z2
2m2+ 17mK2(z, A0) + zln³2π17´
m17m K1(z, A0)
+E0
o`uz = 2qmbR, A0 = (2m/z) ln(A/17).
On en d´eduit que
S3(m, δ) +S4(m, δ)6Ω2δ−m.
En utilisant la majoration de S1(m, δ) +S2(m, δ) donn´ee dans le lemme 1.3 on conclut grˆace au lemme 1.1 que
1
x|ψ(x)−(x−ln(2π)−1/2·ln(1−1/x2))|6Ω1/√
x+ Ω2δ−m+mδ/2 d’o`u
|ψ(x)−x|6(Ω1exp(−b/2) + Ω2δ−m+mδ/2 + exp(−b) ln(2π))x.
2 Rosser &Schoenfeld ont d´ecompos´e leur article en trois “zones”.
Sixest “petit” (x6108), une consultation des tables et des calculs directs sur ordinateur permet d’obtenir des bornes pr´ecises.
Six est “moyen” (1086x6exp(4000)), un calcul ponctuel des int´egrales d´efinies dans la proposition 1.6 donne les r´esultats (`a partir de ce point) regroup´es dans une table.
Sixest “grand” (x>exp(4000)), ils ont major´es les int´egrales intervenant dans la propo-sition 1.6, pour obtenir le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.1 (Th´eor`eme 11 p.342 de [16]) SoientR = 9,645908801 d´efini dans la proposition 1.3 et X =qlnRx. Alors,
|θ(x)−x| < xε0(x) pour x>101
|ψ(x)−x| < xε0(x) pour x>17 avec ε0(x) =q8/(17π)X1/2exp(−X).
1.3 R´ esultats sur ψ(x) et θ(x)
Nous regroupons ici, sous la forme d’une proposition, les r´esultats d´ej`a connus que nous allons utiliser dans les preuves.
Proposition 1.7 (i) - θ(x)6ψ(x) pour tout x.
(ii) - ψ(x)−θ(x)<√
x+65√3
x pour 1086x61016. (iii) - ψ(x)−θ(x)<1,43√
x pour tout x >0.
(iv) - θ(x)< xpour 0< x61011. (v) - θ(x)<1,000081x pour x >0.
(vi) - |θ(x)−x|<0,0077629lnxx pour x >1,04·107. Preuve : La premi`ere in´egalit´e vient du fait que
ψ(x) =
X∞ k=1
θ(x1/k).
La deuxi`eme vient de [7]. La suivante vient de [13] : c’est le th´eor`eme 13. Les trois
derni`eres sont issues de [16] p. 360. 2
Th´eor`eme 1.2 Soit b un r´eel positif. Pour x>exp(b),
|ψ(x)−x|6εx, o`u ε est donn´e dans la table 1.1 plac´ee en fin de chapitre.
Corollaire 1.1 Pour x>exp(50), on a
|ψ(x)−x|60,905·10−7x.
Preuve : Les travaux de [5] permettent de confirmer que les 1 500 000 001 premiers z´eros de la fonction ζ de Riemann dans la bande critique sont tous simples et de partie r´eelle β = 1/2. Cela ´etablit la preuve de l’hypoth`ese de Riemann dans le rectangle {σ+it,0< σ <1,0< t < A= 545 439 823,215. Reprenons la preuve de la proposition 1.6 donn´ee dans [14]. Rien n’empˆeche de prendre une valeur deA plus grande que la valeur utilis´ee par Rosser et Schoenfeld (A = 1894438,51. . .). Il faut n´eanmoins v´erifier que N(A) = F(A) (Voir preuve de la proposition 1.6), ce qui est le cas. Cela conduit
`
a de nouveaux encadrements de ψ(x) donn´es dans la table 1.1, calcul´ee grˆace au logiciel Maple 3. Cette programmation a permis de retrouver les r´esultats des calculs effectu´es par Rosser et Schoenfeldavec leur valeur de A.
