Estimation semi-classique de la r´ esolvante de P

Dans les paragraphes 4.1, 4.2 et 4.3, on s’est content´e de consid´erer une seule valeur propre de Pa(0). Comme on va le voir, il est possible, comme au paragraphe 2.5, d’en consid´erer plusieurs, d’adapter les techniques du paragraphe 4.3 `a cette nouvelle situation et d’obtenir un contrˆole semi-classique de la r´esolvante de P . En particulier, les r´esultats sur l’approximation de Born-Oppenheimer des op´erateurs d’onde (cf. [KMW1], partie 4) sont encore valables. Cette situation sera reprise pour l’´etude semi-classique des sections efficaces totales (cf. partie 5).

Dans le cadre du paragraphe 4.1, on consid`ere cette fois E₁ < . . . < E_r ∈ σ_disc(Pa(0)), chaque E_j ´etant de multiplicit´e m_j (et m =P

m_j). Pour tout j, on suppose que la valeur propre Ej v´erifie l’hypoth`ese de stabilit´e semi-classique (HS(h)). Par cons´equent, on peut construire les projecteurs Π_j0(h) et Π_j(x; h) correspondant par une formule de Cauchy (cf. (4.1 ;3) et (4.1 ;5)), qui v´erifient les propri´et´es de ce paragraphe 4.1. L’estimation ( 4.1 ;7) devient bien sˆur :

||Π_j(x; h)P_e(x; h)Π_j(x; h) − E_jΠ_j(x; h)|| = O(< x >^−ρ). (4.4; 1) Quant `a la proposition 4.1.3, elle s’applique, pour tout j, aux valeurs propres de Pe(x; 0), λ_j1(x; 0), . . . , λ_jmj(x; 0), qui tendent vers E_j lorsque |x| → ∞.

En posant, pour tout (x; h) :

Π0(h) = r X j=1 Πj0(h), Π(x; h) = r X j=1 Πj(x; h),

on d´efinit des projecteurs spectraux de P_e(x; 0) et Pa(h) respectivement. Ils v´erifient les estimations du lemme 4.1.1 et de la proposition 4.1.2, l’estimation (4.1 ;7) ´etant remplac´ee par la suivante : ||Π(x; h)  Pe(x; h) − r X j=1 EjΠj(x; h)  || = O(< x >^−ρ). (4.4; 2) Comme on l’a vu au paragraphe 2.5, on peut d´efinir des op´erateurs PAD et QAD dans ces conditions. Pour chaque j, on suppose que Ej satisfait `a l’hypoth`ese de “non-croisement” (N C). En particulier, il y a l(j) fonctions λ_jl(·; 0) qui tendent vers E_j `a l’infini et chaque λ_jl(·; 0) est de multiplicit´e constante. On peut trouver une famille {Γ_jl(x), x ∈ IRn} de contours dans CI telle que :

Π_jl(x; h) = ¹ 2iπ

Z

Γjl(x)

(z − P_e(x; h))⁻¹dz

soit le projecteur spectral associ´e `a λjl(x; h). Notons que, comme dans la preuve de la proposition 4.3.4, le contrˆole des d´eriv´ees des Π_jl(·; 0) n’est pas clair. En revanche, on voit que les valeurs propres λ_jl(x; 0) v´erifient la condition (D_ρ⁰) (cf. proposition 4.3.1).

Pour obtenir le th´eor`eme d’absorption limite semi-classique, on va montrer la :

Proposition 4.4.1. On suppose que les potentiels v´erifient (D_ρ) pour un r´eel ρ > 0. Soient E1 < . . . < Er ∈ σdisc(P^a(0)) v´erifiant chacune l’hypoth`ese de stabilit´e semi-classique (HS(h)) et l’hypoth`ese de “non-croisement” (N C). Pour toute ´energie E 6∈ {0} ∪ {E_j, 1 ≤ j ≤ r}, non-captive pour chaque hamiltonien classique |ξ|2 + λ_jl(x; 0) (1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ l ≤ l(j)), il existe un op´erateur F^AD(h) satisfaisant, pour h assez petit, les deux estimations suivantes :

|| [[PAD(h), F^AD(h)], F^AD(h)](P^AD(h) + i)⁻¹|| = O(h2) (4.4; 3) et :

χ(P^AD(h))i[P^AD(h), F^AD(h)]χ(P^AD(h)) ≥ αhχ²(P^AD(h)) (4.4; 4) avec χ = 1I_{]E−δ,E+δ[}, δ > 0 et α > 0 ind´ependants de h.

