Une m´ethode mixte traite `a ´egalit´e d’importance les d´eplacements et inter-efforts aux interfaces. Une m´ethode mono-´echelle de ce type est d´ecrite dans [Champaney et al. 97, Dureisseix et Champaney 00]. C’est d’ailleurs cette version qui a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre le probl`eme de simulation d’une tranche d’´eprouvette composite au chapitre 1.3.3. La particularit´e de ces approches est qu’elles font jouer un rˆole important aux interfaces, qui sont des entit´es m´ecaniques `a part enti`ere, avec leur propre comportement. Une cons´equence est l’introduction modulaire d’autres comportements d’interface, pour traiter en particulier les probl`emes de contact avec frottement [Cham-paney et al. 99].
Une premi`ere version multi-´echelles, valable pour des structures faible-ment h´et´erog`enes, a ensuite ´et´e mise en place dans [Dureisseix et Ladev`eze 98].
La version qu’on va d´ecrire ici, appel´ee micro-macro, est adapt´ee au cas de structures fortement h´et´erog`enes [Ladev`eze et Dureisseix 99, Ladev`eze et Dureisseix 00].
Comme la technique d´eriv´ee des m´ethodes multi-grilles d´ecrite au chapitre 3.2, elle a pour objectif d’analyser les structures dont le comportement est d´ecrit `a l’´echelle micro et elle vise a remplacer les techniques standards d’homog´en´eisation et de r´e-analyse locale plus ou moins coupl´ees.
4.2.1 Principes de la m´ethode LATIN micro-macro
Le premier point cl´e de la m´ethode consiste, comme pr´ec´edemment, `a d´ e-composer la structure en un assemblage de sous-structures ΩE et d’interfaces ΓEE0. Une sous-structure peut contenir, par exemple, une ou plusieurs cel-lules d’un mat´eriau composite.
Le deuxi`eme ingr´edient consiste `a utiliser les interfaces comme des “cou-pures” dans la structure `a partir desquelles on peut d´ecrire la solution comme la superposition d’une partie macro `a grande longueur de variation, et d’une partie micro additive. Sur chaque interface, on s´epare ainsi les champs d’inter-effort FE, et de d´eplacement WE en partie micro (d’indice m) et macro (d’indice M ) :
WE = WME + WmE et FE = FME + FmE
La plus simple description de ce type peut ˆetre faite avant mˆeme toute discr´etisation. Elle consiste `a prendre la partie affine des champs en question, figure 31. Par exemple, par interface, le champ de d´eplacement macro WE
M se construit `a partir de 2 translations, 1 rotation et 1 extension longitudinale en 2D, donc `a partir de 4 param`etres par interface (9 param`etres en 3D). En notant qE
M ces param`etres (et fE
M les param`etres correspondants pour les inter-efforts), on a
FME = P fME et WME = P qME
P est un op´erateur de type prolongation, en utilisant la terminologie des multi-grilles, chapitre 3.
ΓEE'
partie macro
Remarques sur la discr´etisation
• Remarquons que les vecteurs FE sont les vecteurs d’efforts discr´etis´es, au mˆeme titre qu’un champ de pression sur un bord. Pour calculer les forces g´en´eralis´ees associ´ees, par interface, il est n´ecessaire d’utiliser une matrice de type “matrice de masse” (calcul´ee par int´egration sur l’interface des produits crois´es de fonctions de base sur le bord) : M FE. • Si les quantit´es macro sont d´efinies `a partir d’un petit nombre de param`etres, il faut par contre autant de param`etres que donnera la discr´etisation ´el´ements finis du probl`eme par interface pour d´ecrire les parties micro ; on les notera qEm et fmE pour les d´eplacements et les inter-efforts.
