M´ ethode des ´ el´ ements finis pour les probl` emes sous contrainte

11.1. Penalty and FEM As in Section 9.3, we consider the following set of assumptions

b(·,·) bilinear, symmetric, continuous, non-negative,

K ={u∈V , b(u, u) = 0}= kerb,

We introduce now a family (V_h)_h of inner approximation spaces (V_h ⊂V), and the asso-ciated penalized/discretized problems expressed in their variational form :

Find u^ε_h ∈V_h such that J^ε(u^ε_h) = inf

vh∈Vh

J^ε(v_h), (11.2)

Our objective is to establish thatu^ε_h tends to uash and εgo to zero (in a manner which has to be made precise).

We shall need the following lemma :

Lemme 11.1. Under assumptions (11.1), there existsC >0 such that b(u^ε, u^ε)≤Cε|u−u^ε|.

D´emonstration. By definition ofu^ε, J_ε(u^ε) = 1

142 11. M´ETHODE DES ´EL´EMENTS FINIS POUR LES PROBL`EMES SOUS CONTRAINTE

Proposition 11.2. Under assumptions (11.1), we denote by u^ε_h the solution to Pro-blem (11.2). Then

|u^ε_h−u| ≤C

vh∈Vminh∩K|v_h−u|+p

|u^ε−u|

.

D´emonstration. Asu^ε_h minimizes a(v−u^ε, v−u^ε) +b(v−u^ε, v−u^ε)/ε over V_h, α|u^ε_h−u^ε|² ≤ a(u^ε_h−u^ε, u^ε_h−u^ε)

≤ a(u^ε_h−u^ε, u^ε_h−u^ε) +1

εb(u^ε_h−u^ε, u^ε_h−u^ε)

≤ min

v_h∈V_h

a(v_h−u^ε, v_h−u^ε) +1

εb(v_h−u^ε, v_h−u^ε)

≤ min

vh∈Vh∩K

a(v_h−u^ε, v_h−u^ε) +1

εb(v_h−u^ε, v_h−u^ε)

.

Asv_his inK, the second term isb(u^ε, u^ε)/ε, which is bounded byC|u^ε−u|(by Lemma 11.1).

Finally we get

|u^ε_h−u^ε| ≤C

v_h∈Vmin_h∩K|v_h−u^ε|+p

|u^ε−u|

,

from which we conclude.

Proposition 11.3. Under assumptions (11.1), it holds

|u^ε_h−u| ≤ C

√ε inf

v_h∈V_h|u^ε−v_h|+|u^ε−u|, where u^ε_h is the solution to (11.2).

D´emonstration. One has

|u^ε_h−u| ≤ |u^ε_h−u^ε|+|u^ε−u|,

and we control the first term by C´ea’s Lemma applied to the bilinear form a+b/ε, whose

norm behaves like 1/ε.

11.2. FEM and saddle-point formulation

11.2.1. Approximation interne des multiplicateurs de Lagrange. On consid`ere la formulation variationnelle du probl`eme de point-selle

(P^′′)

a(u, v) + hB^⋆λ , vi = hϕ , vi ∀v∈V

(µ, Bu) = 0 ∀µ∈Λ. (11.3)

dont on notera (u, λ) une solution quand elle existe. Anticipant sur la d´emarche de discr´etisation en espace, nous ferons r´ef´erence `a ce probl`eme en tant que probl`eme continu.

On utilisera la notation b(v, µ) = (λ, Bv).

11.2. FEM AND SADDLE-POINT FORMULATION 143

On consid`ere maintenant deux sous-espaces de dimensions finies (donc ferm´es) V_h et ΛH

de V et Λ, respectivement, et l’on s’int´eresse au probl`eme suivant (P^′′

h)

a(u_h, v_h) + (λH, Bv_h) = hϕ , v_hi ∀v_h ∈V_h

(µH, Bu_h) = 0 ∀µ_h∈ΛH. (11.4)

On d´efinira l’op´erateur BH deV dans ΛH par

(BHv, µH) = (Bv, µH) ∀µH ∈ΛH.

