2.4 Approximants de type Pad´ e g´ en´ eralis´ es
2.4.3 R´ esultats de convergence pour diff´ erents types de fonctionnelles d’inter-
On va utiliser des r´esultats de convergence de la th´eorie de l’interpolation et le th´eor`eme 2.16 pour obtenir des r´esultats de convergence pour des suites particuli`eres de ATPG. ´Etant
donn´ees une fonction g´en´eratrice G d’une famille {gi(n)}i∈N, une fonction f d´evelopp´ee dans la famille {gi(n)}i∈N et la forme lin´eaire associ´ee c, on va d´eterminer, pour diff´erents types de fonctionnelles d’interpolation Lk, les conditions `a imposer `a G et c pour que la suite ((n)Gf(t))n converge vers f . On ´etudiera deux types de formes Lk.
1. Interpolation de Lagrange et de Hermite
On consid`erera trois choix pour les abscisses d’interpolation (a) s´erie d’interpolation
Th´eor`eme 2.17. [A7] Soient ζ1, ζ2, · · · , ζk des points de C et Lρ la lemniscate d´efinie par |(z − ζ1)(z − ζ2) · · · (z − ζk)| < ρk.
Soit f une fonction analytique de la forme
f (z) = ∞ X
i=0
cigi(z) z ∈ A,
o`u c est la forme lin´eaire associ´ee et G(x, t) la fonction g´en´eratrice correspondante. Supposons que
(i) lim supn→∞|cn|1/n = r < ∞ ;
(ii) ∀t ∈ A∗ ⊂ A, G(·, t) est analytique dans Lρ⊇ DR∗, R∗ > r. Si l’on consid`ere une suite de points (zi)i v´erifiant
lim
n→∞znk+i= ζi, 1 ≤ i ≤ k ; zi ∈ Lρ ∀i,
et si Pn(x; t) est le polynˆome de degr´e ≤ n qui interpole G aux points zi, i = 1, · · · , n + 1 (t consid´er´e comme un param`etre), alors la suite des ATPG correspondante converge vers f dans A∗.
Quelle forme ont ces ATPG ?
– si les points d’interpolation sont tous distincts, on obtient par la formule de Lagrange c(Pn(·, t)) =
n X
i=0
c(li)G(ζi, t)
et donc les approximants sont des combinaisons lin´eaires des fonctions G(ζi, t), i = 1, · · · , n + 1,
– si tous les points d’interpolation co¨ıncident, les lemniscates sont r´eduites `a des cercles et Pn(x; t) est le polynˆome de Taylor Pn(x; t) =Pni=0∂x∂ii(G(x, t)) |x=ζ x
i
i!. Dans ce cas, les approximants sont des combinaisons lin´eaires des fonctions n∂x∂ii(G(ζ, t)
on+1 i=1.
On remarque encore une fois que si gi(t) = ti ∀i, la fonction g´en´eratrice est donn´ee par G(x, t) = 1/(1 − xt) et l’approximant sera une fonction rationnelle - un approximant de type Pad´e. (b) ensemble triangulaire de points d’interpolation
On consid`ere maintenant le cas plus g´en´eral o`u les fonctionnelles Lk d´ependent de n, i.e. on a l’ensemble suivant de points d’interpolation
β1(0) β1(1), β2(1) · · · · β1(n), β2(n), · · · βn+1(n) · · · · (2.9)
Un r´esultat connu de convergence est le suivant :
Th´eor`eme 2.18. [115] Soit C un ensemble de points ferm´e born´e dont le compl´ementaire est connexe r´egulier. Soit x = Φ(z) la fonction qui transforme K dans |w| > 1 de fa¸con `a ce que les points `a l’infini correspondent, et soit ∆ la capacit´e de C. Supposons que les points (2.9) n’aient pas de point limite ext´erieur `a C et v´erifient la relation
lim n→∞ (z − β (n) 1 )(z − β (n) 2 ) · · · (z − β (n) n+1) 1/(n+1) = ∆ |φ(z)| , uniform´ement dans chaque sous-ensemble ferm´e born´e dans K.
Soit f une fonction analytique dans C. Alors la suite de polynˆomes pn(z) de degr´es respectifs n interpolant f (z) aux points β1(n), · · · , βn+1(n) v´erifie
lim
n→∞pn(z) = f (z) uniform´ement pour z ∈ C.
Si l’on consid`ere diff´erents choix particuliers pour les suites de points (2.9) et diff´erentes fonctions g´en´eratrices, en appliquant le th´eor`eme (2.16) on obtient de nouveaux r´esultats de convergence pour des suites de ATPG. Regardons, par exemple, le choix des βi(n)comme racines de polynˆomes orthogonaux classiques. D’autres cas sont consid´er´es dans [A7].