D´emonstration : Cette fois, l’hypoth`ese de non-capture impose, pour tout j : E 6∈ [inf

x,l λ_jl(x; 0); E_j].

Soit s le plus grand entier j tel que E_j < E. On adopte la strat´egie de la preuve de la proposition 4.3.4. On a besoin d’une fonction a qui soit une fonction fuite globale pour chaque hamiltonien classique |ξ|² + λ_jl(x; 0) − E_j, avec j ≤ s, `a l’´energie E − E_j > 0. Comme on a des ´energies a priori diff´erentes, on g´en´eralise la proposition 4.3.3 sous la forme du :

Lemme 4.4.2. On consid`ere des potentiels (V<sub>j</sub>)<sub>1≤j≤q</sub> de C<sup>∞</sup>(IRn; IR), v´erifiant (D<sub>ρ</sub><sup>0</sup>) pour un r´eel ρ > 0. Pour tout j, soit λ<sub>j</sub> > 0 une ´energie de non-capture pour l’hamiltonien classique pj(x, ξ) = |ξ|<sup>2</sup>+ Vj(x). Sous l’hypoth`ese de “non-croisement” suivante :

j 6= k =⇒ (∀x ∈ IRⁿ, V_j(x) − λ_j 6= V_k(x) − λ_k) (4.4; 5) il existe une fonction qui est, simultan´ement pour tout j, une fonction fuite globale `a l’´energie λ_j pour l’hamiltonien p_j.

D´emonstration : D’apr`es la preuve de la proposition 4.3.3, il existe donc R > 0, C0 > 0 et  > 0 tels que, pour tout j, on ait :

– {p_j, x · ξ} ≥ λ₀ pour |x| ≥ R et (x, ξ) ∈ p⁻¹_j (]λ_j − ; λ_j + [), – il existe aj ∈ C∞(IR²ⁿ) de la forme :

a_j(x, ξ) = x · ξ + C_jχ_j(x)f_j(x, ξ) o`u C_j > 0, χ_j ∈ C∞

0 (IRⁿ), χ_jf_j ∈ C∞

0 (IR²ⁿ), et telle que : {p_j, a_j} ≥ C₀

sur p⁻¹_j (]λ_j− ; λ_j+ [).

Soient R⁰ ≡ maxjsup{|x|; x ∈ suppχj} > R et R” > R⁰. Grˆace `a l’hypoth`ese de “non-croisement” (4.4 ;5), on va montrer, comme dans la preuve de la proposition 4.3.3, qu’il existe α > 0 tel que, pour tout  assez petit, on ait :

(V_j, λ_j) 6= (V_k, λ_k) =⇒ d({|x| ≤ R^”}∩p−1

j (]λ_j−; λ_j+[), {|x| ≤ R^”}∩p−1

k (]λ_k−; λ_k+[)) ≥ α Si V_j 6= V_k, on peut reprendre les arguments de cette preuve de la proposition 4.3.3 en rempla¸cant V_j par V_j− λ_j et V_k par V_k− λ_k.

Supposons maintenant que V_j = V_k mais λ_j 6= λ_k. En prenant (x, ξ) et (x⁰, ξ⁰) comme dans la preuve en question, on voit que si |x − x⁰| est petit alors |ξ|2− λ_j − (|ξ0|2− λ_k) l’est aussi. Comme λj 6= λk, ξ et ξ⁰ ne peuvent ˆetre arbitrairement proches.