Bien que certains des objets indic´es parhouHd´ependent en fait simultan´ement des deux param`etres, nous all´egerons les notations en se limitant au param`etre associ´e `a l’espace dans lequel vivent des diff´erents objets.

On introduit l’espace

K_h^H ={v_h ∈V_h, (Bv_h, µH) = 0 ∀µH ∈ΛH}= kerBH∩V_h.

On prendra garde au fait que, en g´en´eral, l’espace K_h^H ne s’identifie pas `a K∩V_h (il le contient toujours, mais peut ˆetre strictement plus grand).

La question est bien entendu de savoir si une solution (u_h, λ_h) deP^′′

hest une approximation d’une (ou la) solution de P^′′, lorsque V_h et ΛH xapprochent ^≫ V et Λ, respectivement.

Nous d´emontrons ici trois r´esultats qui peuvent s’´enoncer de la mani`ere informelle (le sens que l’on donne `a la notion de sous-espaces proches sera pr´ecis´e par la suite) qui suit.

(1) Si on a existence d’un point-selle pourP^′′, si V_h et Λ_h sont des approximations de V et Λ, respectivement, siK_h^H approche correctementK, alorsu_h est une approxi-mation deu.

(2) Dans le cadre des hypoth`eses qui assurent l’existence et l’unicit´e d’un point-selle, si l’on suppose de plus que les espaces V_h et Λ_h v´erifient une propri´et´e du type condition inf-sup, alors (u_h, λ_h) est une approximation de (u, λ).

(3) Sous les hypoth`eses les plus faibles sur B (existence d’un multiplicateur de La-grange non assur´ee), si V_h approche V et si B^⋆ΛH approche K^⊥ alors u_h est une approximation deu.

Proposition 11.4. On suppose que le probl`eme (11.3) admet une solution (u, λ), et on note (u<sub>h</sub>, λH) une solution du probl`eme (11.4). On a

|u−u_h| ≤

1 + kak α

inf

w_h∈K_h^H|u−w_h|+kBk α inf

µ_H∈Λ_H|µH−λ| D´emonstration : Commeu_h minimiseJ sur K_h^H, on a

a(u_h, v_h) =hϕ , v_hi ∀v_h ∈K_h^H. Pour toutw_h ∈K_h^H, on notev_h=u_h−w_h∈K_h^H. On a

a(v_h, v_h) =hϕ , v_hi −a(w_h, v_h).

Commeu est solution deP^′′, on a notamment (prendrev=v_h) a(u, v_h) + (Bv_h, λ) =hϕ , v_hi, d’o`u

a(v_h, v_h) =a(u−w_h, v_h) + (Bv_h, λ−µH),

144 11. M´ETHODE DES ´EL´EMENTS FINIS POUR LES PROBL`EMES SOUS CONTRAINTE

pour toutµH ∈ΛH. On a donc

α|u_h−w_h| ≤ kak |w_h−u|+kBk |λ−µH|, d’o`u

|u−u_h| ≤

1 +kak α

|w_h−u|+kBk

α |λ−µH|,

pour tousw_h ∈K_h^H,µH∈ΛH.

Proposition 11.5. On suppose que B est surjective, et que la condition inf-sup discr`ete est satisfaite : il existe β >0 telle que

µHinf∈ΛH

sup

v_h∈V_h

(µH, Bv_h)

|µH| |v_h| ≥β. (11.5)

On note (u, λ) la solution du probl`eme P<sup>′′</sup>, et (u<sub>h</sub>, λH) la solution du probl`eme P^′′

h. On a

|u−u_h|+|λ−λH| ≤C

v_hinf∈V_h|u−v_h|+C₂ inf

µH∈Λ_h|λ−µH|

D´emonstration :Montrons dans un premier temps que le min surK_h^H dans l’estimation de la proposition 11.4 peut ˆetre remplac´e par un min sur V_h. On montre pour cela que, quand la condition inf-sup discr`ete est v´erifi´ee, pour tout v<sub>h</sub> ∈V<sub>h</sub> approchantu on peut construirew<sub>h</sub> ∈K<sub>h</sub><sup>H</sup> approchantuaussi bien (`a une constante multiplicative pr`es) quev_h. Soit v_h∈V_h. On notez_h l’´el´ement de V_h de norme minimale tel que

BHz_h=−BHv_h Ce z_h est donc la partie primale du probl`eme de point-selle

(z_h, y_h) + (η_H, B_Hy_h) = 0 ∀y_h ∈V_h

(µ_H, B_Hz_h) = −(µ_H, B_Hv_h) ∀µ_H ∈Λ_H.