• Par un choix ad hoc des quantit´es macro, le travail macro sur une interface peut s’´ecrire
Z
ΓEE0
WME · FE
MdS = qMETPTM P fME = qMETfME
Ensuite, il est n´ecessaire que la description micro-macro pr´ec´edente sat-isfasse `a la dualite “travail” sur les interfaces, c’est `a dire que :
Z ΓEE0 WE · FEdS = Z ΓEE0 WME · FE MdS + Z ΓEE0 WmE· FE mdS
on peut montrer que c’est le cas de la description pr´ec´edente, avec la propri´et´e d’orthogonalit´e
PTM FmE = 0 (13)
Enfin, comme strat´egie de r´esolution, on utilise la m´ethode non-incr´ emen-tale LATIN (“LArge Time INcrement”) [Ladev`eze 96]. On consid`ere deux types de solutions possibles : celles qui satisfont au comportement des sous-structures (´equilibre et compatibilit´e des d´eformations, avec les champs FE et WE provenant des interfaces voisines), dont l’ensemble est not´e Ad ; et celles qui satisfont au comportement des interfaces (conditions de transfert), dont l’ensemble est not´e Γ.
Cette m´ethode est it´erative, `a deux ´etapes ; elle construit successive-ment une approximation dans chaque ensemble pr´ec´edent, en utilisant des directions de recherche qui sont les param`etres de la m´ethode, figure 32.
Remarquons qu’en vue de construire un probl`eme macro global, on impose tout le temps aux quantit´es macro de satisfaire exactement les conditions de transfert aux interfaces : WE
M = WE0
M et FE
M + FE0 M = 0.
sex Γ Ad E+ E-sn+1 sn ^ sn+1/2
Figure 32: une it´eration de la LATIN
L’´etape lin´eaire consiste `a d´eterminer une solution de Ad, connaissant une solution de Γ (qu’on notera avec un chapeau, ˆs).
Apr`es discr´etisation par ´el´ements finis, on doit avoir l’´equilibre de chaque sous-structure
KEqE − M FE = fdE (14)
avec les efforts, inconnus aussi, FE = P fME + fmE. Pour fermer le probl`eme, il faut rajouter la direction de recherche E− :
(fmE − ˆfmE) + kmE(qmE − ˆqEm) = 0
Toutes les quantit´es avec un chapeau sont issues de l’´etape pr´ec´edente, elle sont donc connues `a ce moment. kE
m, est un scalaire homog`ene `a une raideur d’interface : c’est le param`etre de direction de recherche. Comme il s’agit d’une m´ethode mixte, kmE lie la correction en effort (fmE − ˆfmE) `a la correc-tion en d´eplacement (qE
m − ˆqE
m). La solution `a convergence (la solution `a l’´echelle micro) ne d´epend pas de ce param`etre, mais il influe sur la vitesse de convergence.
Quant aux quantit´es macro, on leur a impos´e de satifaire aux conditions de transfert qE
M = qE0 M et fE
M + fE0 M = 0.
Cette ´etape s’´ecrit comme une succession de probl`emes micro ind´ependants (1 par sous-structure, qui est le pendant de l’´etape de localisation des m´ethodes classiques d’homog´en´eisation), et d’un probl`eme macro global (probl`eme ho-mog´en´eis´e).
Le probl`eme micro se traite facilement en substituant fE
m dans (14) : KEqE + kmEM qmE = (fdE + M ˆfmE + kmEM ˆqmE) + M P fME
Ce probl`eme est bien le probl`eme de localisation : on trouve un terme de charge macro (une sonde) fE
M et il s’interpr`ete comme un probl`eme sur une cellule ΩE, avec une raideur micro r´epartie sur le bord KE
m = kE
mM . Cette raideur peut ˆetre vue comme une fa¸con de mod´eliser les interactions micro
avec les cellules voisines. Le r´esolution de ce probl`eme pour tous les fME des interfaces de la cellule permet de trouver tous les d´eplacements macro correspondants qE
M. Ils sont en effet la partie macro des diff´erentes solutions trouv´ees qE : on peut trouver leur expression en utilisant la condition (13) ; on obtient : qE
M − PTM qE = 0.
Implantation. D’un point de vue efficacit´e num´erique, il est int´eressant de ne pas faire apparaˆıtre la partie micro, mais plutˆot la partie macro en utilisant qmE = qE − P qE M : KEqE + KmE(qE− P qE M) = ˆfd+ M P fME o`u ˆfd = fE d + (M ˆfE m + KE mqˆE
m) est un terme de charge donn´e. On a ainsi deux types d’inconnues : qE et qE
M, li´e entre elles comme on vient de le voir. L’ensemble du probl`eme peut ˆetre ´ecrit sous forme matricielle
K˜ −Q −QT kmEI qE (kE m)−1fE M + qE M = fˆd fE M
o`u ˜K est une rigidit´e modifi´ee par les termes d’interface ˜K = KE + KE m et Q = KmEP .