Corollaire 2.19. [A7] Soient f une fonction analytique dans un domaine A donn´ee par f (t) = P∞
n=0cntn, t ∈ A, G la fonction g´en´eratrice et c la forme lin´eaire associ´ees. Supposons que – pour t ∈ A∗ ⊂ A, la fonction g´en´eratrice G(·, t) est continue dans [−1, 1] avec module de
continuit´e w(δ) v´erifiant w(δ) = o(|log δ|−1) ; – c v´erifie P[−1,1];
– pour t ∈ A∗, G(·, t) appartient `a E1([−1 + , 1 − ]) ( < 1/2).
Alors si les Lk sont les fonctionnelles d’interpolation aux racines des polynˆomes de Jacobi Pn(α,β)(x) (α, β fix´es), la suite correspondante de ATPG v´erifie
∀t ∈ A∗ lim
n→∞(n) G
f(t) = f (t).
(c) distribution r´eguli`ere des points d’interpolation βk(n) Supposons que les points βk(n) v´erifient
lim n→∞ (z − β (n) 1 ) · · · (z − β (n) n+1) 1/(n+1) = σ(z),
pour z dans un certain ensemble de C. Par exemple, soient β1(n), · · · , β (n)
n+1 les n + 1 racines du polynˆome de Tchebychev Tn+1(z). Alors
Tn+1∗ (z) = (z − β1(n)) · · · (z − βn+1(n) ) = 1
2nTn+1(z), et l’on peut montrer que [43]
σ(z) = lim n→∞|T
∗
n(z)|1/n = ρ/2 pour z ∈ Fρ uniform´ement , (2.10)
o`u Fρest l’ellipse de foyers ±1 et demi-axes a = (ρ + ρ−1)/2 et b = (ρ − ρ−1)/2. On peut montrer en utilisant un r´esultat de la th´eorie de l’interpolation et le th´eor`eme 2.16 que
Corollaire 2.20. [A7] Soient f (t) =P∞n=0cngn(t), t ∈ A, une fonction analytique, G(x, t) la fonction g´en´eratrice des {gn(t)}n et c la forme lin´eaire associ´ee. On suppose que
– c v´erifie lim supn→∞|cn|1/n = r,
– ∀t ∈ A∗⊂ A, G(·, t) est analytique dans une r´egion S qui contient une ellipse Fρ(ρ > 1), et on note Eρ l’int´erieur de Fρ,
– ∃R > r : DR⊂ Eρ.
Si l’on choisit comme points d’interpolation βk(n) les racines des polynˆomes de Tchebychev, la suite correspondante de ATPG, ((n)Gf(t))n converge vers f dans A∗.
On obtient un r´esultat similaire si on utilise les racines des polynˆomes de Legendre car limn→∞|Pn(z)|1/n = ρ ∀z ∈ Fρ (Pn(z) est le n-`eme polynˆome de Legendre).
Regardons quelques exemples d’application des th´eor`emes pr´ec´edents. (i) fonction donn´ee par une s´erie de Legendre
Soit f (z) la s´erie orthogonale
f (z) = ∞ X
n=0
cnPn(z), Pn(z) polynˆomes de Legendre, (2.11)
et cn = Z 1
−1
f (x)Pn(x)dx, n = 0, 1, · · ·. Supposons que limn→∞sup |cn|1/n = 1/ρ. Alors le d´eveloppement en s´erie converge pour t dans l’ellipse Fρ. Une fonction g´en´eratrice des polynˆomes de Legendre est G(x, t) = ∞ X n=0 xnPn(t) = (1 − 2tx + x2)−1/2.
Pour t ∈ Fρ, G(x, t) est analytique dans DR, pour tout R inf´erieur ou ´egal `a 1 et donc appartient `
a E2(R). On choisit R∗ tel que 1 > R∗ > 1/ρ, et une suite de points d’interpolation (xi)i dans DR∗ convergeant vers 0. On remplace G(x, t) par par les polynˆomes d’interpolation de Lagrange
Pn(x; t) =Pni=0li(x)(1 − 2txi+ x2i)−1/2 et donc f (t) est approch´ee par
(n)Gf(t) = c(Pn(·; t)) = n X
i=0
En appliquant le th´eor`eme pr´ec´edent on montre que cette suite converge vers f (t) pour t ∈ Fρ. (i) fonction donn´ee par une s´erie d’Hermite
Soit f donn´ee par la s´erie d’Hermite f (t) = ∞ X n=0 cnHn(t) t ∈ A, avec cn= Z +∞ −∞ f (x)e−x2Hn(x)dx. Une fonction g´en´eratrice des polynˆomes d’Hermite est
G(x, t) = ∞ X n=0 1 n!x nHn(t) = e2xt−x2 .
