Les tests num´eriques sont r´ealis´es sur le syst`eme de R¨ossler
˙
x=−y−z
˙
y=x+ay
˙
z=b+z(x−c)
(2)
o`u (a, b, c) sont les param`etres. Le syst`eme (2) est int´egr´e avec (a, b, c) = (0.44,2,4), un pas de temps de 0,02 et un bruit multiplicatif Gaussien1avec une d´eviation standard de 0.003. L’attracteur est reconstruit
`a partir de la variabley et ses d´eriv´ees successives. Une section de Poincar´e a calcul´ee en utilisant les mimina locaux Yk de la variable y. Une application de premier retour est alors calcul´ee en utilisant la s´equence de ces minima {Yk} (Fig. 1). Un total de 6179 points a ´et´e utilis´e. L’application pr´esente clairement trois branches monotones, deux croissantes et une d´ecroissante. Elle n´ecessite donc deux points critiques les s´eparant et, par cons´equent, trois symboles pour coder la trajectoire. Ce cas est particuli`erement int´eressant puisque la troisi`eme branche n’est pas fr´equemment visit´ee. Le second point critique n’est donc pas si facile `a identifier `a l’aide d’un crit`ere statistique.
Trois cas sont ´etudi´es. Tout d’abord, des partitions `a trois symboles sont r´echerch´ees. Ensuite, des partitions `a respectivement deux et quatre symboles sont tent´ees. Dans chaque cas, les taux ˜Nq(p) sont calcul´es utilisant des s´equences symboliques de longueur 4, 6 et 8, conduisant ainsi `a neuf exemples diff´erents. Par caract´eriser le comportement statistique de chaque application, chacun de ces exemples a
´et´e lanc´e 500 fois de mani`ere ind´ependante. Pour chaque exemple, la moyenne et la d´eviation standard des points critiques trouv´es ainsi que le taux ˜Nq(p) sont calcul´es et report´es Tab. 1. Il est important de noter que la dimension de l’espace de recherche varie de un `a trois, rendant une recherche exhaustive impossible.
Dans tous les cas, la strat´egie ´evolutioniste a ´et´e appliqu´ee `a des populations de taille λ = 100. Le param`etreǫcontrˆolant le taux de mutation a ´et´e pos´e ´egal `a 0,87, et la limite sur le nombre d’´evaluations de fonction est fix´ee `a 20000.
Les histogrammes des exemples ´etudi´es sont repr´esent´es avec l’application de premier retour (Fig.
1). Chaque exemple est d´esign´e par une lettre correspondant `a la premi`ere colonne du tableau 1. Les histogrammes regroupent tous les points critiques calcul´es pour chaque exemple. Les exemples (a) et (c) pr´esentent une distribution pratiquement uniforme des points critiques. Dans l’exemple (d), bien qu’impliquant le nombre correct de symboles, il n’a pas ´et´e possible d’identifier la bonne partition. Par contre, les partitions sont correctement estim´ees dans les cas (e) et (f) ; toutefois, l’histogramme (f) pr´esente une d´eviation standard inf´erieure `a celle obtenue dans le cas (e). En fait, ceci n’est pas tout `a fait exact car dans le cas (f), il y a deux recherches qui ne convergent pas vers le maximum de la fonction
1 Le bruit est ajout´e `a chaque point de la trajectoire avant que le point suivant ne soit calcul´e, de mani`ere `a ce que le bruit perturbe la trajectoire.
0 1 2 3 4 5 6
Y
k0 2 4 6
Y
k+1a b c d e f g h i
Fig.1. Appliation de premier retour `a la section de Poincar´e du syst`eme de R¨ossler. Le signe des pointsYk est invers´e afin de montrer l’application dans le sens usuel. Les param`etres sont a = 0.44, b = 2 et c = 4. Les histogrammes des points estim´es pour chaque exemple sont report´es. Les lettres correspondent `a la premi`ere colonne du tableau 1.
objectif, et de ce fait, la d´eviation standard de cet exemple est plus grande que celle du cas (e). Lorsque ces points sont retir´es, une d´eviation standard plus petite est obtenue, ce qui est en meilleur accord avec les histogrammes. Les exemples de (g) `a (i) correspondent `a des partitions `a quatre symboles, soit un symbole de plus que la partition exacte. N´eanmoins, les points critiques obtenus ont des d´eviations standard plus petites, au moins ceux qui correspondent `a la partition topologique.