En condensant les qE sur les autres degr´es de libert´e, on obtient les deux syst`emes suivants :
˜
KqME = ˆfd+ Q[(kmE)−1fME + qME] (15) A[(kmE)−1fME + qME] = fME + g (16) o`u A = kEmI − QTK˜−1Q et g = −QTK˜−1fd.ˆ
Interpr´etation
• L’analogue, pour l’homog´en´eisation p´eriodique, de la rigidit´e de la cel-lule avec des conditions de p´eriodicit´e au bord (pour traduire l’influence micro des autres cellules voisines) est ici ˜K. L’influence des autres cel-lules sur la solution locale UE est mod´elis´ee par le terme de raideur bord kE
m.
• Le probl`eme (15) est le post-traitement local, une fois connue la solu-tion homog´en´eis´ee. On remarquera ici que, la m´ethode ´etant mixte, interviennent `a la fois des termes en effort macro et en d´eplacement macro dans la charge [(kE
m)−1fE M + qE
M].
• La contribution de la cellule `a l’op´erateur homog´en´eis´e est ici le terme A, comme on va le voir imm´ediatement.
Le probl`eme macro effectif se construit `a partir des contributions (16) que l’on peut en effet ´ecrire localement (par sous-structure) : AqE
M + ((kE m)−1A − I)fE M = g, soit qE M = ((kE m)−1I − A+)fE M + A+g (A requiert en effet une inversion g´en´eralis´ee : ce point de d´etail n’´etant pas explicit´e ici, le lecteur int´eress´e pourra consulter [Ladev`eze et Dureisseix 00] par exemple).
L’analogue de la contribution macro KC dans l’approche multi-grilles du chapitre 3.2 est ici le terme ((kmE)−1I − A+).
L’assemblage de ces contributions, en tenant compte de l’admissibilit´e macro qE
M = qE0
M et fE
M + fE0
M = 0 fournit le probl`eme macroscopique ho-mog´en´eis´e.
L’´etape locale recouple les diff´erentes cellules entre elles, au niveau micro, en r´e-´evaluant le terme de charge ˆfd du probl`eme micro (15).
En effet, cette ´etape consiste, connaissant une solution admissible de Ad, `
a chercher une solution v´erifiant le comportement des interfaces (conditions de transmission) en utilisant une direction de recherche E+ conjugu´ee de la pr´ec´edente :
( ˆfmE− fE
m) − kEm(ˆqmE − qE m) = 0
Elle est explicite dans le cas d’une interface parfaite, puisqu’elle donne : ˆ fmE = − ˆfmE0 = 1 2[(f E m− fE0 m) − kmE(qmE − qE0 m)] ˆ qmE = ˆqEm0 = 1 2[(q E m+ qmE0) − (kmE)−1(fmE + fmE0)]
Cet algorithme est convergent et les diff´erentes ´etapes ont une solution unique `a partir du moment o`u kE
m > 0.
4.2.2 Exemples d’application
L’exemple pr´esent´e, dˆu `a Olivier Loiseau, est celui d’une plaque en cisaille-ment en ´elasticit´e plane, et pour accentuer un effet de bord, elle est perfor´ee sur le pourtour, figure 33. La plaque est d´ecompos´ee en 64 sous-structures. Le code prototype r´ealis´e a ´et´e implant´e dans Matlab R.
La figure 34 pr´esente la solution converg´ee `a la 20e it´eration, en terme de contrainte ´equivalente de Mises et de d´eplacements micro et macro aux interfaces.
La figure 35, quant `a elle, pr´esente la contrainte macro σσM (reconstruite `
a partir de la solution compl`ete), `a gauche, et la contrainte micro σσm addi-tionnelle, `a droite. Cette figure reporte aussi les mˆemes contraintes dans la zone int´erieure (priv´ee de 2 couches de sous-structures). On peut remarquer
Ud
Figure 33: plaque cisaill´ee multi-perfor´ee
sur-déplacement micro Wm
déplacement macro WM
Figure 34: solution en contrainte de Mises et d´eplacements micro et macro aux interfaces
que dans cette zone, la contribution de la partie micro est tr`es faible. Par contre, aux endroits o`u il existe des forts gradients, sa contribution n’est pas
n´egligeable.
