Etat de l’art sur les sch´ ´ emas k-exacts

Les premiers travaux sur les m´ethodes de volumes finis d’ordre ´elev´e bas´ees sur des recons-tructions polynomialesk-exactes sont dues `a Barth [6, 5]. L’id´ee est de reconstruire la solution au sein de chaque cellule de maillage par un polynˆome de degr´e n. Les coefficients de ce po-lynˆome sont d´etermin´es par la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire au sens des moindres carr´es. Les

IV.1. ´ETAT DE L’ART SUR LES SCH ´EMAS K-EXACTS

reconstructions de la solution sont ensuite utilis´ees pour approcher les flux num´eriques `a la face, par exemple `a l’aide d’un sch´ema de Gudunov [51]. Ce type d’approximation est dite k-exacte car elle fournit une repr´esentation exacte de toute fonction polynˆomiale de degr´e inf´erieur ou

´

egal `ak. Ces travaux ont ´et´e repris r´ecemment par Olliver-Gooch et al. [99, 101], qui proposent des reconstructions polynomiales aux moindres carr´es de degr´e 2, 3 et 4 en imposant la conser-vation de la valeur moyenne. Le principal inconv´enient est que la taille minimale des voisinages de reconstructions augmente de fa¸con cubique avec le degr´e du polynˆome. La grande taille des voisinages est un probl`eme pour l’impl´ementation d’algorithmes informatiques efficaces car elle augmente le nombre d’acc`es m´emoire dans les boucles de calcul. L’augmentation du support de calcul en fonction de l’ordre fait ´egalement apparaˆıtre des probl`emes pour les ´echanges entre les domaines.

Afin de lever cette difficult´e Haider et al. [61] proposent une m´ethode dite de ”corrections successives” pour la construction d’approximations k-exactes. Au lieu d’augmenter l’ordre en augmentant la taille du probl`eme aux moindres carr´es `a r´esoudre, ils appliquent de mani`ere r´ecursive des op´erateurs d’ordre faible n’impliquant que les premiers voisins de la cellule consid´er´ee, de mani`ere `a produire des approximations des d´eriv´ees successives de la solution. La m´ethode implique notamment l’application r´ecursive de l’op´erateur d’approximation du gradient. Bien que la m´ethode ne r´eduise pas la taille effective du support d’approximation utilis´e pour recons-truire une repr´esentation polynˆomiale de la solution, elle est compacte en termes d’´echanges informatiques, puisque chaque cellule n’´echange des informations qu’avec ses voisins directs (i.e les cellules ayant au moins une face en commun avec la cellule courante), ce qui facilite gran-dement l’application des conditions aux limites et la parall´elisation de la m´ethode : la m´ethode est applicable pour des approximationsk-exactes d’ordre quelconques. Cette m´ethode a ´et´e uti-lis´ee dans la th`ese de G. Pont pour des simulations fid`eles de typeVLES sur des configurations industrielles.

Notons que des m´ethodes VF d’ordre 3 ou 4 bas´ees sur des corrections successives ont

´

et´e ´etudi´ees ´egalement par Caraeni [21, 22] et par Yang et al [154]. Toutefois, ces m´ethodes s’appuient sur des op´erateurs d’approximations des gradients ne pr´eservant pas la consistance pour des maillages irr´eguliers quelconques. Notamment, l’utilisation d’approximations de type Green-Gauss (d´ecrite dans le chapitre II) ne permet pas de pr´eserver l’ordre ´elev´e en g´en´eral, bien qu’elle am´eliore toujours la pr´ecision par rapport `a des sch´emas d’ordre 1 [112]. Son appli-cation est particuli`erement probl´ematique en pr´esence de maillages fortements anisotropiques et/ou ´etir´es, comme utilis´es couramment pour discr´etiser les couches limites.

Une fa¸con alternative pour approcher les gradients est repr´esent´ee par la m´ethode des moindres carr´es [99, 101, 68, 61]. Cette approche est plus pr´ecise que l’approximation Green-Gauss mais pr´esente tout de mˆeme un certain nombre d’inconv´enients. Pour des maillages fortement anisotropes le syst`eme moindre carr´e peut ˆetre mal conditionn´e et peut engendrer des instabilit´es num´eriques. De mˆeme, il a ´et´e montr´e que sur des maillages ´etir´es, par exemple autour d’un profil a´erodynamique, le gradient normal `a la paroi est syst´ematiquement sous-estim´e par une m´ethode de moindres carr´es [90]. En effet, la figure IV.3a montre que la m´ethode bas´ee sur le moindre carr´e sous-estime largement le gradient sur le profil d’aile, alors que la m´ethode Green-Gauss donne des r´esultats satisfaisants. En tra¸cant le gradient sur une ligne normale au profil comme sur la figure IV.3b, Mavriplis montre que cette sous estimation sub-siste mˆeme loin du profil. Mavriplis [90] montre ´egalement que la pond´eration du syst`eme des moindres carr´es par les distances entre les cellules (dit moindres carr´es pond´er´es) permet, pour des maillages triangulaires, de retrouver un comportement correct au moins dans une certaine mesure.

(a)Ratio entre le gradient calcul´e et exact sur le profil (b)Ratio entre le gradient calcul´e et exact sur une ligne normale `a la paroi en fonction de la distance

`

a la paroi (en unit´e de corde)

Figure IV.3 –Illustration des probl`emes avec la m´ethode des moindres carr´es par Mavriplis [90]

sur un profil d’aile RAE2822

La m´ethode dite quasi-Green, d´ecrite dans [111], est bas´ee sur le th´eor`eme de Green-Gauss corrig´e pour prendre en compte les irr´egularit´es du maillage. Ces corrections permettent d’ob-tenir une approximation consistante, c’est-`a-dire 1-exacte, du gradient dans des maillages quel-conques.

Pour toutes les m´ethodes pr´ec´edentes, une fois qu’une reconstruction polynˆomiale de la solution a ´et´e ´etablie, il faut ensuite calculer les flux aux faces, ce qui requiert en g´en´eral la r´esolution d’un probl`eme de Riemann. Pour des m´ethodes d’ordre sup´erieur `a deux, il faut enfin int´egrer le flux le long de la face par des m´ethodes de quadrature appropri´ees [6, 5].

Dans cette th`ese, nous nous focalisons sur des sch´emas k-exacts, bas´es sur des techniques de reconstructions successives MCS, notamment celles d´ecrites dans la th`ese de F. Haider [61].

Pour la correction de la solution, nous avons recours `a une approximation de type moindres carr´es, comme dans [61] (cette approche sera not´ee LSQ pour Least mean-SQuare dor´enavant) ou bien de type quasi-Green [111] (not´eeQG). Les deux m´ethodes sont analys´ees et compar´ees en termes d’efficacit´e, pr´ecision et robustesse.