La recherche avec deux symboles est ´egalement int´eressante puisqu’elle implique un nombre de sym-boles inf´erieur `a celui effectivement requis pour une description correcte de la dynamique. Il apparaˆıt de mani`ere ´evidente qu’augmenter la longueur des s´equences symboliques aide `a r´eduire la dispersion entre les diff´erents lanc´es. Comme cela est repr´esent´e Fig. 1 (cas (a), (b) et (c)), les intervalles sur lesquels la partition est trouv´ee est r´eduit comme la longueur n des s´equences est augment´ees. Mais elle demeure tout de mˆemegrande, y compris dans le cas avec huit symboles (cas (c)). Au contraire, lorsqueq = 3, c’est-`a-dire avec le nombre correct de symboles, la d´eviations standard entre les diff´erents essais d´ecroˆıt significativement, au moins lorsque des s´equences de plus de quatre symboles sont consid´er´es (cas (e) et (f) de la Fig. 1). De plus, retirant les deux partitions qui sont de mani`ere tr`es ´evidente tr`es diff´erentes des 498 autres, des d´eviations standards r´eduite d’un facteur dix (ligne«8*» du Tab. 1. Lorsqueq= 4,
c’est-`
a-dire avec un nombre de symboles plus grand que le nombre exact, trois points critiques sont trouv´es avec une petite d´eviation standard lorsque des s´equences d’au moins huit symboles sont consid´er´ees (cas (i), Fig. 1). Parmi eux, deux points critiques correspondent aux points r´eels et un est ´evidemment fallacieux.
D´etermination de partitions par algorithme g´en´etique 59 Tab.1. Estimation de la localisation des points critiques utilisant un nombreqde symboles et des s´equences de longueurn. Cas du syst`eme de R¨ossler. Valeurs des param`etres :a= 0.44,b= 2, etc= 4.
q n C1 C2 C3 N˜q(p)
a 2 4 3.42±0.43 1.00±0.00
b 2 6 3.37±0.31 1.00±0.00
c 2 8 3.32±0.26 1.00±0.00
d 3 4 3.42±1.41 4.18±0.69 0.57±0.02 e 3 6 3.32±0.06 5.71±0.03 0.26±0.00 f 3 8 3.39±0.02 5.71±0.09 0.14±0.002 f 3 8* 3.39±0.001 5.71±0.00 0.14±0.00 g 4 4 3.26±0.22 5.76±0.19 1.52±0.29 0.32±0.005 h 4 6 3.36±0.05 5.74±0.006 1.15±0.27 0.09±0.000 i 4 8 3.37±0.003 5.72±0.001 1.21±0.01 0.025±0.000
Il doit ˆetre not´e que lorsqu’il n’y a pas assez de symboles, il est impossible d’obtenir des partitions avec de petites d´eviations standard, mˆeme lorsque le nombre de symboles est augment´e. En cons´equence, le nombre correct de symboles peut ˆetre estim´e comme le nombre offrant des partitions avec des d´eviations standard significativement plus petites.
De mani`ere `a tester la m´ethode propos´ee dans le cas d’un plus grand nombre de symboles, un autre int´egration du syst`eme de R¨ossler a ´et´e r´ealis´ee pour les param`etres (a, b, c) = (0.53,2,4). La section de Poincar´e a ´et´e reconstruite `a partir de la variablex. Un ensemble de 5127 points a ´et´e retenu pour l’application de l’algorithme de recherche. L’application de premier retour est maintenant constitu´ee de cinq branches monotones (Fig. 2). Deux essais sont tent´es avec respectivement cinq et sept symboles. Dans tous les cas, les s´equences de dix symboles sont recherch´ees. Cinquante essais diff´erents sont lanc´es. Les histogrammes correspondant aux partitions obtenues sont repr´esent´es Fig. 2. Lorsque cinq symboles sont utilis´es (cas (a)), presque tous les essais conduisent `a une mauvaise estimation du dernier point critique (entre la derni`ere branche d´ecroissante et la derni`ere branche croissante). Ce n’est qu’avec sept symboles que ce dernier point critique est correctement identifi´e. Evidemment, il y a des points fallacieux dans ce dernier cas. Mais si nous ne retenons que les points critiques les plus souvent identifi´es, la partition topologique est tr`es correctement approch´ee par cette recherche.
