A l’image du chapitre 2, les ´etats propres `a deux polarons sont d´evelopp´es sur les N (N + 1)/2 ´etats de la base locale |n1, n2i o`u n1 et n2 d´esignent les positions respectives des deux polarons (Eqs. (2.62), (2.63)) :
|ψi = X
n16n2
ψ(n1, n2)|n1, n2i (4.15)
L’´equation de Schr¨odinger, ˆH|ψi = ω|ψi, conduit `a un ensemble d’´equations index´e par les diff´erentes valeurs des entiers n1 et n2 et r´esum´e par le r´eseau 2D ´equivalent de la Fig. 4.5a. En effet, comme nous l’avons montr´e lors du chapitre 2, il existe une ´equivalence entre la dynamique de deux polarons sur un r´eseau 1D et la propagation d’une particule fictive sur un r´eseau 2D.
n1 n2 (a) 2 ˆω0− 2Aˆ 2 ˆω0−Bˆ 2 ˆω0 J(1) Φ(1) √ 2(J(1)+J(3))Φ(2) 2J(2)Φ(2)4 (b) m 2 ˆω0− 2Akˆ 2 ˆω0−Bˆ 2 ˆω0 Γk √ 2γk
Fig. 4.5 - R´eseaux ´equivalents de l’hamiltonien effectif : (a) R´eseau 2D, (b) R´eseau 1D
Le pr´esent r´eseau 2D ´equivalent est tout `a fait similaire `a celui d´ecrivant les ´
etats `a deux vibrons du mod`ele de Hubbard (Fig. 2.1a). Tout d’abord, dans le cœur du r´eseau, c’est-`a-dire lorsque les deux polarons sont suffisamment espac´es l’un de l’autre (n2 > n1+ 2), les polarons n’interagissent pas et se comportent comme deux particules libres. Ainsi, l’´energie de site du r´eseau ´equivalent est 2ˆω0 et la constante de saut est donn´ee par celle d’un polaron isol´e sur le r´eseau r´eel, c’est-`a-dire J(1)Φ(1). Ensuite, la ligne n1 = n2 constitue une ligne de d´efauts qui d´ecrit une situation dans laquelle les deux polarons se trouvent sur un mˆeme site et interagissent de fa¸con attractive. L’´energie de site du r´eseau ´equivalent est alors d´ecal´ee vers le rouge de la quantit´e 2 ˆA.
Cependant, en comparant les Figs. 2.1a et 4.5a plusieurs diff´erences importantes apparaissent. Tout d’abord, une seconde ligne de d´efauts est pr´esente en n2 = n1+ 1. En effet, lorsque les deux polarons se trouvent sur des sites plus proches voisins, ils interagissent par l’interm´ediaire du terme − ˆBb†n+1b†nbn+1bnde l’hamiltonien Eq. (4.9) si bien que l’´energie de site du r´eseau 2D est d´ecal´ee vers le rouge de la quantit´e ˆB. Ensuite, les transitions de l’un de ces sites vers un site n1 = n2sont modifi´ees. D’une part, certaines transitions, qui ne peuvent avoir lieu en pr´esence d’un seul polaron, existent en pr´esence de deux polarons. Elles sont d´ecrites par la constante de saut J(3). D’autre part, le m´ecanisme d’habillage d’un saut entre deux sites d´epend du nombre de polarons qui occupent ces sites. Ainsi, une transition faisant intervenir des ´etats o`u deux polarons se trouvent sur un mˆeme site ressent un habillage diff´erent des autres transitions. Ce m´ecanisme est transcrit par les fonctions Φ(2) 6= Φ(1).
On notera ´egalement que le facteur√2, pr´esent dans le mod`ele de Hubbard, traduit l’indiscernabilit´e des polarons. Enfin un autre m´ecanisme de transition apparaˆıt. En effet, la constante de saut J(2) favorise le transfert simultan´e de deux polarons situ´es sur un mˆeme site vers un site voisin. Le facteur 2 dans la constante de saut du r´eseau 2D provient du comptage des polarons et le facteur Φ(2)4 r´esulte de la fonction de corr´elation des op´erateurs de phonons.
Comme lors du chapitre 2, l’´etude des ´etats `a deux polarons se simplifie en utili- sant la propri´et´e d’invariance par translation du r´eseau. Par cons´equent, nous allons d´evelopper la fonction d’onde sur une base d’ondes planes traduisant la d´elocalisa- tion du centre de masse des deux polarons :
ψ(n1, n2 = n1+ m) = √1 N
X
k
eik(n1+m/2)ψk(m) (4.16)
o`u k d´esigne le vecteur d’onde associ´e `a la coordonn´ee du centre de masse, m est l’in- terdistance entre les deux polarons et ψk(m) d´esigne les composantes de la fonction d’onde exprim´ees dans la base de Bloch. L’utilisation de la sym´etrie d’invariance par translation permet de r´eduire le r´eseau 2D ´equivalent `a un r´eseau 1D (Fig. 4.5b). Tout comme celui du mod`ele de Hubbard (Fig. 2.1b), ce r´eseau est semi-infini ca- ract´erisant ainsi l’indiscernabilit´e des polarons. Loin du bord du r´eseau, c’est `a dire pour une interdistance m > 2, l’´energie des sites est 2ˆω0. La constante de saut entre sites voisins est similaire `a celle du mod`ele de Hubbard `a la diff´erence pr`es qu’elle est modul´ee par le m´ecanisme d’habillage par l’interm´ediaire de Φ(1), soit Γk = 2J(1)Φ(1) cos(k/2). Ainsi, l’´equation de Schr¨odinger d´ecrivant la propagation de la particule fictive pour m > 2 s’´ecrit :
(2ˆω0− ω)ψk(m) − Γk[ψk(m + 1) + ψk(m − 1)] = 0 (4.17) Pour une interdistance m = 1, l’´energie de site est d´ecal´ee de la quantit´e ˆB et la constante de saut entre m = 1 et m = 0 est donn´ee par √2γk o`u γk = 2(J(1) + J(3))Φ(2) cos(k/2). L’´equation de Schr¨odinger pour m = 1 s’´ecrit donc :
(2ˆω0− ˆB − ω)ψk(1) − Γkψk(2) − √
2γkψk(0) = 0 (4.18)
Enfin l’´energie du site m = 0 subit une modification dont l’origine est double. D’une part l’interaction entre polarons d´ecale cette ´energie vers le rouge de la quantit´e 2 ˆA. D’autre part, le m´ecanisme de transfert simultan´e de deux polarons sur un mˆeme site vers un site voisin ne modifie pas l’interdistance mais renormalise l’´energie de site. Ainsi l’´energie de site est d´ecal´ee de la quantit´e 2 ˆAk o`u ˆAk= ˆA + 2J(2)Φ(2)4cos(k). Par cons´equent l’´equation de Schr¨odinger pour m = 0 s’´ecrit :
(2ˆω0− 2 ˆAk− ω)ψk(0) − √
2γkψk(1) = 0 (4.19)
Comme le montre le r´eseau 1D ´equivalent, il existe deux d´efauts qui vont favoriser l’apparition de deux types d’´etats li´es. Le premier d´efaut est situ´e en m = 0, c’est- `
en m = 1 et traduit la pr´esence de deux polarons au voisinage l’un de l’autre. Pour illustrer l’existence de ces ´etats li´es, nous allons pr´esenter l’influence des divers param`etres dans le cas du mode de vibration amide-I dans les h´elices-α.