Pour t ∈ C, G(·, t) est une fonction enti`ere. Dans ce cas on montre que G(·, t) appartient `a E3(R), R > 0. Si (xi) est une suite de points d’interpolation v´erifiant limn→∞xn = 0, xn ∈ DR ∀n, alors la suite correspondante d’approximants est une combinaison lin´eaire d’exponentielles
(n)Gf(t) = c(Pn(·, t)) = n X
i=0
e−x2ic(li(·))e2xit.
Cette suite de ATPG converge vers f (t) dans A si c v´erifie P.
2. D´eveloppements orthogonaux
On consid`ere maintenant un second type de fonctionnelles d’interpolation, de la forme Lk(g) =
Z
C
g(z)pk(z)w(z) |dz| ,
o`u C est une courbe de Jordan rectifiable, w(z) est une fonction r´eelle, non n´egative et uni- form´ement born´ee dans C, et {pk(z)} la suite des polynˆomes orthonormaux sur C par rapport `
a la fonction poids w(z). Dans ce cas le polynˆome d’interpolation Pn(x; t) est donn´e par Pn(x; t) = n X k=0 akpk(x), ak = Z C G(z, t)pk(z)w(z) |dz| ,
et c’est le polynˆome de degr´e n de meilleure approximation de G(x, t) (fonction de x) au sens des moindres carr´es, c’est-`a-dire, celui qui minimise
Z
C
|G(x, t) − pn(x; t)|2w(z) |dz| .
Donc la convergence de la suite (Pn(·; t))nvers G(·, t) d´epend de la convergence des d´eveloppements orthogonaux. En utilisant des r´esultats de [115] combin´es avec le th´eor`eme 2.16 on obtient : Corollaire 2.21. [A7] Soient f une fonction analytique donn´ee par f (z) = P∞i=0cigi(z), G(x, t) la fonction g´en´eratrice et c la forme lin´eaire associ´ee. Supposons que :
– pour t ∈ A∗ ⊂ A, la fonction G(x, t) de x est analytique dans [−1, 1] et l’on note Fρ la plus grande ellipse de foyers ±1 pour laquelle G(·, t) est analytique pour t ∈ A∗;
– c v´erifie lim supn→∞|cn|1/n = r < ∞ – on peut choisir R∗ > r tel que DR∗⊂ Fρ.
On consid`ere le polynˆome d’interpolation de degr´e n en x , Pn(x; t), avec
Lk(g) = Z 1 −1 g(x)P (α,β) n (x) h(α,β)n (1 − x)α(1 + x)βdx,
(i.e., la somme partielle d’ordre n du d´eveloppement de G(·, t) en s´erie de Jacobi). Alors on obtient
∀t ∈ A∗ lim
n→∞(n G)
f(t) = f (t).
Consid´erons un exemple d’application de ce corollaire.
Soit f une fonction analytique repr´esent´ee par f (t) =P∞i=0citi avec limn→∞|cn|1/n = r < 1. Alors la fonction g´en´eratrice est donn´ee par G(x, t) = P∞i=0xiti = 1
1−xt, x 6= 1 t. Pour |t| < α < 1, on a 1/ |t| > 1/α, et donc G(x, t) (fonction de x) est analytique pour |x| < 1/α. On remplace G(x, t) par
Pn(x; t) = a0p0(x) + a1p1(x) + · · · + anpn(x)
o`u les {pi(x)} sont les polynˆomes de Legendre. La suite correspondante de ATPG est donn´ee par c(Pn(·, t)) = n X i=0 aic(pi(·)), avec ai = Z 1 −1 pi(z) 1 − ztdz. Par des calculs simples on obtient
c(Pn(·; t)) = n X
k=0
αkRklog(t),
avec Rilog(t) = log(
1+t 1−t)−Si(t)
ti+1 , Si(t) la somme partielle de la serie de Taylor de log
1+t 1−t
. On montre que pour |t| < α < 1, les conditions du corollaire pr´ec´edent sont satisfaites et la suite de ATPG converge vers f (t).
Les r´esultats pr´ec´edents sont tr`es g´en´eraux et ouvrent la voie d’une ´etude plus d´etaill´ee dans des cas particuliers. Pour des fonctions donn´ees par leur d´eveloppement en s´erie de polynˆomes orthogonaux, le choix des points d’interpolation de fa¸con `a obtenir de meilleurs r´esultats de convergence reste un probl`eme ouvert.