Nous donnons un panorama des m ´ethodes existantes dans la litt ´erature en lien avec les deux parties de cette th `ese de doctorat, afin de comparer nos contributions `a l’existant.
2.8.1 Contr ˆole de micro-grids en contexte incertain (sans prise en compte des
con-traintes physiques du r ´eseau)
Diff ´erentes approches ont ´et ´e r ´ecemment propos ´ees pour contr ˆoler un micro-grid. Le mod `ele propos ´e dans le chapitre 3 s’inscrit dans cette th ´ematique de recherche, mais en prenant en compte une particularit ´e: l’optimisation jointe d’une d ´ecision prise `a l’instant initial et impactant le syst `eme sur tout l’horizon de temps (engagement de consommation) et du pilotage d’un syst `eme de stockage en temps r ´eel.
• Une approche relativement populaire pour contrˆoler des syst`emes de stockage ´energ´etique en contexte in-certain est l’approche Model Predictive Control. Celle-ci consiste `a ignorer l’incertitude dans le mod `ele et `a remplacer les param `etres incertains par leurs meilleures pr ´evisions. Un mod `ele physique d ´etaill ´e d’une batterie et de panneaux solaires est consid ´er ´e dans [SSM16] et une architecture de type Model Predictive Control est d ´evelopp ´ee. Cependant, l’approche Model Predictive Control est une heuristique dont la perfor-mance doit ˆetre valid ´ee par simulation. Ce manque de garantie d’optimalit ´e est ´etudi ´e dans [Pac+18], qui compare cette approche avec la Programmation Stochastique Dynamique Duale pour r ´esoudre un probl `eme d’optimisation de micro-grid. Dans ce mod `ele sont consid ´er ´es une batterie, un ballon d’eau chaude et le syst `eme de chauffage d’un b ˆatiment.
• Une autre approche fr´equemment utilis´ee est la mod´elisation par un Processus de D´ecision Markovien et une r ´esolution du probl `eme d’optimisation par Programmation Dynamique Stochastique, comme pour des probl `emes de charge de v ´ehicules ´electriques en contexte incertain [IMM14; Wu+16]. Cette approche fonc-tionne bien lorsque l’ ´etat du syst `eme peut ˆetre d ´ecrit par une variable de faible dimension.
• Le vieillissement est pris en compte dans des mod`eles de pilotage de batterie visant `a aider `a l’insertion de renouvelables dans [Hae14] et [Car+19a]. Cette derni `ere r ´ef ´erence propose une m ´ethode de d ´ecomposition temporelle (programmation dynamique) `a deux ´echelles de temps pour contr ˆoler la batterie `a court-terme tout en prenant en compte son vieillissement sur le long terme.
• Une mod´elisation en temps continu est consid´er´ee pour le contrˆole optimal d’un micro-grid ´equip´e d’un moteur diesel et d’une batterie en contexte d ´eterministe dans [Hey+15] et stochastique dans [Hey+16].