En prenant la partition de l’unit´e (t_j)_1≤j≤q utilis´ee dans la preuve de la proposition 4.3.3, on v´erifie de mˆeme que la fonction a =P

tjaj convient.

Poursuivons maintenant la preuve de la proposition 4.4.1. Grˆace aux hypoth`eses de “non-croisement” (N C) et de stabilit´e semi-classique (HS(h)), on a, pour tout j :

et :

j 6= j⁰ =⇒ (∀x ∈ IRⁿ, ∀l, l⁰, λ_jl(x; 0) − E_j − (E − E_j) 6= λ_j0l0(x; 0) − E_j0 − (E − E_j0)). On peut donc appliquer le lemme 4.4.2 aux hamiltoniens classiques p_jl(x, ξ) = |ξ|2 + λ_jl(x; 0) − E_j aux ´energies E − E_j. Soit a la fonction “multi-fuite” globale correspondante. D’apr`es les propri´et´es des projecteurs Π_j (cf. (4.4 ;1)), on peut choisir le R de la preuve de ce lemme 4.4.2 de sorte que, pour tout j, on ait l’estimation :

||Π_j(x; h)x·(∇_xI_a)(x; h)Π_j(x; h)||+||2Π_j(x; h)(P_e(x; h)−E_j)Π_j(x; h)|| ≤ E −E_j, (4.4; 6) pour |x| ≥ R. Soient τ₁, τ₂ ∈ C∞(IRⁿ) telles que τ₁² + τ₂² = 1. On impose que τ₁ vaille 1 sur {x; |x| ≤ R⁰} et soit `a support dans {x; |x| ≤ R”}. On pose :

F^AD = r X j=1   l(j) X l=1 τ₁Π_jla^wΠ_jlτ₁+ τ₂Π_ja^wΠ_jτ₂  ,

o`u aw l’op´erateur h-pseudo-diff´erentiel de symbole de Weyl a. D’apr`es la r´egularit´e des projecteurs Π_jl et le choix du support de τ₁ d’une part, et les propri´et´es des Π_j et celles de a d’autre part, l’op´erateur F^AD v´erifie (4.4 ;3).

Pour obtenir l’estimation de Mourre semi-classique (4.4 ;4), on reprend les arguments de la preuve de la proposition 4.3.4, les Πj(x; h) jouant le rˆole de Π(x; h) et les Πjl(x; h) celui des Π_j(x; h). Comme on a aussi :

r X j=1 Π_j   l(j) X l=1 (∇_xΠ_jl)Π_jl+ Π_jl(∇_xΠ_jl)  Π_j = r X j=1 l(j) X l=1 Π_j(∇_xΠ_jl)Π_j = r X j=1 Π_j(∇_xΠ_j)Π_j = 0 et d’apr`es les propri´et´es de τ₁ et τ₂, on obtient :

i[P^AD, F^AD] = r X j=1   l(j) X l=1 τ₁Π_jli[P_jl, a^w]Π_jlτ₁+ τ₂Π_ji[P, Op^w_h(x · ξ)]Π_jτ₂  + “O(h²)” en posant P_jl= −h2∆_x+ λ_jl(x; 0).

Soit η > 0 assez petit tel que 0, E_j 6∈]E − η; E + η[, pour tout j, et θ ∈ C∞(IR; IR) valant 1 pr`es de E et `a support dans ]E − η; E + η[. Grˆace au calcul fonctionnel d’Helffer-Sj¨ostand (cf. [HS]), on a, pour tout j :

θ(P^AD)τ₂Π_j − τ₂Π_jθ(P_j^AD) = O(h) car on a :

P^ADτ2Πj − τ2ΠjP_j^AD = Π[−h²∆x, τ2Πj]Πj, et pour tout j et tout l :

Comme dans la preuve de la proposition 4.3.4, on obtient donc :

θ(P^AD)τ₁Π_jli[P_jl, a^w]Π_jlτ₁θ(P^AD) ≥ chθ(P^AD)τ₁Π_jlτ₁θ(P^AD) + O(h²) pour tout j et tout l. D’autre part, on a, pour tout j :

