable de calculer des grandeurs telles que l’´energie interne du syst`eme, l’aimantation (notre param`etre d’ordre), la suceptibilit´e magn´etique et la capacit´e calorifique. Un r´ecapitulatif des di↵´erentes grandeurs physiques est donn´e ci-dessous :
Z(T, B) # Energie libre : F = kBT ln(Z) . # &
Energie interne : Entropie : Aimantation : E = @ln(@Z) S = @@TF B M = @@B TF
# #
Capacit´e calorifique : Suceptibilit´e magn´etique : Cv = @E@T B = kB 2 ⇣ @2ln(Z) @ 2 ⌘ = @M@B T = ⇣ @2ln(Z) @ 2 ⌘
Mod`eles th´eoriques
2.1 Introduction
L
’´etude li´ee `a la di↵usion des ´electrons dans la mati`ere est `a ce jour un vieu probl`emepour lequel de nombreuses questions restent en suspend `a ce jour. De nombreuses ´etudes exp´erimentales et th´eoriques ont tent´e d’identifier l’origine du comportement de r´esistance en fonction de grandeurs thermodynamiques telles que temp´erature, pres-sion, etc... Nous allons voir que derri`ere l’´evolution de la r´esistance, il existe plusieurs m´ecanismes `a l’origine des formes prises par cette grandeur physique. En e↵et, la r´esistance d’un mat´eriau peut ˆetre d´efinie comme la capacit´e de r´esister aux porteurs qui traversent la mati`ere. Ajoutons que les ´electrons se propagent `a travers un mat´eriau en interagis-sant avec les atomes de ce mat´eriau. Un gradient de temp´erature, un dopage du mat´eriau, des d´efauts cristallins, une contrainte m´ecanique ou encore la g´eom´etrie d’un ´echantillon peuvent induire une modification intrins`eque des propri´et´es de transport du mat´eriau `a l’origine de la r´esistance. Historiquement, la premi`ere source de di↵usion `a avoir ´et´e mise en ´evidence, est la di↵usion par les phonons, fonction de la temp´erature. Plus la temp´erature est ´elev´ee, plus le r´eseau d’atomes est fortement vibr´e, plus le mat´eriau a une r´esistance ´elev´ee. A basse temp´erature, R / T5, et au-del`a de la temp´erature de Debye, c’est-`a-dire lorsque tous les modes de phonons sont activ´es, R/ T (loi de Bloch) [102][95]. Une seconde source de di↵usion est li´ee `a l’ordre g´eom´etrique du r´eseau. En ef-fet, la p´eriodicit´e et la puret´e d’un r´eseau cristallin influent sur la di↵usion. La troisi`eme source de di↵usion concerne les mat´eriaux magn´etiques qui pr´esentent une aimantation spontan´ee `a basse temp´erature (ferromagn´etique, ferrimagn´etique, antiferromagn´etique, etc). Dans ces mat´eriaux la temp´erature va progressivement d´etruire l’ordre magn´etique des ions du r´eseau et a↵ecter leur r´esistance. Loin au-dessous de la temp´erature de tran-sition magn´etique, il a ´et´e mis en ´evidence que les ondes de spins jouent un rˆole sur la di↵usion des porteurs, ayant pour cons´equence d’augmenter la r´esistance par un terme R/ T2. A l’approche de la temp´erature de transition, le rˆole des fluctuations critiques des spins du r´eseau est encore mal compris et reste un sujet controvers´e : si certains mat´eriaux exhibent un pic de r´esistivit´e `a la transition, d’autres n’en pr´esentent pas. Pour l’exemple, nous pr´esentons deux courbes de r´esistivit´e en fonction de la temp´erature. La premi`ere, figure 2.1A, ne pr´esente pas de pic `a la transition (seule sa derriv´ee par rapport `a la temp´erature en pr´esente un), la seconde, figure 2.1B, en pr´esente un. L’ensemble de cette th`ese se concentre sur cette r´egion de temp´erature, avec un accent particulier sur les pa-ram`etres intervenant `a proximit´e de la transition.Figure 2.1 – A : R´esistivit´e d’un ´echantillon de nickel en fonction de la temp´erature. La r´esistivit´e ne pr´esente pas de pic `a Tc, seule sa d´eriv´ee par rapport `a la temp´erature en pr´esente un. Courbe tir´ee de l’article de Schwerer et al. [102]. B : R´esistivit´e du semiconducteur La0.7 xYxCa0.3M nO3 pour di↵´erentes stœuchiom´etries x en fonction de la temp´erature. Cette courbe est tir´ee de l’article de Souza et al. [107].