Des m ´ethodes de d ´ecomposition ont par ailleurs ´et ´e d ´evelopp ´ees pour ˆetre capables de r ´esoudre des probl `emes de gestion de plusieurs micro-grids en interaction. Ainsi, une m ´ethode de d ´ecomposition spatiale et temporelle est propos ´ee dans [Car+19b; Car+20] pour r ´esoudre le probl `eme de micro-grids ´equip ´es de batterie et pouvant ´echanger de l’ ´energie par le biais d’un r ´eseau. En particulier, la m ´ethode d ´evelopp ´ee permet de consid ´erer des probl `emes pour lequel la dimension de l’ ´etat du syst `eme est beaucoup plus ´elev ´ee que ce qui peut ˆetre r ´esolu par des m ´ethodes standards comme la Programmation Dynamique Stochastique ou la Programmation Dynamique Stochastique Duale. Cette m ´ethode de d ´ecomposition repose sur la formulation de sous-probl `emes associ ´es aux nœuds du r ´eseaux, chacun pouvant ˆetre r ´esolu par programmation dynamique. Un mod `ele simplifi ´e et lin ´eaire du r ´eseau ´electrique y est consid ´er ´e. En particulier, le mod `ele ne prend pas en compte les ph ´enom `enes li ´es au courant alternatif, ni les pertes thermiques et la puissance r ´eactive. Ces ph ´enom `enes sont consid ´er ´es de mani `ere plus pr ´ecise et r ´ealiste dans le probl `eme Optimal Power Flow stochastique multi- ´etapes ´etudi ´e dans le chapitre 7. Par ailleurs, il est souhaitable de d ´evelopper des m ´ethodes ne souffrant pas du fl ´eau de la dimension si l’on souhaite contr ˆoler un grand nombre de syst `emes de stockage. En effet, les r ´eseaux ´electriques pr ´esentent d ´ej `a un grand nombre de syst `emes de stockage ´energ ´etique connect ´es comme des batteries, des charges thermostatiques (tels les ballons d’eau chaude, des pompes `a chaleurs, des syst `emes de climatisation...) qui peuvent aider `a fournir les services syst `eme requis pour l’essor des ´energies renouvelables. Les syst `emes de stockage thermique ont ´et ´e identifi ´ees comme des leviers prometteurs pour ce faire [Mat+12; Cam+18b]. Cependant, contr ˆoler de fac¸on optimale un grand nombre de ces appareils pose plusieurs d ´efis:
1. La dimension de l’espace d’ ´etat correspond au nombre d’appareils contr ˆol ´es, qui peut ˆetre tr `es grand. Par cons ´equent, un ph ´enom `ene de fl ´eau de la dimension peut rapidement apparaˆıtre avec des m ´ethodes comme la programmation dynamique.
2. Les syst `emes de contr ˆole de moyens de stockage doivent ˆetre locaux. En effet, une architecture centralis ´ee n ´ecessiterait des infrastructures de t ´el ´ecommunication lourdes pour que le planificateur central puisse rassem-bler les donn ´ees des agents et envoyer des signaux de contr ˆole. De plus, la qualit ´e de service (i.e., le maintien de la temp ´erature associ ´ee `a chacune des charges thermostatiques dans des plages admissibles) pourrait
ˆetre d ´egrad ´ee en cas de perte de communication avec le planificateur central. 3. La confidentialit ´e des donn ´ees individuelles des consommateurs doit ˆetre respect ´ee.
Le mod `ele propos ´e dans le chapitre 4 et le cas d’application illustrant la m ´ethode num ´erique introduite au chapitre 5 r ´epondent `a ces probl ´ematiques. Nous donnons un aperc¸u des m ´ethodes utilis ´ees dans la litt ´erature pour le contr ˆole d ´ecentralis ´e de nombreuse flexibilit ´es ´energ ´etiques. Un premi `ere cat ´egorie de travaux de recherche visant `a r ´epondre `a ces probl ´ematiques est le d ´eveloppement d’architecture de contr ˆole pouvant ˆetre impl ´ement ´ees et bas ´ees sur la coop ´eration des usagers. Des contr ˆoleurs locaux r ´epondant `a un signal de coordination et bas ´es sur des mod `eles d’ ´Equations aux D ´eriv ´ees Partielles sont consid ´er ´es dans [TTS15; Tro+16]. Une approximation de type champ moyen d’un grand nombre de flexibilit ´es thermostatiques est utilis ´ee dans [BM16; Cam+18a] et des boucles de contr ˆole locales sont impl ´ement ´ees de mani `ere `a assurer que l’agr ´egation des flexibilit ´es se comporte comme une batterie virtuelle. Pour ces r ´ef ´erences, le taux de commutation (al ´eatoire) des appareils joue le r ˆole de la variable de contr ˆole. De plus, ces m ´ethodes n’apportent pas de garantie th ´eorique d’optimalit ´e et sont avant tout orient ´ees vers l’impl ´ementation.
