M´ ethode de r´ eduction des ph´ enom` enes mutuels

BO(t₀) : Vecteur Barycentre du syst`eme solaire – Position de l’observateur au temps t₀;

— −−−−→

BP(tp) : Vecteur Barycentre du syst`eme solaire – Plan`ete au tempstp;

— −−−−→

BP(t_a) : Vecteur Barycentre du syst`eme solaire – Plan`ete au temps t_a;

— −−−−−→

OSp(t_p) : Vecteur Position de l’observateur – Satellite passif au tempst_p;

— −−−−−→

OSa(t_a) : Vecteur Position de l’observateur – Satellite actif au tempst_a;

— −→

∆ : Vecteur Satellite passif – Satellite actif.

5.2 M´ ethode de r´ eduction des ph´ enom` enes mutuels

5.2.1 Mod´elisation d’une occultation La figure 5.1pr´esente le sch´ema d’une occultation.

Pour mod´eliser une occultation il faut calculer le flux total S ´emanant des satellites oc-cultant et occult´e par rapport au flux des satellites en dehors du ph´enom`ene. Pour cela, il faut d´eterminer l’aire du satellite occult´e qui renvoie de la lumi`ere vers l’observateur. Cette surface va d´ependre de la position des satellites mais aussi de l’angle de phase. Pour chaque instant du ph´enom`ene nous allons d´eterminer les variables pr´esent´ees pr´ec´edemment qui vont nous permettre de calculer l’aire du satellite. Nous d´eterminons, tout d’abord, le rayon du satellite actif projet´e sur le satellite passif :

r₁^∗=r₁||−−−−−→

OSp(t_p)||

||−−−−−→

OSa(t_a)|| (5.3)

L’angle de phase φest d´etermin´e par :

cosφ= h−−−−−→

5.2 M´ethode de r´eduction des ph´enom`enes mutuels 79

Figure 5.1 –Configuration des satellites pour une occultation.

La distance angulairesentre les satellites est donn´ee par sa tangente : tans=

p(Y∆_z−Z∆_y)²+ (Z∆_x−X∆_z)²+ (X∆_y−Y∆_z)²

X²+Y²+Z²+ ∆²_x+ ∆²_y+ ∆²_z (5.5) avec X, Y, Z les coordonn´ees du vecteur −−−−−→

OSa(t_a) et ∆_x, ∆_y, ∆_z les coordonn´ees de la diff´erence−−−−−→

OSp(t_p)−−−−−−→

OSa(t_a). Nous d´eterminons ensuite l’angle de position topocentrique du satellite occultant :

tanP = cos(δ+ ∆δ) sin ∆α

sin ∆δ+ 2 cos(δ+ ∆δ) sinδsin²(^∆α₂ ) (5.6) avec (α, δ) les coordonn´ees topocentriques en ascension droite et d´eclinaison du satellite occult´e et (∆α, ∆δ) la diff´erence entre les ascensions droites et les d´eclinaisons des satellites occultant et occult´e. Enfin, nous calculons les coordonn´ees th´eoriques qui repr´esentent la projection du vecteur −−−−−→

OSp(t_p) dans le plan de l’´ev`enement :

 Pour ajuster le mod`ele aux observations, nous calculons les coordonn´ees pseudo-h´eliocentriques du satellite passif `a l’aide des positions obtenues avec les mod`eles th´eoriques, et des corrections :

(X_m=X^th+D_x

Y_m=Y^th+D_y (5.8)

Nous d´eterminons ensuite la distance entre les satellites ainsi que l’angle de position via : dm=p

X_m² +Y_m² (5.9)

Pm= arctanXm

Y_m (5.10)

80 Chap 5 - R´eduction des ph´enom`enes mutuels des satellites galil´eens

Nous pourrons calculer la surface ´eclair´ee du satellite avec la distance entre les satellites et avec les rayons grˆace aux formules pr´esent´ees dans5.2.3en rempla¸cant d par d_m. Nous d´eterminons ensuite le flux th´eorique du satellite passif :

S = 1 +r_passif² S_calcA_p

1 +r_passif² S_totA_p (5.11)

5.2.2 Mod´elisation d’une ´eclipse

La figure5.2pr´esente le sch´ema d’une ´eclipse.

Orbite de la planète

Figure 5.2 – Configuration des satellites pour une ´eclipse.

Pour mod´eliser une ´eclipse, nous devons tout d’abord d´eterminer le cˆone d’ombrer_omb et de p´enombre rpr du satellite ´eclipsant. Pour cela, nous calculons le segment d’ombre ls

qui est la projection du vecteur −→∆ sur le vecteur h´eliocentrique du satellite ´eclips´e−−−−→

Sp(t_p).

−−−−−−→

BHp(t_p) correspond au vecteur entre le barycentre du syst`eme solaire et le Soleil.

−−−−→ Nous d´eterminons ensuite l’angle h´eliocentrique s^′ entre le satellite ´eclips´e et le sa-tellite ´eclipsant `a partir de la formule 5.5 avec X, Y, Z les coordonn´ees du vecteur

−−−−→

Sp(t_p). Cet angle permet ensuite de d´eterminer la distance th´eorique entre les projections h´eliocentriques des centres des satellites dans le plan de l’´ev`enement.

d^′ =||−−−−→

Sp(t_p)||tans^′ (5.16)

5.2 M´ethode de r´eduction des ph´enom`enes mutuels 81

Nous calculons ensuite les coordonn´ees h´eliocentriques en ascension droite et en d´eclinaison (α^′, δ^′) du satellite ´eclipsant et (∆α^′,∆δ^′) la diff´erence entre les ascensions droites et les d´eclinaisons des satellites ´eclipsant et ´eclips´e. `A partir de la formule 5.6, nous pouvons calculer l’angle de position P<sup>′</sup> du satellite ´eclipsant par rapport au satellite ´eclips´e dans le syst`eme de coordonn´ees h´eliocentriques. Nous d´eterminons ensuite les coordonn´ees du centre de l’ombre avec :

(X_m=X^th+D_x =d^′cosP^′+D_x

Y_m=Y^th+D_y =d^′sinP^′+D_y (5.17) La distance centrale et l’angle de position du centre d’ombre sont ensuite respective-ment calcul´es avec les formules 5.9et5.10.

