2.6 Preuve du corollaire 4
3.1.2 R´esultats
Dans la direction de la conjecture 13, on a le r´esultat suivant (cf. corollaire 2 de [42]) : Th´eor`eme 29 Soient A une vari´et´e ab´elienne de type C.M., L un fibr´e en droites ample et sym´etrique de A et V une sous-vari´et´e alg´ebrique stricte de A sur k, k-irr´eductible et telle que Vk n’est pas r´eunion de sous-vari´et´es de torsion. On a l’in´egalit´e
bhL(V )
degL(V ) ≥ ˆµ
ess
L (V )≥ c(A/k, L) degL(V )−
1
n−dimV (log(2 deg
L(V ))) −κ(n)
,
o`u n est la dimension du plus petit sous-groupe alg´ebrique contenant V , et o`u κ(n) est une constante effectivement calculable ne d´ependant que de n (par exemple la fonction κ(n) = (2n(n + 1)!)n+2 convient).
On se restreint dans cet article au cas particulier des hypersurfaces V d’une vari´et´e ab´elien- ne de type C.M. Dans ce cas et sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent, on a n´ecessai- rement n = g. En effet, par d´efinition n appartient `a {g − 1, g}. De plus, si n ´etait ´egal `a g− 1, alors V serait une r´eunion de sous-vari´et´es de torsion, ce qui contredit l’hypoth`ese faite sur V . Ainsi, dans le cas des hypersurfaces, la conjecture est la suivante :
Conjecture 14 Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, et en supposant de plus que V est hyper- surface de A, on a l’in´egalit´e
bhL(V )≥ c(A/k, L),
o`u c(A/k,L) est une constante ne d´ependant que de A/k et de L. De mˆeme, le th´eor`eme 29 se sp´ecialise en
Th´eor`eme 30 Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, et en supposant que V est une hypersur- face de A, on a l’in´egalit´e
bhL(V )≥ degL(V )ˆµessL (V )≥ c(A/k, L) (log(2 degL(V ))) −κ(g)
,
o`u g est la dimension de A, et o`u κ(g) est une constante effectivement calculable ne d´ependant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)g+2 convient).
Dans ce cadre restreint aux hypersurfaces, on montre un r´esultat sensiblement plus fin en direction de la conjecture 14 : on peut prendre pour κ une valeur absolue, ind´ependante de g. En notant δi,j le symbole de Kronecker (valant 1 si i = j et 0 sinon), on d´emontre ici
le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 31 Si A est une vari´et´e ab´elienne de type C.M., L un fibr´e en droites ample et sym´etrique de A et si V est une hypersurface irr´eductible de A sur k telle que Vk n’est pas r´eunion de sous-vari´et´es de torsion, alors, on a l’in´egalit´e
bhL(V )≥ degL(V )ˆµessL (V )≥ c(A/k, L)
(log log 3 degLV )
1+2δg−s,1
(log 2 degLV )2+δg−s,1 ,
o`u s est la dimension du stabilisateur de V .
Notons que δg−s,1 = 0 sauf si A/k est le produit E×B d’une courbe elliptique E/k et d’une
vari´et´e ab´elienne B/k, et si V est de la forme {P } × B, o`u P est un point k-rationnel de E qui n’est pas de torsion. Dans ce cas, en supposant que A/k est une courbe elliptique, L le fibr´e associ´e au diviseur 3(0), et o`u V = {P } est l’ensemble des conjugu´es d’un point non de torsion P ∈ A(K) dans une extension finie D = [K : k], on retrouve exactement le r´esultat de Laurent [31] sur le probl`eme de Lehmer elliptique, `a savoir
bh(P ) ≥ c(A) D log log 3D log 2D 3 .
Dans le cas d’une “vraie” hypersurface, (i.e., quand δg−s,1 = 0), on obtient une minoration
un peu meilleure.
La d´emonstration suit fondamentalement les id´ees (et reprend une grande partie des preuves) de l’article de David-Hindry [19] concernant le probl`eme de Lehmer pour les
points d’une vari´et´e ab´elienne. Il s’agit en fait d’une extension d’un travail de Amoroso- David [3] concernant le cas des tores, au cas des vari´et´es ab´eliennes de type C.M. On fait un raisonnement par l’absurde, et on se fixe une hypersurface V contredisant la conclusion du th´eor`eme. La preuve consiste essentiellement en une preuve de transcendance classique. On commence tout d’abord par construire une fonction auxiliaire, nulle avec un grand ordre sur V . Pour cela on met en oeuvre une astuce dˆue `a Amoroso-David (qu’ils introduisent dans [3]) permettant de se ramener `a un syst`eme d’´equations fini et de hauteur control´ee. Ceci nous permet d’appliquer un lemme de Siegel pour construire la fonction auxiliaire F . La deuxi`eme partie de la preuve, l’extrapolation, consiste `a montrer que F continue `a s’annuler avec un ordre relativement grand sur les transform´ees αv(V ) de V par certaines
isog´enies αv o`u v d´ecrit un ensemble de places finies convenables du corps de d´efinition k
(les αv sont des relev´ees sur A/k des morphismes de Frobenius en caract´eristique finie pv.
C’est pour assurer l’existence de ces isog´enies que l’on se restreint au cas C.M.). Il s’agit d’une extrapolation aux places v-adiques. L’id´ee pour montrer ceci est d’appliquer une g´en´eralisation du petit th´eor`eme de Fermat : c’est la m´ethode employ´ee pour la premi`ere fois par Dobrowolski [23] dans le cas du probl`eme de Lehmer sur Gm. Cette id´ee a ensuite
´et´e reprise par Laurent [31] dans le cas des courbes elliptiques `a multiplication complexes puis ´etendue au cas des vari´et´es ab´eliennes de type C.M. par David-Hindry [19]. C’est cette derni`ere g´en´eralisation que nous allons reprendre. Ceci ´etant fait, il suffit pour conclure d’appliquer le th´eor`eme de B´ezout g´eom´etrique pour aboutir `a une contradiction (pour peu que les diff´erents param`etres intervenant dans l’´etape de transcendance aient ´et´es conve- nablement choisis). Pour cette derni`ere ´etape, on a besoin d’avoir une bonne minoration du degr´e de l’union des αv(V ). Ceci se fait en suivant les calculs de [19].
Remerciements : Je tiens `a remercier Sinnou David pour m’avoir sugg´erer l’´ecriture de cet article, et je tiens ´egalement `a remercier Marc Hindry pour les nombreuses discussions que nous avons eu sur le sujet.