Des approches bas ´ees sur la th ´eorie des jeux constituent ´egalement un moyen pratique d’obtenir des architec-tures de contr ˆole d ´ecentralis ´ees, avec des agents cherchant `a satisfaire leurs propres int ´er ˆets et r ´epondant `a des signaux de prix. Un m ´ecanisme de facturation horaire est propos ´e dans [Jac+18] pour inciter les consommateurs `a consommer moins aux horaires de forte demande. Le cas des jeux avec des agents h ´et ´erog `enes est consid ´er ´e dans [JW18]. Une technique de cryptographie est employ ´ee dans [Jac+19] afin qu’un agr ´egateur puisse observer la flexibilit ´e ´energ ´etique agr ´eg ´ee d’un ensemble de consommateurs sans avoir acc `es `a leurs donn ´ees individuelles. Les approximations de type champ moyen sont par ailleurs particuli `erement indiqu ´ees car elles sont d’autant plus pr ´ecises que le nombre d’agents est important. Les mod `eles de jeux `a champ moyen ont ainsi attir ´e l’int ´er ˆet de nombreux chercheurs pour mod ´eliser des probl `emes en gestion de l’ ´energie [DP+19; ATM20; MMS19; KM13; KM16]. Dans [DP+19], des syst `emes de stockage thermique r ´epondent `a des signaux de prix d ´etermin ´es par un probl `eme de Unit-Commitment afin d’allouer la part flexible de leur consommation et leur participation `a des services syst `eme. Le probl `eme est r ´esolu avec une m ´ethode de point fixe visant `a r ´esoudre le syst `eme form ´e par les ´equations d’Hamilton-Jacobi-Bellman et de Fokker-Plank, qui est un syst `eme d’ ´Equations aux D ´eriv ´ees Partielles coupl ´ees mod ´elisant la dynamique de la fonction valeur et de la mesure de probabilit ´e des ´etats de la population. Cette m ´ethode ne pr ´esente pas de garantie de convergence. Dans [ATM20], des consommateurs utilisent des batteries afin de r ´eduire leurs factures d’ ´electricit ´e, le prix de march ´e de l’ ´electricit ´e ´etant d ´etermin ´e par la demande agr ´eg ´ee des consommateurs. L’ ´equilibre de Nash de ce jeu `a champ moyen avec bruit commun (repr ´esentant les corr ´elations g ´eographiques dues `a la m ´et ´eo, qui impactent la production renouvelable locale) est caract ´eris ´e en utilisant le principe de Pontriaguine, ce qui permet d’obtenir des formules sous forme de feedback (boucle de r ´etro-action) explicites dans le cas lin ´eaire-quadratique. Le mod `ele de l’article [ATM20], qui ne consid `ere que des filtrations Browniennes, est ´etendu au cas des processus `a sauts dans [MMS19]. Un mod `ele de jeu `a champ moyen sans bruit commun est propos ´e dans [KM13], dans lequel la temp ´erature moyenne associ ´ee `a un ensemble de flexibilit ´es thermiques (comme des ballons d’eau chaude par exemple) doit suivre un profil sp ´ecifique, afin de fournir des services syst `eme. Le mod `ele consid ´er ´e est lin ´eaire-quadratique Gaussien, ce qui assure l’existence de formules quasi-explicites pour l’ ´equilibre de Nash. Le mod `ele est ´etendu aux processus Markoviens `a saut dans [KM16], avec des mod `eles plus fins des ballons d’eau chaude: le ph ´enom `ene de stratification (i.e., la non-homog ´en ´eit ´e de la temp ´erature de l’eau contenue dans les ballons) y est pris en compte. Les mod `eles bas ´es sur la th ´eorie des jeux et des jeux `a champ moyen fournissent un moyen pratique d’obtenir une architecture de contr ˆole d ´ecentralis ´ee, mais ils ne fournissent qu’un ´equilibre de Nash qui peut ˆetre sous-optimal d’un point de vue collectif. Des bornes sur le prix de l’anarchie sont obtenues dans [Jac+18] pour de tels mod `eles de jeux appliqu ´es `a la gestion de l’ ´energie. Dans les mod `eles lin ´eaires-quadratiques et sous certaines hypoth `eses, les mod `eles de contr ˆole `a champ moyen (resp. de jeux `a champ moyen) ont un unique optimum (resp. ´equilibre de Nash) pouvant ˆetre calcul ´e analytiquement, ce qui permet d’obtenir le prix de l’anarchie, qui quantifie la perte d’optimalit ´e entre le
cadre coop ´eratif (contr ˆole `a champ moyen) et comp ´etitif (jeu `a champ moyen). Une approximation de type champ moyen combin ´ee avec une d ´ecomposition par les prix est ´egalement propos ´ee dans le r ´ecent travail [Seg+20] afin de r ´esoudre des probl `emes de contr ˆole stochastique mod ´elisant des probl `emes d’agr ´egation de flexibilit ´es en gestion de l’ ´energie.
