R´esultats existant et points bloquants

Une caract´erisation du second ordre

Nous passons d´esormais `a une d´erivation math´ematique plus formelle imitant celle de la section 2.1.2. Supposons qu’il existe une solution X de (2.1.4) `a valeurs dans _{D d´emarr´ee} d’un point x∈ D. Soit φ : Rd _{→ R une fonction r´eguli`ere telle que max}

D φ = φ(x). Comme

φ(Xt)≤ φ(x), le lemme d’Itˆo entraˆıne

Z t

0 Lφ(Xs)ds +

Z t

0 (Dφσ)(Xs)dWs≤ 0, t ≥ 0, (2.1.6)

o`u<sub>Lφ := Dφb +</sub> 1<sub>2</sub>Tr(D2<sub>φσσ</sub>⊤<sub>). En prenant l’esp´erance de l’expression pr´ec`edente avant de</sub>

diviser par t et d’envoyer t→ 0, nous obtenons Lφ(x) ≤ 0, ou, de mani`ere ´equivalente, apr`es un petit effort2,

hu, b(x)i + 1

2Tr(vσ(x)σ(x)

⊤_{)≤ 0 x ∈ D, (u, v) ∈ N}2

D(x), (2.1.7)

2_{via la formule de Taylor au second ordre de φ autour de son maxima x avec (u, v) ≡ (Dφ(x)}⊤

o`u N2

D(x) est le cˆone normal de second ordre de l’ensembleD en un point x d´efini par

N_D2(x) ={(u, v) ∈ Rd× Sd,hu, y − xi +1

2hy − x, v(y − x)i ≤ o(ky − xk

2_{),∀ y ∈ D}.}

Par ailleurs, la condition (2.1.7) est suffisante pour l’invariance en vertu du principe du maximum d’Ethier et de Kurtz [54, Th´eor`eme 4.5.4].

Cela donne une caract´erisation de l’invariance en termes du cˆone normal du second ordre. N´eanmoins, la formulation (2.1.7) pr´esente deux inconv´enients majeurs. Premi`erement, nous ne pouvons pas directement lire sur (2.1.7) les intuitions g´eom´etriques (2.1.5). Deuxi`emement, le calcul du cˆone normal du second ordre peut ˆetre lourd en pratique, par opposition `a celui du cˆone normal du premier ordre. Il serait donc pr´ef´erable d’avoir une caract´erisation ex- clusivement en terme du cˆone normal du premier ordre, comme dans le cadre d´eterministe. En inspectant (2.1.7) et en se rappelant que (u, v) ≡ (Dφ(x), D2_{φ(x)), nous sommes tent´es}

d’effectuer une int´egration par parties sur le terme Tr(vσ(x)σ(x)⊤_{) afin de r´ecup´erer le gra-}

dient u = Dφ(x)⊤. Pour ce faire, des hypoth`eses de r´egularit´e suppl´ementaires sur σ, telle que sa d´erivabilit´e, sont n´ecessaires.

Une caract´erisation du premier ordre

En observant (2.1.6) et en supposant que σ est deux fois d´erivable, nous pouvons r´eappliquer le lemme d’Itˆo au terme (Dφσ)(X) pour obtenir (rappelons que X0= x)

0_≥ Z t 0 Lφ(Xs )ds + Dφ(x)σ(x)Wt + Z t 0 Z s 0 D(Dφσ)(Xu)σ(Xu)dWu _⊤ dWs+ Z t 0 Z s 0 L(Dφσ)(Xu )du dWs. (2.1.8)

L’id´ee est d´esormains d’´etudier le comportement en temps court de l’expression pr´ec´edente sans prendre l’esp´erance. Afin de simplifier les notations, nous nous limitons au cas unidi- mensionnel d = 1 et nous d´efinissons

γ : y→ D(Dφσ)(y)σ(y) = D2φ(y)σ2(y) + Dφ(y)Dσ(y)σ(y).

Le terme de double int´egrales stochastiques dans (2.1.8) se d´ecompose de la fa¸con suivante

Z t 0 Z s 0 γ(Xu)dWudWs= γ(x) Z t 0 Z s 0 dWudWs+ Z t 0 Z s 0 (γ(Xu)− γ(X0))dWudWs = γ(x) 2 (W 2 t − t) + O(t1+ǫ)

o`u l’estimation d´ependant de la variable al´eatoire ǫ(ω) > 0 peut ˆetre obtenue de mani`ere heuristique sous des hypoth`eses de r´egularit´e H¨old´erienne convenables sur σ et le fait que

Wt se comporte, tr`es grossi`erement, comme √t. Par le mˆeme raisonnement, nous pouvons

montrer que le dernier terme de (2.1.8) est domin´e par t3/2lorsque t tend vers 0. Par ailleurs, comme lim inf t→0 W2 t t = 0 et lim sup_t→0 W2 t t = +∞,

en divisant (2.1.8) par t et en prenant la lim sup pour t→ 0, nous obtenons 0_{≥ Lφ(x) + lim sup} t→0 Dφ(x)σ(x)Wt t − γ(x) 2 + 1{γ(x)>0}“ +∞”.

CommeWt

t est une variable al´eatoire gaussienne centr´ee avec variance 1, l’in´egalit´e pr´ec´edente

n’est possible que si (i) Dφ(x)σ(x) = 0, (ii) γ(x)≤ 0,

(iii) 0_{≥ Lφ(x) −}γ(x)₂ = Dφ(x)b(x)₋ 1₂Dσ(x)σ(x).