Figure 35: contribution macro (`a gauche) et micro (`a droite) `a la solution en contrainte de Mises
Il serait aussi int´eressant de ne redescendre `a l’´echelle micro qu’aux en-droits o`u la solution homog`ene est inad´equate. Pour cela, il faudrait disposer d’un indicateur de la qualit´e de la solution macro pour d´ecider ou non du changement d’´echelle. Des travaux existent d´ej`a sur de telles probl´ematiques, en particulier dans [Fish et Belsky 95, Oden et al. 99, Mo¨es et al. 99]. 4.2.3 Bilan
Cette approche est adapt´ee au cas des structures h´et´erog`enes dont le com-portement est d´ecrit `a l’´echelle micro. D’un point de vue algorithmique, sa convergence est prouv´ee.
En tant que technique d’homog´en´eisation, elle ne n´ecessite pas d’avoir un milieu p´eriodique, et propose un cadre syst´ematique (pas de traitement particulier des zones bord). Le probl`eme macro porte sur les quantit´es macro g´en´eralis´ees (moments d’ordre 0 et 1 des inter-efforts et d´eplacements aux interfaces), il peut ˆetre consid´er´e comme un milieu de Cosserat. La premi`ere
it´eration fournit une solution homog´en´eis´ee et une premi`ere re-localisation, les it´erations suivantes corrigent automatiquement les deux pour prendre en compte les termes de couplages micro entre cellules, et en particulier les effets de bord. Le param`etre de la m´ethode, kmE, s’interpr`ete comme une raideur de bord, mod´elisant l’interaction des cellules voisines sur la cellule trait´ee.
Cette approche permet l’utilisation des ordinateurs `a architectures par-all`eles puisqu’elle s’interpr`ete comme une m´ethode mixte et multi-´echelles de d´ecomposition de domaine. En tant que telle, elle poss`ede les propri´et´es d’extensibilit´e. Par rapport `a la m´ethode FETI, le probl`eme macro con-tient plus d’information que les seuls modes rigides ; en particulier, comme la m´ethode multi-grilles particuli`ere du chapitre 3.2, elle est bˆatie sur une technique d’homog´en´eisation. Enfin, d’un point de vue algorithmique, la complexit´e de cette approche (coˆut en terme de nombre d’op´erations) est similaire `a celui de la m´ethode FETI.
5 Conclusions
Dans plusieurs cas de figure, une structure peut pr´esenter des r´eponses spa-tiales `a plusieurs ´echelles ; par exemple, et c’est le cas trait´e ici, lorsque la micro-structure est fortement h´et´erog`ene. Il existe d’autres exemples de ce comportement, en particulier celui des probl`emes multi-physiques o`u le cou-plage de ph´enom`enes de natures diff´erentes conduit `a des temps de r´eponse diff´erents. Pour de tels cas, la r´eponse pr´esente aussi des composantes multi-´
echelles en temps. On peut envisager ainsi des techniques sp´ecifiques ; le cou-plage de formulations explicite / implicite en temps est une premi`ere ´etape dans ce sens [Combescure et al. 98].
Dans les probl´ematiques abord´ees ici, on peut noter que les nouvelles strat´egies de calcul tirent parti des propri´et´es m´ecaniques des probl`emes trait´es pour pouvoir ˆetre plus performantes. Les techniques d’homog´en´eisation permettent de bˆatir des approximations efficaces, les m´ethodes multi-grilles, comme les m´ethodes de d´ecomposition de domaine, gagnent `a les utiliser pour augmenter leur performances.
L’auteur tient `a remercier pour leur participation Sylvain Calloch, Cather-ine Crestia, Laurent Guitard et Olivier Loiseau (LMT-Cachan), ainsi que Fr´ed´eric Feyel (ONERA), Charbel Farhat (Colorado University, Boulder), Jacob Fish (Rensselaer Institute), Georges Cailletaud (ENSMP) et Xavier Aubard (SEP-SNECMA).
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