2.8.2 Etat de l’art pour le contr ˆ´ ole optimal de r ´eseaux ´electriques prenant en compte les
contraintes physiques
Le probl `eme de contr ˆole optimal d’un r ´eseau ´electrique en prenant en compte les lois de Kirchhoff non-lin ´eaires est appel ´e le probl `eme Optimal Power Flow (OPF). Il est situ ´e `a la fronti `ere entre l’optimisation math ´ematique, la physique et le g ´enie ´electrique. Pour cette raison, nous avons fait le choix d’introduire en d ´etail le probl `eme OPF dans le chapitre 6. Nous y donnons de nombreux pointeurs vers de la litt ´erature r ´ecente donnant des r ´esultats th ´eoriques, des formulations math ´ematiques, des approximations, des relaxations convexes et des m ´ethodes d’optimisation associ ´ees au probl `eme OPF. Dans la suite de ce paragraphe, nous ne faisons que r ´esumer les principaux r ´esultats, de mani `ere plus succincte.
D ´efinition
Le probl `eme Optimal Power Flow (OPF) est un probl `eme d’optimisation math ´ematique visant `a trouver le point de fonctionnement d’un r ´eseau ´electrique (en prenant en compte les lois de Kirchhoff) qui minimise une certaine fonction objectif, comme les co ˆuts de production, les pertes thermiques dans les lignes, sous des contraintes physiques, comme des niveaux maximums et minimums d’amplitude de tension, d’intensit ´e ou de puissance en certains points du r ´eseau. Ce probl `eme a ´et ´e formul ´e pour la premi `ere fois par Carpentier en 1962 [Car62] et il a par la suite ´et ´e beaucoup utilis ´e du fait de sa versatilit ´e.
La formulation la plus pr ´ecise de ce probl `eme est le probl `eme ”Alternating Current Optimal Power Flow” (AC OPF). Il s’agit d’un probl `eme d’optimisation non-convexes avec des contraintes quadratiques ´egalit ´e, qui se formule naturellement avec des variables complexes. Celles-ci permettent en effet de repr ´esenter de mani `ere compacte des signaux oscillants, que l’on retrouve dans les r ´eseaux op ´er ´es en r ´egime alternatif.
R ´eseaux `a une ou plusieurs phases, r ´eseaux radiaux ou maill ´es
Les r ´eseaux les plus courants peuvent ˆetre `a monophas ´es ( `a une phase), triphas ´es ´equilibr ´es ou triphas ´es d ´es ´equilibr ´es. Les r ´eseaux monophas ´es sont constitu ´es de lignes compos ´ees de deux c ˆables: un c ˆable ”terre” et un c ˆable pouvant transporter de la puissance. Les r ´eseaux triphas ´es ´equilibr ´es ou d ´es ´equilibr ´es comportent des lignes compos ´ees de quatre c ˆables: un c ˆable terre et trois c ˆables transportant les charges ´electriques. Dans le cas des r ´eseaux ´equilibr ´es, l’amplitude de la puissance circulant dans les trois c ˆables (appel ´es phases) est la m ˆeme et les signaux ne diff `erent que par un d ´ephasage de120° les uns par rapport aux autres, contrairement aux r ´eseaux d ´es ´equilibr ´es. Le probl `eme AC OPF pour des r ´eseaux triphas ´es ´equilibr ´es peut ˆetre r ´eduit au cas monophas ´e.