θ(P^AD)τ₂Π_ji[P, Op^w_h(x · ξ)]Π_jτ₂θ(P^AD) = hθ(P^AD)τ₂Π_j(−2h²∆_x− x · (∇_xI_a))Π_jτ₂θ(P^AD) = hτ₂θ(P_j^AD)Π_j(2(P_j^AD− E_j) − x · (∇_xI_a) − 2(P_e− E_j))Π_jθ(P_j^AD)τ₂ + O(h²) ≥ hτ₂Π_jθ(P_j^AD)(3(E − E_j)/2 − x · (∇_xI_a) − 2(P_e− E_j))θ(P_j^AD)Π_jτ₂+ O(h²) ≥ hθ(P^AD)τ₂Π_j(3(E − E_j)/2 − x · (∇_xI_a) − 2(P_e− E_j))Π_jτ₂θ(P^AD) + O(h²) ≥ h^{E − Ej} 2 ^θ(P AD)τ₂Π_jτ₂θ(P^AD) + O(h²) d’apr`es (4.4 ;6). En regroupant les in´egalit´es, on peut ´ecrire :

θ(P^AD)i[P^AD, F ]θ(P^AD) ≥ c⁰hθ(P^AD)   r X j=1   l(j) X l=1 τ₁Π_jlτ₁ + τ₂Π_jτ₂    θ(P^AD) + O(h²) ≥ c⁰hθ(P^AD)²+ O(h²)

ce qui termine la preuve de cette proposition 4.4.1.

En appliquant successivement les th´eor`emes 4.2.2 et 4.2.3, on obtient donc le :

Th´eor`eme 4.4.3. On suppose que les potentiels v´erifient (D<sub>ρ</sub>) pour un r´eel ρ > 0. Soient E<sub>1</sub> < . . . < E<sub>r</sub> ∈ σ<sub>disc</sub>(Pa(0)) v´erifiant chacune l’hypoth`ese de stabilit´e semi-classique (HS(h)) et l’hypoth`ese de “non-croisement” (N C). Pour toute ´energie E 6∈ {0}∪{E_j, 1 ≤ j ≤ r}, non-captive pour chaque hamiltonien classique |ξ|2+ λ_jl(x; 0) (1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ l ≤ l(j)), pour tout s > 1/2, on a :

|| < x >^−sR^AD(λ ± i0; h) < x >^−s|| = O(h⁻¹), (4.4; 7) pour h assez petit, uniform´ement pour λ assez proche de E. Si, de plus, les potentiels sont `a courte port´ee (ρ > 1) et si E v´erifie :

E < inf

h (inf σ(Q^AD(h))),

alors, pour s > 1/2, les deux estimations suivantes sont valables :

|| < x >^−sR(λ ± i0; h) < x >^−s|| = O(h⁻¹) (4.4; 8) et :

|| < x >^−s [R(λ ± i0; h) − ΠR^AD(λ ± i0; h)] < x >^−s|| = O(1), (4.4; 9) pour h assez petit, uniform´ement pour λ assez proche de E.

Remarque 4.4.4. D’apr`es la remarque 4.3.2, on suppose en fait dans ce th´eor`eme 4.3.5 que, pour tout j :

E 6∈ [inf

x,l λjl(x; 0); Ej].

Il est int´eressant d’avoir E > E_r (cf. le corollaire 4.4.5 et la partie 5). Dans ce cas, pour obtenir (4.4 ;8) et (4.4 ;9), il convient d’avoir :

Er < inf

h (inf σ(Q^AD(h))).

Cette in´egalit´e est r´ealis´ee si E_r v´erifie celle de la remarque 4.2.5, ce qui impose en particulier :

E₁ = inf σ(P^a(0)).

A la diff´erence de la remarque 4.3.6, les valeurs propres E_j sont a priori multiples (sauf E₁).