Recherchons, en particulier, la valeur de ε pour x>exp(50) donn´ee dans le corol-laire 1.1. Choisissons δ = 0,947265625·10−8 et m = 18. En faisant le calcul, on trouve ε60,905·10−7. Cette valeur a ´et´e v´erifi´ee avec le syst`eme Pari. 2 Nous aurons besoin par la suite d’un encadrement de θ(x) jusqu’`a 1011. Une pre-mi`ere m´ethode consiste `a calculer θ(x) jusqu’`a 1011 (il faut un ordinateur puissant). Une
3avec le concours des machines du groupeM´edicis(Polytechnique)
deuxi`eme m´ethode consiste `a remarquer que la table de [1] qui donne le maximum et le minimum de la diff´erence Li(x)−π(x) par intervalle jusqu’`a 1011 permet de trouver un encadrement pr´ecis de θ(x) jusqu’`a 1011. Cela conduit `a la table 1.2.
On construit cette table de la fa¸con suivante :
Soitρ1(a, b) = minpk∈[a,b](Li(pk)−k) etR1(a, b) = maxpk∈[a,b](Li(pk)−k). Posonsr(a, b) = minx∈[a,b](Li(x)−π(x)) et R(a, b) = maxx∈[a,b](Li(x)− π(x)). Il est facile de voir que r(a, b)>min(ρ1(a, b)−1/2,Li(a)−π(a)) et queR(a, b)6max(R1(a+1, b)+1+1/2,Li(b)−
π(b)). L’intervalle [0,1011] est subdivis´e en intervalles [ai, bi].
θ(x) = π(x) ln(x)−Z x
2
π(y) y dy
= π(x) ln(x)−Z 100
2
π(y)
y dy−Z x
100
π(y)−Li(y)
y +Li(y)
y dy
> x−(Li(x)−π(x)) lnx+C+ X
[ai,bi] 1006ai,bi6b
r(ai, bi) ln(bi/ai) +r(b, x) ln(x/b) (1.25) o`uC = Li(100) ln(100)−100−R2100
π(y)
y dyetbest la borne sup´erieure du dernier intervalle ne contenant pasx. Si l’on ne connaˆıt pas la valeur deπ(x), on peut majorer la diff´erence Li(x)−π(x) par R(a, x).
On donne une majoration de θ(x) en rempla¸cant dans la formule (1.25) les r et les R et inversement les R par r.
Th´eor`eme 1.3 1. |ψ(x)−x|60,006409lnxx pour x>exp(22).
2. |θ(x)−x|60,006788lnxx pour x>10 544 111.
Preuve : On utilise la table 1.1 par intervalles :
six>exp(22) alors |ψ(x)−x|62,78652·10−4x623∗2,78652·10−4lnxx66,409·10−3lnxx pourx6exp(23).
Six>exp(23) alors |ψ(x)−x|61,8436·10−4x65,5308·10−3lnxx pour x6exp(30).
Six>exp(30) alors |ψ(x)−x|60,978·10−5x65,868·10−3lnxx pourx6exp(600).
Six>exp(600) alors |ψ(x)−x|60,75·10−7x61,5·10−4lnxx pour x6exp(2000).
De plus,
|ψ(x)−θ(x)|<√
x+ 65√3
x pour 1086x61016 ainsi
|ψ(x)−θ(x)|<0,00037871lnxx pour exp(22)6x6exp(30) et
|ψ(x)−θ(x)|<1,43√
xpour x >0 ainsi
|ψ(x)−θ(x)|<1,32·10−5lnxx pour x>exp(30).
Pour x>exp(2000), le th´eor`eme 1.1 nous permet de conclure
|ψ(x)−x|et |θ(x)−x| sont major´es par 0,00164 x
lnx pour x>exp(2000).
La table 1.2 et un calcul sur ordinateur permettent d’´etendre le r´esultat sur θ, obtenu pour l’instant pourx>exp(22), jusqu’`a 10 544 111. Cela nous montre que le r´esultat de la proposition 1.7(vi) deRosser & Schoenfeld est presque optimal. 2 Le r´esultat pr´ec´edent donne une formule `a l’ordre 1 pour la puissance du logarithme.
Il est parfois n´ecessaire de connaˆıtre les estimations aux ordres suivants. Nous obtenons ici une am´elioration notable des r´esultats deRosser &Schoenfeld.
Th´eor`eme 1.4 Posons η2 = 3,965, η3 = 515 et η4 = 1717433.
Pour x >1, on a
|θ(x)−x|< ηk
x lnkx. (On peut aussi choisir η2 = 0,2 pour x>3594641.)
Preuve : Dans tous les cas, nous utiliserons la table 1.1 par intervalles. Commen¸cons par k = 2, et montrons que
|θ(x)−x|<0,2 x ln2x. Pourx>exp(3220), le th´eor`eme 1.1 donne que
|θ(x)−x|< xε(x)< η2
x ln2x avecη2 = 0,19923 pour x>exp(3220).