De plus, les r ´eseaux peuvent avoir une architecture radiale (acyclique) ou maill ´ee (avec des cycles). Les r ´eseaux de transport sont typiquement maill ´es et monophas ´es. Les r ´eseaux de distribution de moyenne tension sont le plus souvent radiaux et triphas ´es ´equilibr ´es, tandis que les r ´eseaux de distribution de basse tension sont radiaux et triphas ´es d ´es ´equilibr ´es. Nous nous concentrons sur le cas des r ´eseaux monophas ´es, ce qui permet de con-sid ´erer les r ´eseaux triphas ´es ´equilibr ´es. Des r ´esultats pour les r ´eseaux triphas ´es d ´es ´equilibr ´es sont donn ´es dans le chapitre 6.
M ´ethodes de r ´esolution du probl `eme AC OPF pour des r ´eseaux monophas ´es dans un cadre d ´eterministe et statique
Il a ´et ´e montr ´e r ´ecemment que le probl `eme AC OPF est fortement NP-difficile [BV19]. Pour le r ´esoudre malgr ´e sa difficult ´e, plusieurs m ´ethodes peuvent ˆetre appliqu ´ees, comme des m ´ethodes bas ´ees sur la programmation non-lin ´eaire, des lin ´earisations ou des relaxations convexes.
Les m ´ethodes issues de la programmation non-lin ´eaire incluent la m ´ethode de Newton Raphson [IS87], la pro-grammation quadratique s ´equentielle, les m ´ethodes de plus forte descente [For+10]. Ces techniques d’optimisation et beaucoup d’autres sont pr ´esent ´ees dans [FSR12a; FSR12b]. Cependant, elles sont souvent sensibles aux conditions initiales et ne convergent pas forc ´ement vers un optimum global, ce qui peut s’av ´erer co ˆuteux pour les gestionnaires de r ´eseaux.
Les approximations lin ´eaires sont largement utilis ´ees en pratique. Cependant, avec la part croissante des re-nouvelables dans le mix ´energ ´etique, elles peuvent n ´egliger des ph ´enom `enes importants, comme des variations d’amplitude de tension [NT15]. Parmi les lin ´earisations existantes, la plus connue est sans aucun doute la formu-lation Direct Current Optimal Power Flow (DC OPF), qui suppose les amplitudes de tension fix ´ees, et n ´eglige les pertes et la puissance r ´eactive. Des m ´ethodologies pour obtenir des bornes d’erreurs entre les mod `eles DC et AC OPF ont ´et ´e d ´evelopp ´ees [SJA09; DM16]. Il existe de nombreuses autres lin ´earisations, comme le mod `ele Lin-earized Distflow, particuli `erement adapt ´e aux r ´eseaux radiaux (i.e., acycliques), ou les lin ´earisations du probl `eme AC OPF autour d’un point de fonctionnement nominal.
