Etat de l’art des modèles par éléments finis

2.2 Etat de l’art des modèles par éléments finis

P. Tovee et al. [8] ont été les premiers à modéliser le comportement thermique de sondes thermorésistives ( KNT et silicium dopé) sous COMSOL. Le modèle est construit en utilisant la loi d’Ohm pour la partie électrique et la loi de Fourier pour la partie thermique.

Pour la sonde KNT, seule la géométrie du micro-levier est modélisée et les limiteurs de courant ne sont pas pris en compte. Une première simulation est réalisée pour comparer les champs de température dans la sonde avec et sans les pistes en or (voir figure 2.1). Pour la géométrie du modèle incluant le circuit électrique en Au, le chauffage par effet Joule est concentré au niveau du film en Pd et l’élévation de température du micro-levier est négligeable. En supprimant les pistes en or, les auteurs observent un échauffement au niveau du micro-levier et une répartition de température non uniforme dans le substrat en SiO2. Les pistes en or jouent donc un rôle important dans la répartition de la température au sein de la sonde même si leur épaisseur (140 nm) est négligeable devant celle du substrat en SiO₂ (400 nm).

Avec les pistes en Au Sans les pistes en Au

Figure 2.1 – Répartition de la température dans la sonde KNT pour une géométrie avec et sans les pistes en Au [8].

Après la validation du modèle en se basant sur les mesures de calibration de la sonde loin de toute surface, le modèle est ensuite utilisé pour étudier la sen-sibilité des sondes thermorésistives selon la conductivité thermique des matériaux en contact. La figure 2.2 présente la variation de la température en fonction de la conductivité thermique de l’échantillon sous vide et à pression atmosphérique. L’axe vertical à gauche représente l’élévation de température moyenne dans le film en Pd et l’axe à droite correspond à la température au niveau de l’apex. On observe que la température de la sonde diminue en augmentant la conductivité thermique du maté-riau. La sensibilité de la sonde KNT est optimale dans un intervalle de conductivité

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compris entre 0.1 et 10 W/m.K. Le même comportement (variation de la tempéra-ture) est observé pour la sonde en Si dopé. Pour améliorer la sensibilité des sondes SThM, les auteurs ont développé une nouvelle sonde en utilisant un matériau d’une conductivité thermique de quelques milliers de W/m.K. Il s’agit des nanotubes de carbone fixés sur une pointe AFM par dépôt chimique. Cette sonde permet d’at-teindre une sensibilité optimale dans un intervalle de conductivité compris entre 0.1 et 100 W/m.K.

(a) (b)

Figure 2.2 – Sensibilité de la sonde KNT à la conductivité thermique de l’échantillon à pression atmosphérique et sous vide [8].

K.J. Kim et al [38] ont modélisé le transfert thermique entre une sonde en silicium dopé, chauffée par effet Joule, et l’air environnant pour un fonctionnement en régime transitoire. Pour représenter la géométrie de la sonde, le modèle est développé en 3D sous le logiciel ANSYS [39]. La géométrie de la sonde présente un plan de symétrie et donc la taille du système étudié est divisé par deux. Le volume d’air qui entoure la sonde est modélisé par un bloc rectangulaire d’une épaisseur de 100 µm. Les auteurs ont divisé la sonde en deux parties, la première est composée de pieds fabriqués en silicium fortement dopé (épaisseur 300 µm) et la seconde constitue le capteur thermique fabriqué en silicium faiblement dopé (rayon de courbure 10 nm). Un coefficient d’échange thermique avec le milieu extérieur, est attribué à chacune des deux parties. La figure 2.3 illustre le champ de température autour de la sonde. La puissance dissipée par effet Joule vaut 8 mW et la répartition de la température est représentée pour différentes durées de simulation : 1 µs , 10 µs et 100 µs. On observe que la chaleur diffuse rapidement du capteur vers le micro-levier avant de se propager dans le milieu environnant. La température de l’air à proximité du capteur thermique est environ 410 K à 10 µs et 690 K à 100 µs. Les

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publiées dans les travaux [40; 41]. Les coefficients d’échange évalués valent environ 2000 W/m2.K pour la partie micro-levier et 7000 W/m2.K pour le capteur en Si faiblement dopé. Ces valeurs sont du même ordre de grandeur que celles que nous avons identifiées au chapitre 4.

Figure 2.3 – Répartition de la température autour de la sonde en Si dopé sous air à 1µs , 10 µs et 100 µs [38].

A.Assy et al. [26] ont modélisé la réponse thermique de la sonde Wollaston en contact à pression atmosphérique. Le modèle de type éléments finis est développé sous COMSOL. En raison de la symétrie du problème, la géométrie de la sonde et de l’échantillon sont divisés par deux. L’air environnant est représenté par un bloc rectangulaire entourant le système sonde-échantillon. Les températures de l’échan-tillon et du milieu environnant sont fixées à 300 K. La distance entre la sonde et l’échantillon vaut 70 nm. Le flux de chaleur transmis vers la surface est évalué en fonction de la conductivité thermique de l’échantillon (voir figure 2.4). Les simu-lations sont réalisées en régime continu pour deux températures de la sonde : 400 K et 500 K. On observe que le flux de chaleur transmis vers la surface, à pression atmosphérique, est indépendant de la température de la sonde. Pour un échantillon ayant une conductivité thermique très faible, le flux chaleur est confiné au niveau de la sonde. En augmentant la conductivité thermique, la chaleur commence à se propager vers l’échantillon et la température de la sonde diminue. La sensibilité de ce type de sonde est optimale pour des matériaux ayant une conductivité thermique

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comprise entre 0.1 et 20 W/m.K. Nous avons observé le même comportement pour la sonde KNT en modélisant la variation de l’amplitude de la tension à 3ω en fonction de la conductivité thermique (voir chapitre 3).

Figure 2.4 – Simulation du flux de chaleur transmis vers la surface en fonction de la conductivité thermique de l’échantillon [26].

AA.Wilson [42] et al. ont développé leur modèle d’une sonde Wollaston en utili-sant le logiciel ABAQUS. La géométrie de la sonde est construite en se bautili-sant sur les images MEB. Les auteurs ont représenté uniquement l’élément thermorésistif de la sonde composé de platine rhodié à 10 % et possédant un diamètre de 5 µm. L’échan-tillon et l’air environnant sont représentés par deux larges bloc rectangulaires. Avant d’étudier la résistance thermique de la sonde au contact de l’échantillon, une étape de validation du modèle est nécessaire. Cette dernière consiste à modéliser le com-portement de la sonde loin de toute surface et d’ajuster les paramètres numériques pour reproduire les mesures expérimentales à pression atmosphérique. Ces simula-tions vont permettre aussi de déterminer le coefficient d’échange du film résistif, estimé à 1722 W/m2.K. La figure 2.4 représente la variation de la résistance ther-mique de la sonde en fonction de la conductivité therther-mique de l’échantillon. Les simulations sont réalisées dans un mode hors contact à différentes distances sonde-échantillon (z=260 nm, z=510 nm, z=760 nm et z=1010 nm). En rapprochant la sonde de la surface, la température de l’apex diminue et donc la résistance thermique de la sonde diminue. Si on augmente la conductivité thermique de l’échantillon, on observe aussi une chute de la résistance thermique pour les différentes positions de la sonde. On peut distinguer trois régions de sensibilité de la sonde Wollaston : la première est optimale pour κ compris entre 0.1 et 1 W/m.K, une deuxième région de sensibilité moyenne pour κ compris entre 1 et 10 W/m.K et la troisième est faible