Pour x>1,04·107, |θ(x)−x|60,0077629lnxx 60,1941lnx2x pour x6exp(25) Pour x>exp(25), |ψ(x)−x|610−4x 60,09lnx2x pour x6exp(30) Pour x>exp(30), |ψ(x)−x|610−5x 60,1lnx2x pour x6exp(100) Pour x>exp(100), |ψ(x)−x|60,9·10−7x 60,1521lnx2x pour x6exp(1300) Pour x>exp(1300), |ψ(x)−x|60,6·10−7x 60,1944lnx2x pour x6exp(1800) Pour x>exp(1800), |ψ(x)−x|60,42·10−7x 60,168lnx2x pour x6exp(2000) Pour x>exp(2000), |ψ(x)−x|60,37·10−7x 60,196lnx2x pour x6exp(2300) Pour x>exp(2300), |ψ(x)−x|60,292·10−7x 60,1825lnx2x pour x6exp(2500) Pour x>exp(2500), |ψ(x)−x|60,244·10−7x 60,18453lnx2x pour x6exp(2750) Pour x>exp(2750), |ψ(x)−x|60,19·10−7x 60,197lnx2x pour x6exp(3220) De plus,
pour exp(25)6x6exp(30), |ψ(x)−θ(x)| <√
x+ 65√3
x <0,0023725lnx2x, et pour x>exp(30), |ψ(x)−θ(x)| <1,43√
x <0,0004lnx2x.
Int´eressons nous maintenant au cask = 3. Comme |θ(x)−x|60,0077629lnxx , on a
|θ(x)−x|6310,516 x
ln3x pour x6exp(200).
Remarquons que pour x>exp(200), la diff´erence entre θ et ψ est n´egligeable puisque, pourx>exp(200),
|ψ(x)−θ(x)|<1,43√
x60,5·10−36 x ln3x.
Pour x>exp(200), |θ(x)−x|60,8561317·10−7x 6500lnx3x pour x6exp(1800) Pour x>exp(1800), |θ(x)−x|60,419134·10−7x 6510lnx3x pour x6exp(2300) Pour x>exp(2300), |θ(x)−x|60,2917036·10−7x 6456lnx3x pour x6exp(2500) Pour x>exp(2500), |θ(x)−x|60,243946·10−7x 6508lnx3x pour x6exp(2750) Pour x>exp(2750), |θ(x)−x|60,1877·10−7x 6507lnx3x pour x6exp(3000) Pour x>exp(3000), |θ(x)−x|60,137602·10−7x 6514lnx3x pour x6exp(3341) Appliquons maintenant le th´eor`eme 1.1, pour x>exp(3341) ; on trouve
|θ(x)−x|6514,826 x ln3x.
Nous utiliserons les mˆemes m´ethodes pour le cas k = 4. Comme |θ(x) − x| 6 0,0077629lnxx, on a
|θ(x)−x|61676786,4 x
ln3x pourx6exp(600).
Remarquons que pour x>exp(600), la diff´erence entre θ et ψ est n´egligeable puisque, pourx>exp(600),
|ψ(x)−θ(x)|<1,43√
x610−119 x ln4x.
Pourx>exp(600), |θ(x)−x|60,744205·10−7x 61190728xln4x pourx6exp(2000) Pourx>exp(2000), |θ(x)−x|60,3675·10−7x 61435547xln4x pourx6exp(2500) Pourx>exp(2500), |θ(x)−x|60,243946·10−7x 61395162xln4x pourx6exp(2750) Pourx>exp(2750), |θ(x)−x|60,1877·10−7x 61520370xln4x pourx6exp(3000) Pourx>exp(3000), |θ(x)−x|60,137602·10−7x 61716527xln4x pourx6exp(3342) Appliquons maintenant le th´eor`eme 1.1 pour x>exp(3342) : on trouve
|θ(x)−x|61717433 x ln4x.
Une v´erification avec l’ordinateur a ´et´e effectu´ee pour x61,04·107. On trouve que
|θ(x)−x|60,2lnx2x pour x>3594641 et |θ(x)−x|63.9648085· · ·lnx2x pour x > 1 (la
valeur 3.9648085· · · ´etant choisie pourp17). 2