Les relaxations convexes (coniques) du probl `eme AC OPF ont l’avantage de pouvoir ˆetre r ´esolues efficacement par des m ´ethodes de point int ´erieur et fournissent une garantie d’optimalit ´e globale quand leur optimum est faisable pour le probl `eme original non-convexe. Parmi elles, les relaxations Semi-D ´efinie, conique quadratique et chordale sont les plus connues et sont pr ´esent ´ees dans [Low14a; Low14b; MH+19]. Le saut de relaxation associ ´e est faible ou nul pour de nombreuses instances r ´ealistes [LL11]. Des conditions garantissant l’absence de saut de dualit ´e ont ´et ´e d ´emontr ´ees [LL11; SL12; FL13; Gan+14; Hua+16] mais il reste un ´ecart entre les conditions th ´eoriques garantissant l’absence de saut de dualit ´e et la pratique. En effet, de nombreuses instances ont un saut de dualit ´e nul sans pour autant satisfaire les conditions th ´eoriques trouv ´ees dans la litt ´erature. La relaxation semi-d ´efinie a un saut de relaxation plus faible que la relaxation conique quadratique, mais au prix d’un temps de calcul plus ´elev ´e, car elle est formul ´ee avec des matrices dont le nombre d’entr ´ees croˆıt avec le carr ´e du nombre de nœuds du r ´eseau. Pour des r ´eseaux radiaux, ces deux relaxations ont le m ˆeme saut de relaxation, si bien que la relaxation conique quadratique est toujours pr ´ef ´erable du fait d’une complexit ´e de r ´esolution num ´erique moindre. Des relaxations interm ´ediaires pour r ´esoudre des instances de grande taille du probl `eme AC OPF avec une bonne pr ´ecision et en temps raisonnable ont ´egalement ´et ´e propos ´ees, comme les relaxations semi-d ´efinies ”partielles” [BAD18], des relaxations coniques quadratiques renforc ´ees [KDS16]. Des m ´ethodes de p ´enalisation [MAL15] ou provenant de l’optimisation polynomiale parcimonieuses [MH14] ou des combinaisons de ces deux m ´ethodes [Mol+15; Mol+16; Jos16] peuvent ˆetre employ ´ees pour r ´esoudre des instances de grande taille pour lesquelles la relaxation semi-d ´efinie a un saut semi-de relaxation non nul.
Extensions au cas dynamique et/ou stochastique
Un mod `ele AC OPF dynamique avec syst `eme de stockage d’ ´energie est formul ´e dans [GKA13], bas ´e sur la formu-lation non-convexe des contraintes et sans prise en compte des incertitudes. La relaxation conique quadratique est utilis ´ee dans un cadre dynamique dans [GSGK18] pour dimensionner de mani `ere optimale des r ´eseaux de distri-bution. Des conditions trouv ´ees dans [LL11] sous lesquelles la relaxation semi-d ´efinie est exacte sont ´etendues au cas dynamique avec stockage dans [GT12]. Une revue de la litt ´erature pour les m ´ethodes associ ´ees au probl `eme OPF avec des application aux r ´eseaux de distribution avec syst `emes de stockage est effectu ´ee dans [SM16].
Les mod `eles stochastiques les plus utilis ´es sont les mod `eles OPF avec contraintes en probabilit ´e. Une revue de la litt ´erature sur le sujet est effectu ´ee dans [BCH14]. Des travaux r ´ecents proposent une version du probl `eme DC OPF avec contraintes en probabilit ´e [Roa+13; Roa+16], tandis que d’autres s’int ´eressent `a des versions proba-bilistes du probl `eme AC OPF lin ´earis ´e autour d’un point de fonctionnement de r ´ef ´erence [RMT17; RA17]. D’autres travaux consid `erent la formulation robuste associ ´ee `a la relaxation semi-d ´efinie et restreinte `a des r `egles de d ´ecision affines [Vra+13]. Une relaxation semi-d ´efinie du probl `eme AC OPF avec contraintes en probabilit ´e est propos ´ee dans [Ven+17], se basant sur une approche par sc ´enarios et avec des r `egles de d ´ecision affines, ou en faisant l’hypoth `ese de bruit gaussien. La r ´ef ´erence [HPC18] pr ´esente une relaxation conique quadratique du probl `eme AC OPF avec contraintes en probabilit ´e, combin ´ee avec des m ´ethodes de r ´ecup ´eration de solution faisable. Une autre classe de mod `eles stochastiques est celle des mod `eles multi- ´etapes, qui garantissent la non-anticipativit ´e des