L’´etude informelle pr´ec´edente du comportement en temps court des int´egrales stochastiques doubles peut ˆetre rendue rigoureuse en faisant appel `a la loi du logarithme it´er´e du mou- vement Brownien, comme dans [30], voir aussi [23, Lemme 2.1]. En relˆachant la restriction

d = 1, (i) et (iii) conduisent `a la caract´erisation suivante, d´eriv´ee d’abord par Doss [47] et plus tard par Da Prato et Frankowska [38]. Sous des hypoth`eses de r´egularit´e appropri´ees sur (b, σ), il existe une solution `a (2.1.4) `a valeurs dansD pour tout point de d´epart X0 ∈ D

si et seulement si σ(x)⊤u = 0 et hu, b(x) − 1 2 d X j=1 Dσj(x)σj(x)i ≤ 0, x ∈ D, u ∈ N_D1(x), (2.1.9)

o`u σj(x) d´esigne la j-`eme colonne de la matrice σ(x) et Dσj(x) est la matrice Jacobienne de

σj(x) ´evalu´ee au point x.

Les conditions (2.1.9) refl`etent exactement les intuitions g´eom´etriques (2.1.5) o`u la contri- bution F (σ) due `a la volatilit´e σ dans la direction tangentielle est quantifi´ee via le terme correctif de Stratonovich F (σ) = 1 2 d X j=1 Dσjσj.

Historiquement, le terme correctif a ´et´e nomm´e apr`es le math´ematicien russe Ruslan L. Stratonovich et permet de retrouver la r`egle de d´erivation en chaˆıne perdue avec la th´eorie d’Itˆo. Le terme correctif de Stratonovich apparaˆıt dans une multitude de probl`emes tels que le r´esultat d’approximation de Wong et Zaka¨ı [113], le th´eor`eme de support de Stroock et Varad- han [107], la m´ethode de Milstein pour les simulations num´eriques . . . avec de nombreuses applications en physique. Bien que diff´erents, les probl`emes ´enum´er´ees pr´ec´edemment, tout comme les probl`emes d’invariance et de viabilit´e, reposent sur la r`egle de d´erivation en chaˆıne traditionnelle, ce qui explique l’apparition du terme correctif Stratonovich.

Sur le plan pratique, la formulation (2.1.9) n´ecessite de fortes hypoth`eses de r´egularit´e sur les coefficients, `a savoir sur σ. Le terme correctif de Stratonovich n’a de sens que lorsque σ est d´erivable, ce qui est tr`es restrictif pour les applications. En effet, nous fixons_{D = R}+et

nous consid´erons le processus racine carr´ee suivant

dXt= b(Xt)dt +

p

XtdWt.

Ici, σ : x_→√x n’est pas d´erivable au point du bord x = 0. Bien que le terme Stratonovich

ne soit pas bien d´efini dans ce cas, nous pouvons toujours prendre une limite na¨ıve au point 0 avec u =−1 (vu que N1

D(0) = R−), ce qui donne 0_{≥ lim} x→0hu, b(x) − 1 2Dσ(x)σ(x)i = limx→0(−1)  b(x)₋1 2 1 2√x √ x  ,

entraˆınant

b(0)≥ 1 4,

qui est une condition trop forte; puisque la bonne condition d’invariance pour le processus racine carr´ee est b(0) ≥ 0. Intuitivement, lorsque le processus approche z´ero, le terme de diffusion√XtdWt tend vers 0 et X se comporte comme dans l’´equation d´eterministe (2.1.1)

donnant la condition de drift pointant vers l’int´erieur b(0) _{≥ 0. Cet exemple illustre que} d’une part, mˆeme pour des diffusions simples, en l’occurrence le processus racine carr´ee, les hypoth`eses requises pour (2.1.9) ne sont pas remplies. D’autre part, l’approximation na¨ıve du terme correctif de Stratonovich sur le bord du domaine par les valeurs qu’il prend `a l’int´erieur du domaine ne fournit pas la bonne caract´erisation de l’invariance.

En observant que a := σ2 est d´erivable pour le processus racine carr´ee, nous sommes tent´es de d´eriver une caract´erisation du premier ordre similaire `a (2.1.9) en termes de la matrice

a := σσ⊤ `a la place de σ, en imposant les hypoth`eses de r´egularit´e sur a plutˆot que sur

σ. Ceci peut ˆetre heuristiquement justifi´e par les deux observations suivantes. Comme nous

l’avons d´ej`a constat´e sur (2.1.7), la caract´erisation d´epend de σ uniquement via a = σσ⊤ _et

une int´egration par parties serait toujours possible sur le terme Tr(vσ(x)σ(x)⊤) si seulement

a est suppos´e d´erivable. En langage probabiliste, le probl`eme de trouver une solution `a

(2.1.4) `a valeurs dans<sub>D peut ˆetre exclusivement reformul´e via la loi du processus X, qui est</sub> enti`erement d´etermin´ee par a et b. Deuxi`emement, imposer les hypoth`eses de r´egularit´e sur

a plutˆot que sur σ ´etend consid´erablement la plage de validit´e de (2.1.9) `a une classe plus large de mod`eles utiles en pratique, comme les diffusions affines et polynomiales (voir [48] et [35]). Pour ces processus, la fonction a = σσ⊤ est r´eguli`ere (avec une d´ependance affine ou polynomiale en x) mais σ peut ne pas ˆetre d´erivable, notamment sur le du bord domaine, comme l’exemple du processus racine carr´e l’a d´ej`a illustr´e.