Le r´esultat avec cinq symboles m´erite quelques ´etudes compl´ementaires. L’histogramme des taux ˜Nq(p) obtenus (Fig. 3) montre que la plupart des essais ne conduisent pas au taux maximum possible. Si les essais sont restreints `a ceux qui conduisent `a des taux sup´erieurs `a 0.0005228, l’histogramme qui en r´esulte (cas (c), Fig. 3) indique que le probl`eme d’optimisation non lin´eaire est plus d´elicat `a r´esoudre avec cinq symboles qu’avec sept. Ceci r´esulte du fait que la cinqui`eme branche n’est pas souvent visit´ee compar´ee aux quatre autres. A l’oppos´e, puisque le premier point critique est associ´e `a un pic dans la probabilit´e de r´ealisations, un point critique fallacieux apparaˆıt souvent en son voisinage. Augmenter le nombre de symboles contribue `a r´eduire la perte de visibilit´e des branches faiblement visit´ees. Puisque des points fallacieux sont obtenus sur l’intervalle invariant et que ceux-ci d´ependent de l’essai, ces identifications erron´ees ne sont pas associ´ees `a une haute probabilit´e et, par cons´equent, sont facilement distingu´ees des points critiques r´eels. Ainsi, en augmenter le nombre de symboles peut aider `a am´eliorer la proc´edure d’identification. Mais le crit`ere utilis´e, c’est-`a-dire un nombre maximal de s´equences r´ealis´ees, est ici prouv´e ˆetre correct dans le sens o`u plus grand est ce nombre, plus pr´ecise est la partition obtenue (relativement `a la partition topologique).
0 1 2 3 4 Yk
0 1 2 3 4
Yk+1
a b c
Fig.2. Application de premier retour et histogrammes des points critiques estim´es pour un probl`eme `a cinq symboles. Valeurs des param`etres :a= 0.53,b= 2 etc= 4. Les essais avec respectivement (a) 5 et (b) 7 symboles sont report´es. L’histogramme (c) pr´esente les cinq symboles du cas (b) les plus souvent identifi´es.
0,0005225 0,0005226 0,0005227 0,0005228 0,0005229 0,000523 0,0005231 Rate of number of sequences
0 10 20 30 40
# of occurrences
Fig.3.Histogramme des taux ˜Nq(p) obtenus pour le cas `a cinq symboles.
R´ ef´ erences
1. J. Plumecoq & M. Lefranc, From template analysis to generating partitions I : Periodic orbits, knots and symbolic encodings,Physica D,144, 231-258, 2000.
2. J. Plumecoq & M. Lefranc, From template analysis to generating partitions II : Characterization of the symbolic encodings,Physica D,144, 259-278, 2000.
3. X.Z. Tang, E.R. Tracy, A.D. Boozer, A. de Brauw & R. Brown.Symbol sequence statistics in noisy chaotic signal reconstruction,Physical Review E,51(5), 3871-3889, 1995.
4. J. Godelle & C. Letellier.Symbolic sequence analysis of liquid jet,Physical Review E,62, 2001.
5. C. Letellier, Symbolic sequence analysis using approximated partition, Chaos, Solitons & Fractals, 36, 32-41, 2008.
6. E. M. Bollt, T. Stanford, Y.-C. Lai & K. Zyczkowski. What symbolic dynamics do we get with a misplaced partition ? On the validity of threshold crossings analysis of chaotic time series,Physica D,154, 259-286, 2001.
7. T. B¨ack, U. Hammel & H.-P. Schwefel,IEEE Transaction on Evolutionary Computation,1, 3 (1997).
rencontre du non-lin´eaire 2008 61