Grˆace au th´eor`eme 4.1 de [KMW1], ce th´eor`eme 4.4.3 permet, pour des potentiels `a courte port´ee, d’estimer semi-classiquement les op´erateurs d’onde ΩN AD

± et fournit une approximation semi-classique, dans une certaine bande d’´energie, des op´erateurs d’onde de canal Ω± (cf. paragraphe 2.3). Avec les notations du paragraphe 2.3, on a le :

Corollaire 4.4.5. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme 4.4.3 avec ρ > 1 et E_r< inf_h(inf σ(QAD(h))), soit I un intervalle non-captif pour les hamiltoniens classiques |ξ|2+ λ_jl(x; 0), tel que :

I ⊂]E_r; inf

h (inf σ(Q^AD(h)))[ ou bien tel que, pour un certain j ≤ r :

I ⊂]E_j−1; inf

x,l λ_jl(x; 0)[

(avec la convention “E₀ = −∞”). Alors, pour toute fonction χ ∈ C₀^∞(I; IR), il existe une constante C_χ> 0 telle que :

||(ΩN AD

± (h) − 1)χ(P^AD(h))|| ≤ C_χh et :

||(Ω_±(h) − Ω^AD_± (h))χ(P_a(h))|| ≤ C_χh.

Remarque 4.4.6. Ce corollaire g´en´eralise, pour des potentiels r´eguliers, le r´esultat de [KMW1] o`u l’on consid´erait une seule valeur propre simple de Pa(0). Signalons que, dans [KMW2], le r´esultat de [KMW1] est obtenu pour des potentiels pr´esentant des singularit´es coulombiennes.

D´emonstration : La premi`ere estimation d´ecoule du fait que l’on peut appliquer le th´eor`eme 4.1 de [KMW1] puisque l’on dispose de l’estimation semi-classique de la r´esolvante adiabatique du th´eor`eme 4.4.3. Pour obtenir la seconde, rappelons que l’on a :

(cf. paragraphe 2.3 et 2.5). Comme dans [KMW1], on peut remarquer que, si φ est une fonction de C₀^∞(I; IR) v´erifiant φχ = χ, alors on a :

(Ω±(h) − Ω^AD_± (h))χ(P_a(h)) = (Ω_±^{N AD}(h) − 1)φ(P^AD(h))Ω^AD_± (h)χ(P_a(h)),

grˆace `a la propri´et´e d’intervertion des op´erateurs d’onde. La seconde estimation provient alors de la premi`ere.

Au sujet de cette approximation semi-classique des op´erateurs d’onde de canal, on peut ˆ

etre plus pr´ecis. Consid´erons, pour 1 ≤ j ≤ r, les op´erateurs d’onde : Ω^AD_j,± = s − lim

t→±∞e^itPj^ADe^−itPaΠ_j0. D’apr`es les paragraphes 2.3 et 2.5, ces op´erateurs ΩAD

j,± existent et sont complets. Remar-quons qu’en g´en´eral, on a :

Ω^AD_± 6=

r

X

j=1

Ω^AD_j,±. Certes les op´erateurs PAD

j commutent deux `a deux mais il se trouve qu’en g´en´eral, on a : P^AD 6=

r

X

j=1

P_j^AD.

En fait, l’´evolution eitPAD

“m´elange les niveaux”. Cependant, on dispose de la proposi-tion 4.4.7 suivante, qui pr´ecise le corollaire 4.4.5 :

Proposition 4.4.7. Soit χ ∈ C₀^∞(IR; IR) dont le support est un intervalle tel que 0, E_j 6∈ suppχ, pour tout j. Posons :

r_χ = max{1 ≤ j ≤ r; E_j < inf(suppχ)}

(avec la convention r_χ = 0 si E₁ > sup(suppχ)). Si le support de χ est non-captif pour les hamiltioniens classiques |ξ|²+ λj(x; 0), pour 1 ≤ j ≤ rχ, alors on a :

||  Ω^AD_± (h) − rχ X j=1 Ω^AD_j,±(h)  χ(P_a(h))|| = O(h).