On a d’une part |η_H| ≤ |z_h|/β (voir proposition 9.10). D’autre part, prenant y_h =z_h, il vient

|z_h|²≤ |(ηH, BHz_h)| ≤ |ηH| |BHv_h| ≤ kak

β |z_h| |BH(u−v_h)|, d’o`u finalement

|z_h| ≤ kBk

β β|u−v_h|. On aw_h =z_h+v_h ∈K_h^H, et

|u−w_h| ≤ |u−v_h|+|z_h|, d’o`u

inf

wh∈K_h^H|u−w_h| ≤

1 +C_B β

vhinf∈Vh|u−v_h|. (11.6) Pour l’estimation d’erreur sur le multiplicateur de Lagrange, on ´ecrit

(λH, Bv_h) =a(u−u_h, v_h) + (λ, Bv_h), d’o`u

(λH−µH, Bv_h) =a(u−u_h, v_h) + (λ−µH, Bv_h) ∀µH ∈ΛH.

11.2. FEM AND SADDLE-POINT FORMULATION 145

La condition inf-sup discr`ete implique donc

|λH−µH| ≤ 1 β sup

v_h∈V_h

|a(u−u_h, v_h) + (λ−µH, Bv_h)|

|v_h|

≤ 1

β (kak |u−u_h|+C_B|λ−µH|), d’o`u

|λ−λH| ≤ kak

β |u−u_h|+

1 +CB

β

µHinf∈ΛH|λ−µH|. (11.7) Les estimations (11.6), (11.7) et la proposition 11.4 permettent de conclure.

La derni`ere proposition correspond au cas du probl`eme de recherche de point-selle mal pos´e dans sa version continue.

Proposition 11.6. On ne suppose pas iciB `a image ferm´ee, de telle sorte que (11.3) peut ne pas avoir de solution. On a alors

|u−u_h| ≤

1 + kak α

inf

w_h∈K_h^H|u−w_h|+ 1 α inf

µ_H∈Λ_Hkξ−B^⋆µHkV^′, o`u ξ est la forme lin´eaire sur V d´efinie par

a(u, v) +hξ , vi=hϕ , vi ∀v∈V.

D´emonstration : La forme ξ est telle que

a(u, v) + (ξ, µ) =hf , vi ∀v∈V.

On peut reproduire la d´emonstration de la proposition 11.4 en rempla¸cant l’expression (Bv_h, λ−µH) parhξ , v_hi − hB^⋆µH, v_hi, d’o`u l’on d´eduit le r´esultat.

11.2.2. Cas g´en´eral. Nous consid´erons pour finir une situation plus g´en´erale :V_hest toujours un sous-espace de dimension finie de V, mais la contrainte s’exprime BHu_h = 0, o`u BH ∈L(V,ΛH) n’est pas suppos´e ´egal `aB, et ΛH n’est pas n´ecessairement inclus dans Λ. On s’int´eresse au probl`eme suivant

(P^′′

h)

a(u_h, v_h) + hB_H^⋆λH, v_hi = hϕ , v_hi ∀v_h∈V_h

(µH, BHu_h) = 0 ∀µ_h∈ΛH. (11.8)

o`u BH est un op´erateur lin´eaire continu de V vers ΛH. On d´efinit, de fa¸con analogue `a ce qui pr´ec`ede,

K_hH ={v_h ∈V_h, (BHv_h, µH) = 0 ∀µH ∈ΛH}.

