Etat des travaux

La compétition entre les entreprises se traduit actuellement par la révision des stratégies industrielles adoptées dans le but d’améliorer les plans de production et de maintenance. En pratique, le non respect des délais des clients est du souvent à une demande aléatoire ou à une défaillance soudaine du système de production. Pour faire face à ce problème, il est nécessaire de développer des politiques de maintenance intégrée à la production, sous des contraintes liées au stockage, à la demande et au taux de défaillance des systèmes de production. Avec des stratégies optimales de maintenance et de production, le système industriel serait capable

73 de répondre à la demande aléatoire du client et de réduire simultanément les coûts de production et de maintenance.

L’objectif de toute entreprise est de trouver le meilleur plan de production et la meilleure stratégie de maintenance nécessaire pour l’entreprise pour satisfaire les clients tout en minimisant les coûts. Une telle fonction demeure très complexe car il existe une variété d’incertitude liée à ce processus de décision. Ces incertitudes proviennent de plusieurs facteurs. Il y a des facteurs qui sont liés à la difficulté de définir précisément le comportement de la demande pendant les périodes de productions. D’autres facteurs peuvent être associés à la disponibilité des ressources matérielles de l’entreprise et surtout à la limite de leurs capacités de production.

Le problème de planification conjointe de la maintenance et de la production est un problème récent. Dans la littérature, peu sont les travaux qui ont été publiés dans cette thématique. Il existe des travaux qui ont considéré les effets de la production sur la maintenance comme (Bäckert et Rippin 1985; Cassady et al. 2001), d’autres qui ont assimilé la maintenance à un processus de production (Dinesh Shenoy et Bhadury 1993; Yan et al. 2004). Un troisième concept de recherche est celui des modèles intégrés de production et de maintenance dans laquelle s’inscrit notre étude. D’après Budai-Balke et al. (Budai-Balke et al. 2006), Ces modèles peuvent se répartir en quatre catégories majeures :

 Des travaux comme (Charlot et al. 2007; Gharbi et Kenné 2000, 2005) ont développé des modèles d’optimisation du taux de production et de la maintenance portant sur les problèmes de contrôle optimal du flux de production. Dans ces modèles, le taux de production et le taux de maintenance représentent des variables de décision. Ces variables de décisions permettent d’optimiser le coût de maintenance en améliorant la capacité et la disponibilité des systèmes de production.

 Un autre type de modèle traite les modèles portant sur les systèmes de production détériorés avec stock (Chelbi et Rezg 2006; Van der Duyn Schouten et Vanneste 1995; Iravani et Duenyas 2002). Le recours au stock tampon dans ces modèles a pour objectif de réduire l’impact des pannes sur la productivité et d’essayer de satisfaire la demande durant la phase de maintenance préventive.

 Une troisième catégorie de modèles concerne QEP ; les modèles de la quantité économique à produire ou (EMQ : Economic Manufacturing Quantity). Dans ce modèle, les items sont produits à une cadence de production constante supérieure à celle de la demande. Le but de ce modèle est de trouver le temps de production qui minimise le coût moyen intégrant les coûts de stockage et de lancement de commande. La littérature qui traite les modèles de la quantité économique à produire QEP peut être divisée en deux catégories (Budai-Balke et al. 2006). La première considère les problèmes du modèle QEP qui tiennent compte des aspects de la qualité des items produits (Ben-Daya et Makhdoum 1998; Lam et Rahim 2002; H. L. Lee et Rosenblatt 1987, 1989; Rahim et Ben-Daya 2001; Tseng 1996;

74 Wang et Sheu 2003). La seconde catégorie des modèles QEP, analyse les effets des pannes stochastiques des machines sur le dimensionnement des lots de décisions (Chelbi et Ait Kadi 2004; Van der Duyn Schouten et Vanneste 1995; Groenevelt, Pintelon, et Seidmann 1992a, 1992b; Iravani et Duenyas 2002; Lin et Gong 2006; Makis et Fung 1995; Srinivasan M et Lee H 1996; Yao et al. 2005).

 La dernière catégorie de modèles concerne la planification agrégée de production. Dans cette catégorie les variables de décision sont associées à la maintenance (préventive et/ou corrective) (Aghezzaf et Najid 2008; Aghezzaf et al. 2007; Weinstein et Chung 1999).