D´emonstration : Signalons tout d’abord que, pour j > r_χ, alors on a : Π_j0(h)χ(P_a(h)) = Π_j0(h)χ(−h²∆_x+ P^a(h)) = 0

car pour h assez petit, les valeurs propres de Pa(h) qui tendent vers E_j sont au-dessus du support de χ. On a donc : ΩAD

j,±(h)χ(P_a(h)) = 0. Pour obtenir le r´esultat, il suffit d’avoir, pour 1 ≤ j ≤ r_χ :

||(ΩAD

± (h) − Ω^AD_j,±(h))χ(P_a(h))|| = O(h). (4.4; 10) On introduit les op´erateurs d’onde suivants :

Ω^{N AD}_j,± = s − lim

On rappelle que l’on a : Π_jE_ac(PAD j ) = E_ac(PAD j ). Comme on a : (P^AD− PAD j )Π_j = Π(−h²∆_x)Π_j − Π_j(−h²∆_x)Π_j = −^X k6=j Π[−h²∆x, Πk]Πj = O(h < x >^−ρ−1) · h∇_xΠ_j+ O(h² < x >^−ρ−2)Π_j

on voit, par la m´ethode de Cook, que ces op´erateurs d’onde existent (cf. la proposi-tion 2.3.4). Grˆace `a la propri´et´es d’intervertion de ces op´erateurs d’onde, les estimations (4.4 ;10) d´ecoulent des suivantes :

||(ΩN AD

j,± (h) − 1)χ(P_j^AD(h))|| = O(h), (4.4; 11) pour 1 ≤ j ≤ r_χ.

Pour obtenir (4.4 ;11), v´erifions que l’on peut reprendre la preuve du th´eor`eme 4.1 de [KMW1]. Tout d’abord, pour 1 ≤ j ≤ r<sub>χ</sub>, on a l’estimation semi-classique de la r´esolvante de P<sub>j</sub><sup>AD</sup> sur le support de χ (cf. th´eor`eme 4.3.5) grˆace aux hypoth`eses de non-capture et de “non-croisement”. On a donc, pour tout s > 1/2, l’existence d’une constante C > 0 telle que l’on ait :

Z ∞

−∞|| < x >^−s e^−ih−1tPj^AD(h)

χ(P_j^AD(h))f ||²dt ≤ C||f ||², pour toute fonction f ∈ L2(IRn(N +1)

x,y ), uniform´ement pour h assez petit (cf. le lemme 4.2 de [KMW1]). En ´ecrivant :

P^AD = P_j^AD+ Q^AD_j + V_j (avec QAD

j = ˆΠ_jP ˆΠ_j, ˆΠ_j = Π−Π_j), on peut reprendre la preuve du lemme 4.3 de [KMW1] et obtenir :

||(χ(PAD

(h)) − χ(P_j^AD(h))) < x >^ρ || = O(h), pour tout 1 ≤ j ≤ r_χ. Enfin, comme on a :

V_jΠ_j = ^X k6=j (Π_kP Π_j+ Π_jP Π_k)Π_j = ^X k6=j Π_k(−h²∆_x)Π_j = −^X k6=j [−h²∆_x, Π_k]Π_j = O(h < x >^−ρ−1) · h∇_xΠ_j + O(h² < x >^−ρ−2)Π_j,

on peut reprendre les arguments de la preuve de ce th´eor`eme 4.1 de [KMW1] et obtenir (4.4 ;11).

Pour terminer ce paragraphe, signalons que le th´eor`eme 4.3.7 est encore valable dans les conditions pr´esentes :

Th´eor`eme 4.4.8. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme 4.4.3 avec ρ > 0, on a encore l’esti-mation (4.4 ;8), pour h assez petit, uniform´ement pour λ assez proche de E.

D´emonstration : En reprenant l’op´erateur F^AD de la preuve de la proposition 4.4.1 comme op´erateur conjugu´e, la preuve est identique `a celle du th´eor`eme 4.3.7.

4.5 Autres utilisations d’une fonction fuite ou “multi-fuite”