5.2.3 D´etermination de l’aire du satellite

Nous pouvons diff´erencier le calcul de la surface ´eclair´ee du satellite occult´e ou ´eclips´e selon trois cas. Nous avons utilis´e les formules publi´ees parEmelianov[1995] pour calculer la surface ´eclair´ee.

5.2.3.1 Dans le cas d’une occultation ou d’une ´eclipse totale

Dans le cas d’une occultation ou d’une ´eclipse totale, le satellite actif va enti`erement masquer le satellite passif. La surface se calcule alors tr`es simplement puisque l’on a :

S_calc= 0 (5.18)

5.2.3.2 Dans le cas d’une occultation ou d’une ´eclipse annulaire

Dans le cas d’une occultation ou d’une ´eclipse annulaire, le satellite actif va partiel-lement masquer le satellite passif. La zone affect´ee va d´ependre du diam`etre du satellite actif. Nous calculons donc la surface telle que :

S_calc= 1− r_actif²

r_passif² (5.19)

5.2.3.3 Dans le cas d’une occultation ou d’une ´eclipse partielle

Pour d´eterminer la surface ´eclair´ee du satellite passif lors d’une occultation ou d’une

´eclipse partielle, nous utilisons les formules ci-dessous. Ces formules sont d´etermin´ees `a partir de la configuration g´eom´etrique de disques homog`enes.

S_calc= 1

82 Chap 5 - R´eduction des ph´enom`enes mutuels des satellites galil´eens

5.2.4 Am´elioration du mod`ele

Afin d’am´eliorer les r´esultats astrom´etriques, nous avons pris en compte plusieurs effets, jusque l`a n´eglig´es, dans le processus de r´eduction. Ces effets sont principalement d’ordre photom´etrique afin de mieux consid´erer les flux re¸cu et envoy´e par le satellite.

5.2.4.1 Lois de r´eflectance bidirectionnelle

Nous avons vu dans le chapitre 3 les diff´erentes lois de r´eflectance bidirectionnelles.

Prendre en compte la fa¸con dont est r´efl´echie la lumi`ere est essentiel pour bien mod´eliser le flux lumineux th´eorique qu’envoie le satellite dans le r´ecepteur. Pour cela, nous avons mis en oeuvre deux mod`eles photom´etriques : le premier est simple tandis que le second est, actuellement, un des plus ´elabor´es. Dans le chapitre 4, nous avons pr´esent´e notre

´etude photom´etrique des satellites galil´eens en diff´erents filtres. Les r´esultats de cette

´etude en filtre m´ethane, rouge, vert, et bleu ont ´et´e impl´ement´es dans notre programme de r´eduction.

Mod`ele de Lambert Nous avons choisi d’impl´ementer le mod`ele de Lambert en premi`ere approximation car il s’agit d’un des mod`eles les plus simples `a mettre en oeuvre.

Cette loi est utilis´ee pour les satellites poss´edant une atmosph`ere, comme Titan, ou des satellites ayant des surfaces tr`es brillantes. Pour d´eterminer la loi de r´eflectance de Lam-bert, nous avons seulement besoin de calculer l’angle d’incidenceientre le rayon lumineux atteignant la surface du satellite et la normale de cette surface. Nous avons trait´e un

´echantillon d’une vingtaine de ph´enom`enes mutuels de la campagne de 2015 pour compa-rer les r´esultats obtenus avec ceux d’un mod`ele photom´etrique plus complexe (voir 5.4).

Mod`ele de Hapke Le second mod`ele photom´etrique utilis´e dans notre r´eduction est celui de Bruce Hapke. Ce mod`ele est plus complexe que celui de Lambert puisqu’il permet de prendre en compte plusieurs effets d´ecrits au chapitre3. Nous avons recouru `a ce mod`ele plutˆot qu’`a celui de Shkuratov car, premi`erement, les param`etres du mod`ele de Hapke sont disponibles dans plusieurs longueurs d’onde pour les satellites galil´eens, contrairement aux param`etres du mod`ele de Shkuratov et, deuxi`emement, pour pouvoir comparer nos r´esultats `a ceux des r´eductions actuelles (celle de N. Emelianov principalement), nous devons utiliser le mˆeme mod`ele photom´etrique.

Pour calculer la r´eflectance th´eorique du satellite, nous avons tout d’abord besoin de d´eterminer l’angle d’incidence i, comme pour le mod`ele photom´etrique de Lambert, mais aussi l’angle d’´emergence e des rayons lumineux, et ce pour chaque ´el´ement de surface consid´er´e. D´eterminer ces angles est n´ecessaire afin de calculer le rapport :

µ₀

µ0+µ = cosi

cosi+ cose (5.21)

Ce rapport est le terme de base de tout mod`ele photom´etrique plus ou moins complexe.

Dans notre programme de r´eduction, la prise en compte du mod`ele photom´etrique inter-vient au moment du calcul de la surface ´eclair´ee du satellite. Nous avons vu dans la section 5.2.3 les formules pour d´eterminer cette aire. Pour r´ealiser les calculs de surface ´eclair´ee et de r´eflectance, nous avons divis´e la surface du satellite consid´er´e en petits ´el´ements afin