Les travaux qui on traité la problématique de la sous-traitance dans la littérature, considèrent que la demande est connue constante et sur un horizon fini (Dahane et al. 2010, 2011; Dellagi et al. 2007). Dans notre étude, la demande est supposée aléatoire sur un horizon fini de temps. Pour réponde à une telle demande tout en minimisant les coûts de production et de stockage, il est nécessaire de varier la cadence de production le long de l’horizon. Ceci est vrai dans le cas où le coût de setup ou de changement de la cadence est faible. En effet, le changement de la cadence de la production peut certainement aider à atteindre les objectifs de la production lorsque des événements imprévus se produisent dans le système et qui perturbent le plan de production original. De toute évidence, la production à un taux de production plus élevés contribue à accélérer la dégradation du système de production. Par conséquent, nous considérons que le taux de panne de la machine augmente avec le temps et également avec l’usage.

Khouja et Mehrez (Khouja et Mehrez 1994) ont été les premiers auteurs à considérer un taux de production variable dans le contexte du modèle classique de la quantité économique à produire QEP. Ils ont supposé que la qualité du produit dépend du taux de production. Dans la littérature, la considération de la dégradation de l’équipement en fonction du taux de production est rarement utilisée. Parmi ces travaux, nous pouvons citer (Hu et al. 1994) qui ont discuté des conditions d'optimalité de la politique du "hedging point" des systèmes de production pour lesquelles le taux de pannes des machines dépend du taux de production. D'autres comme Liberopoulos et Caramanis. (Liberopoulos et Caramanis 1994) ont étudié la commande du flux optimal pour des systèmes à un seul type de produit avec un taux de panne Markoviens homogène dépendant du taux de production. Pour leur part, (Giri et al. 2005) ont examiné le problème de la quantité économique à commander d’un système de production ayant une loi de pannes aléatoire exponentielle avec un taux de panne en fonction du taux de production. Dans leur modèle, la demande est connue et constante, et aucune maintenance préventive n’est planifiée. Toutes ces études citées ci-dessus supposent que les pannes sont exponentiellement distribuées.

L'optimisation simultanée de la maintenance et de la production est une tâche complexe étant donné les différentes incertitudes associées au processus de décision. Ces incertitudes sont généralement liées à la nature aléatoire de la demande et la difficulté de prédire d’une part, et d’autre part, à la disponibilité des ressources matérielles. Silva Filho et Cezarino (Silva Filho

75 et Cezarino 2004) ont traité un problème stochastique de planification de la production sous des hypothèses de variables d’inventaires avec des informations imparfaites.

Récemment, Hajej et al. (Hajej et al. 2011) ont traité le problème du plan combiné de production et de maintenance d’un système de production pour satisfaire une demande aléatoire sur un horizon fini. Dans leur travail, (Hajej et al. 2011) les auteurs supposent que le taux de panne dépend du temps et du taux de production. Dans notre étude, nous nous somme basé pour notre modèle analytique sur l’étude de Hajej et al. (Hajej et al. 2011).

4.4 Notations

Ht : Horizon fini de production

∆t: Longueur d’une période de production

Ui,k: Cadence (taux de production) de la machine Mi, i{1,2} durant la période k (k=0,1,…,H)

k

d

V : Variance de la demande durant la période k

k

d : Demande durant la période k (k=0, 1,…, H)

ˆ

k

d : Demande moyenne durant la période k (k=0,1,..., H)

k

S : Niveau de stock à la fin de la période k (k=0, 1,…, H)

ˆ

k

S : Niveau de stock moyen durant la période k (k=0, 1,…, H) Cpri : Coût unitaire de production de la machine Mi, i{1,2}

Cs: Coût unitaire de stockage d’une unité produite par période CM: Coût de maintenance

Cpm: Coût d’une action de maintenance préventive

Ccm: Coût d’une action de maintenance corrective

um: Unité monétaire

Uimax: Cadence (taux de production) maximale de la machine Mi, i{1,2}

θ: Indice probabiliste (lié à la satisfaction de la clientèle et exprimant le niveau de service) R(t): Fonction de fiabilité

f(t): Densité de probabilité de défaillance de la machine M1

F(t): Fonction de distribution de probabilité de défaillance de la machine M1, telle que

0 ( ) ( ) t F t 



λ t : Taux de panne de la machine M1 à une sollicitation U1,k, durant la période k (k=0, 1,…,

H), avecλ₀(0)λ₀ ( )

n

λ t : Taux de panne nominal correspondant au taux de production maximale de la machine

M1

β2: disponibilité stationnaire de la machine M2

S0: stock initial.