CommeBH est `a image ferm´ee (car ΛH est de dimension finie), le probl`emeP^′′

h admet une solution (u_h, λH) ∈ V_h×ΛH. La partie primale u_h ∈ V_h de cette solution est d´efinie de fa¸con unique comme l’´el´ement deK_h^H qui minimise la fonctionnelle

v_h 7−→J(v_h) = 1

2a(v_h, v_h)− hϕ , v_hi sur K_h^H.

146 11. M´ETHODE DES ´EL´EMENTS FINIS POUR LES PROBL`EMES SOUS CONTRAINTE

Proposition 11.7. On a

|u−u_h| ≤

1 + kak α

inf

wh∈K_h^H|u−w_h|+ 1 α inf

µH∈ΛHkξ−B_H^⋆µHk_V^′, o`u ξ est la forme lin´eaire sur V d´efinie par

a(u, v) +hξ , vi=hϕ , vi ∀v∈V.

D´emonstration : La d´emonstration est tr`es proche de celle de la proposition 11.6.

N´eammoins, comme il s’agit d’un r´esultat tr`es utile en pratique, nous la d´eveloppons dans son int´egralit´e.

Commeu_h minimiseJ sur K_h^H, on a

a(u_h, v_h) =hϕ , v_hi ∀v_h ∈K_h^H. Pour toutw_h ∈K_h^H, on notev_h=u_h−w_h∈K_h^H. On a

a(v_h, v_h) =hϕ , v_hi −a(w_h, v_h).

Commeu est solution deP^′′, on a notamment (prendrev=v_h) a(u, v_h) +hξ , v_hi=hϕ , v_hi, d’o`u

a(v_h, v_h) = a(u−w_h, v_h) +hξ , v_hi −(BHv_h, µH)

= a(u−w_h, v_h) +hξ−B^⋆_HµH, v_hi pour toutµH ∈ΛH. On a donc

α|u_h−w_h| ≤ kak |w_h−u|+kξ−B^⋆_HµHkV^′, d’o`u

|u−u_h| ≤

1 + kak α

|w_h−u|+ 1

α kξ−B_H^⋆µHkV^′ ∀w_h∈K_h^H, µH∈ΛH,

d’o`u l’estimation annonc´ee.

11.3. Condition inf-sup discr`ete Proposition 11.8. (Lemme de Fortin)

On suppose que B ∈ L(V,Λ) v´erifie la condition inf-sup continue. Alors la suite d’es-paces (V_h,Λ_H) v´erifie la condition inf-sup discr`ete uniforme si et seulement s’il existe un op´erateur continu Π_h ∈L(V, V_h) tel que

b(Π_hv−v, µ_H) = 0 ∀(v, µ_H)∈V ×Λ_H, et tel qu’il existe une constante (ind´ependante de h), telle que

|Π_hv| ≤C|v|.

11.3. CONDITION INF-SUP DISCR`ETE 147

D´emonstration : Condition n´ecessaire : pour v∈ V, tout on construit l’´el´ement v_h de norme minimale tel que Bv_h =Bv (comme au d´ebut de la d´emonstration de la proposi-tion 11.5). La formulaproposi-tion point-selle de ce probl`eme s’´ecrit

(v_h, w_h) + (λ_H, Bw_h) = 0 ∀w_h ∈V_h

(µ_H, Bv_h) = (µ_H, Bv) ∀µ_H ∈Λ_H.

La condition inf-sup permet d’´ecrire λ_H ≤ |v_h|/β, et l’on prend ensuite w_h =v_h dans la premi`ere ligne pour ´etablir |v_h| ≤C|v|. On d´efinit Π_hv =v_h (projection orthogonale sur l’image B^⋆(Λ_H).

Pour la condition suffisante, on se donneµH ∈ΛH, et l’on notevson ant´ec´edent de norme minimale dans V, norme contrˆol´ee par celle de µ_H du fait queB est `a image ferm´ee. On a alors

supb(v_h, µ_H)

|v_h| ≥ b(Π_hv, µ_H)

|Π_hv| ≥ 1 C|µ_H|,

d’o`u le r´esultat.

Chapitre 12

Dans le document Méthode des éléments finis et optimisation sous contrainte (Page 142-150)